2024-2025学年吉林省第二实验学校九年级（上）第一次月考数学试卷（五四学制）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年吉林省第二实验学校九年级（上）第一次月考数学试卷（五四学制）一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.根据有理数减法法则，计算2−(−3)过程正确的是(

)A.+(2−3) B.+(3−2) C.−(2+3) D.2+32.如图所示的几何体，它的俯视图是(

)A.B.C.D.3.如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数等于(

)A.20°

B.30°

C.50°

D.80°4.下列运算一定正确的是(

)A.3a⋅3a=9a B.a2⋅a35.若a>b，则下列不等式中成立的是(

)A.a−5<b−5 B.a5<b5 C.6.许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”(可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯).上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层，“飞梯”的截面如图，AB的长为50米，AB与AC的夹角为24°，则高BC是(

)A.50sin24°米 B.50cos24°米 C.50sin24D.50cos7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°.小聪同学利用直尺和圆规完成了如下作图：

①分别以点A，B为圆心，以大于12AB长为半径画弧，两弧交于点M，N，过点M，N作直线与AB交于点D；

②连接CD，以点D为圆心，以一定长为半径画弧，交MN于点E，交CD于点F，以点C为圆心，以同样定长为半径画弧，与CD交于点G，以点G为圆心，以EF长为半径画弧与前弧交于点H.作射线CH与AB交于点K．

请根据以上操作，下列结论不一定成立的是(

)A.∠CDM=∠DCK B.CK平分∠ACD

C.MN垂直平分AB D.∠CKD=90°8.如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+4与y轴交于点C，与反比例函数y=mx在第一象限内的图象交于点B，连接OB，若S△OBC=4，tan∠BOC=13A.6 B.8 C.10 D.12二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。9.单项式−2a2b10.计算：18−211.若抛物线y=x2−2x+c(c是常数)与x轴有交点，则c12.如图，一次函数y=ax+b与x轴、y轴分别交于A、B两点，A(3,0)、B(0,2)，那么不等式ax+b<2的解集为______．13.如图，A，B是⊙O上的两点，OA⊥OB，点C在优弧AB上，则∠ACB=______度．14.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，对称轴为直线x=−1，则下列结论中：

①abc>0；

②am2+bm≤a−b(m为任意实数)；

③3a+c<1；

④若M(x1,y)、三、计算题：本大题共1小题，共6分。15.有甲、乙两种车辆参加来宾市“桂中水城”建设工程挖渠运土，已知5辆甲种车和4辆乙种车一次可运土共140立方米，3辆甲种车和2辆乙种车一次可运土共76立方米．求甲、乙两种车每辆一次可分别运土多少立方米？四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题6分)

先化简，再求值：(1−1x+1)⋅x17.(本小题6分)

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，⊙C经过点O，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为(0,4)，M是圆上一点，∠BMO=135°．

(1)求∠ABO的度数．

(2)圆心C的坐标为______．18.(本小题7分)

函数y=−14x2+12x+154的图象如图所示，结合图象回答下列问题：

(1)方程−14x2+12x+154=0的两个根为x1=______，19.(本小题7分)

如图，已知AB是⊙O的直径，弦AC平分∠DAB，过点C作直线CD，使得CD⊥AD于D．

(1)求证：直线CD与⊙O相切；

(2)若AD=3，AC=23，求直径AB的长．

20.(本小题7分)

图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点.点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作格点图形．

(1)在图①中，作△ABC，使其面积为32；

(2)在图②中，作△ABD，使其面积为2；

(3)在图③中，作四边形ABEF，使其是轴对称图形且面积为3．21.(本小题8分)

“绿色出行，低碳环保”，共享电动车是一种新理念下的交通工具，现有甲、乙两种品牌的共享电动车，收费标准y(元)与骑行时间x(分)之间的函数关系如图所示，请根据图象信息，解答下列问题：

(1)甲品牌共享电动车每分钟收费______元．

(2)当骑行时间不低于10分钟时，求乙品牌共享电动车y与x之间的函数关系式．

(3)已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为20km/ℎ，若小明需要骑行共享电动车去上班，小明家到单位的距离为6km，请通过计算帮小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱．22.(本小题9分)

【问题原型】

如图1，线段AB是⊙O一条弦，AB=2，点D在⊙O上，∠ADB=30°，求⊙O的半径长.小元的解法如下，请你帮他补全适当的理由：

解：连结BO并延长交⊙O于点C，连结AC，

∵BC为⊙O直径，点A在圆上，

∴∠CAB=90°，(______)

∵AB=AB，

∴∠ACB=∠ADB=30°，(______)

