2024-2025学年浙江省杭州十四中高二（上）限时训练数学试卷（一）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年浙江省杭州十四中高二（上）限时训练数学试卷（一）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足zi=3+2i，则复数z(1−i)的虚部为(

)A.−5 B.−5i C.−3 D.−3i2.已知{a,b,A.a+b，b+c，a−cB.a+2b，b，a−c

C.2a3.某产品售后服务中心选取了10个工作日，分别记录了每个工作日接到的客户服务电话的数量(单位：次)：67ㅤ57ㅤ37ㅤ40ㅤ46ㅤ62ㅤ81ㅤ47ㅤ31ㅤ30，则这组数据的(

)A.众数是30 B.10%分位数是30.5

C.极差是37 D.中位数是434.已知直线l1：ax+3y+1=0，l2：x+(a−2)y+a=0，则“a=3”是“l1//A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，D(1,1,2)，则点D到平面ABC的距离为(

)A.3 B.2 C.56.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：(x−a)2+(y−b)2可以转化为平面上点M(x,y)与点N(a,b)的距离.A.210 B.22 C.7.某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是(

)A.19 B.29 C.138.过定点M的直线ax+y−1=0与过定点N的直线x−ay+2a−1=0交于点P，则|PM|·|PN|的最大值为(

)A.4 B.3 C.2 D.1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.直线xsinα+y+2=0的倾斜角θ的取值范围是[0,π4]∪[3π4,π)

B.“a=−1”是“直线a2x−y+1=0与直线x−ay−2=0互相垂直”的充要条件

C.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线

D.已知向量a10.某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为34，23，两人能否获得满分相互独立，则(

)A.两人均获得满分的概率12 B.两人至少一人获得满分的概率712

C.两人恰好只有甲获得满分的概率14 11.扎马钉(图1)，是古代军事战争中的一种暗器．如图2所示，四个钉尖分别记作A、B、C、D，连接这四个顶点构成的几何体为正四面体，组成该“钉”的四条等长的线段公共点为O，设OA=1，则下列结论正确的是(

)

A.AB⊥CD B.O为正四面体ABCD的中心

C.BC=1 D.四面体ABCD的外接球表面积为π三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.如图，在平行六面体ABCD−A1B1若∠A1AB=∠A1AD=60°13.将一张坐标纸对折，如果点(0,m)与点(m−2,2)重合，则点(−4,1)与点______重合．14.学校为了解学生身高(单位：cm)情况，采用分层随机抽样的方法从4000名学生(男女生人数之比为3：2)中抽取了一个容量为100的样本.其中，男生平均身高为175，方差为184，女生平均身高为160，方差为179，用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，AD//BC，PA=BC=2AD=2AB=4，AD⊥平面PAB，PA⊥AB，E，F分别是棱PB，PC的中点．

(1)证明：DF//平面ACE．

(2)求平面ACE与平面PAD的夹角的正弦值．16.(本小题15分)

为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组[20,25)、第2组[25,30)、第3组[30,35)、第4组[35,40)、第5组[40,45]．

(1)求图中x的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[35,40)的人数；

(2)估计抽出的100名志愿者年龄的第75百分位数；

(3)若在抽出的第2组、第4组和第5组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人.求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率．17.(本小题15分)

已知顶点P(−1,2)，直线l1：4x+y+3=0和l2：3x−5y−5=0．

(1)过点P作l1的垂线PH，求垂足H的坐标；

(2)过点P作直线l分别于l1、l2交于点A、B，若P恰为18.(本小题15分)

已知函数f(x)=axx2+b(a>0,b>1)满足f(1)=1，且f(x)在R上有最大值324．

(1)求a，b的值；

(2)当19.(本小题17分)

已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，C=120°．

(1)若a=2b，求tanA的值；

(2)若∠ACB的平分线交AB于点D，且CD=1，求△ABC周长的最小值．

参考答案1.A

2.B

3.B

4.C

5.A

6.A

7.C

8.D

9.ACD

10.ACD

11.AB

12.1713.(−1,−2)

14.236

15.解：(1)证明：因为E，F分别为PB，PC的中点，

所以EF/​/BC，EF=12BC，

又因为AD//BC，

所以EF/​/AD，

又BC=2AD=4，

所以BC=4，AD=2，

所以AD=12BC，

所以EF=AD，

所以四边形ADFE为平行四边形，

所以DF/​/AE，

又AE⊂面ACE，DF⊄面ACE，

所以DF/​/面ACE．

(2)以A为原点，AB，PA，AD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系：

则A(0,0,0)，B(−2,0,0)，C(−2,0,4)，P(0,−4,0)，E(−1,−2,0)，F(−1,−2,2)，

平面PAD的法向量为AB=(−2,0,0)，

又AC=(−2,0,4)，AE=(−1,−2,0)，

设面AEC的法向量m=(x,y,z)，

所以AC⋅m=−2x+4z=0AE⋅m=−x−2y=0，

令y=1，则x=−2，z=−1，

所以面AEC的法向量m=(−2,1,−1)，

设平面ACE与平面PAD的夹角为θ，

16.解：(1)由直方图知：(0.14+x)×5=1，可得x=0.06，

所以500名志愿者中年龄在[35,40)的人数为0.06×5×500=150人；

(2)因为(0.01+0.04+0.07)×5=0.6<0.75，(0.01+0.04+0.07+0.06)×5=0.9>0.75，

所以第75百分位数在[35,40)区间内，若该数为a，

所以0.6+0.06×(a−35)=0.75，

解得a=37.5；

(3)由题设，第2组、第4组和第5组的频率之比为2：3：1，知6名志愿者有2名来自[25,30)，3名来自[35,40)，1名来自[40,45)，

不妨设第2组、第4组和第5组抽取的志愿者为a1，a2，b1，b2，b3，c，

则抽取两人的基本事件有(a1,a2)，(a1,b1)，(a1,b2)，(a1,b3)，(a17.解：(1)由于过点P作l1的垂线PH，所以直线PH的方程为y−2=14(x+1)，整理得x−4y+9=0；

所以x−4y+9=04x+y+3=0，解得x=−2117y=3317，即H(−2117,3317).

(2)直线l与已知直线l1：4x+y+3=0和l2：3x−5y−5=0分别交于A和B，

由于点A在直线4x+y+3=0上，

故可设A(t,−4t−3)，由于点P(−1,2)为A和B的中点，

所以B(−t−2,4t+7)；

由于点B在直线3x−5y−5=0上，故3(−t−2)−5(4t+7)−5=0；18.解：(1)∵f(x)=axx2+b(a>0,b>1)，满足：f(1)=1，

∴f(1)=a1+b=1，即a=1+b，①

f(x)=ax+bx≤a2x⋅bx=a2b，

∵f(x)在R上有最大值324．

∴a2b=324.即2a=32b

②，

由①②得a=3，b=2；

(2)由(1)得f(x)的解析式f(x)=3xx2+2，

由题意得当x∈[1,2]，则只有当m>2或m<1时，f(x)≤3m(x2+2)|x−m|才有意义，

①当m<1时，3xx2+2≤3m(x2+2)|x−m|，等价为x(x−m)−m≤0，

19.解：(1)已知△ABC中，角A，B，C