∴在Rt△ABC中，∠ACB=30°，

∴sin∠C=12，

∴AB=12BC．

∵AB=2．

∴BC=4，

∴OB=2．

即⊙O的半径长为2．

【逆向思考】

如图2，线段AB是⊙O一条弦，若C、D在AB的异侧，∠ADB=60°，⊙O的半径为1，求弦AB的长．

【模型应用】

如图3，P为△ABC边BC上一点，以AP为直径作圆，交直线AB于点E，交直线AC于点F，连结EF.∠B=30°，∠C=15°，AB=x，则线段EF的最小值为______23.(本小题10分)

如图，在△ABC中，AB=7，AC=5，tan∠A=34，点P为边AC上一点，当点P不与点A重合时，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ为边向右侧作正方形PQMN．

(1)tan∠B=______；

(2)当△QBC是等腰直角三角形时，求线段AP的长；

(3)连接BN，求线段BN的最小值；

(4)连接PM、QC，设线段PM与线段QC交点为O，当点O为线段24.(本小题12分)

在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c(b、c为常数)经过点(0,−3)和点(3,0)，点P是抛物线上一动点，其横坐标为m，过点P作x轴垂线交直线y=2x于点Q，分别作点P、Q关于y轴的对称点N、M，构造矩形PQMN．

(1)求此二次函数的解析式．

(2)当抛物线顶点落在矩形PQMN的边上时，求矩形PQMN的面积．

(3)当抛物线在矩形内部的图象y随x的增大而减小时，求m的取值范围．

(4)抛物线在矩形内部(包括边界)的最高点与最低点的纵坐标之和的绝对值为2时，直接写出m

参考答案1.D

2.A

3.A

4.B

5.C

6.A

7.B

8.D

9.−2

10.211.c≤1

12.x>0

13.45

14.①②③

15.解：设甲种车辆一次运土x立方米，乙车辆一次运土y立方米，

由题意得，5x+4y=1403x+2y=76，

解得：x=12y=20．

答：甲、乙两种车每辆一次可分别运土12和2016.解：原式=(x+1x+1−1x+1)⋅(x+1)(x−1)x

=xx+1⋅(x+1)(x−1)x17.解：(1)∵点A、B、O、M在⊙C上，

∴四边形ABMO内接于⊙C，

∴∠BAO+∠BMO=180°，

∵∠BMO=135°，

∴∠BAO=45°，

∵∠AOB=90°，

∴∠ABO=45°；

(2)过C作CE⊥OB于E，

∵点A的坐标为(0,4)，

∴OA=4，

∵O为坐标原点，⊙C经过点O，且与两坐标轴分别交于点A与点B，

∴AB是⊙C的直径，

∴CBAB=12，

由(1)知，∠ABO=∠BAO=45°，

∴OB=OA=4，

∵CE⊥OB，

∴CE/​/OA，

∴△BCE∽△BAO，

∴BEOB=CEOA=CBAB=12，

∴BE4=CE18.解：(1)由图象可得：方程−14x2+12x+154=0的两个根为x1=−3，x2=5；

(2)由图象可得：当y>0时，则x的取值范围为−3<x<5，

∵y=−14x2+12x+154=−19.(1)证明：连接OC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠OAC，

∴∠DAC=∠OCA，

∴OC//AD，

∵AD⊥CD，

∴OC⊥CD．

又∵OC是⊙O的半径，

∴直线CD与⊙O相切于点C；

(2)解：连接BC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°．

∵∠DAC=∠OAC，∠ADC=∠ACB=90°，

∴△ADC∽△ACB，

∴ADAC=ACAB，20.解：(1)如图所示，△ABC1或△ABC2或△ABC2即为所求；

S△ABC1=S△ABC3=12×3×1=32，

如图，

∵AB=12+12=2，AC2=12+22=5，

∴AD=22，21.(1)0.2；

(2)当x≥10时，设乙品牌共享电动车y与x之间的函数关系式是y=kx+b，

将(10,3)，(20,4)代入得：

10k+b=320k+b=4，

解得k=0.1b=2，

∴y=0.1x+2(x≥10)；

(3)小明需要骑行的时间是620×60=18(分)，

从图象可知，当x<20时，y甲<y乙，即骑行甲品牌的共享电动车更省钱，

答：小明选择甲品牌的共享电动车更省钱．

22.[问题原型]直径所对的圆周角是直角；同弧所对的圆周角相等；

[逆向思考]连结AO并延长交⊙O于点M，连结BM，

∵A

M为⊙O直径，点B在圆上，

∴∠ABM=90°，

∵AB=AB，

∴∠ADB=∠AMB=60°，

在Rt△ABM中，∠MAB=30°，

∵AM=2AO=2，

∴AB=AM⋅cos30°=2×32=3，

即AB=3；

[模型应用]设圆的圆心为O，连结EP，FP，连结EO并延长交⊙O于点K，连结FK，如图，

∵∠B=30°，∠C=15°，

∴∠A=180°−∠B−∠C=135°，

∴∠EPF=180°−∠A=45°，

∵EK为⊙O直径，点F在圆上，

∴∠EFK=90°，

∵EF=EF，

∴∠EKF=∠EPF=45°，

在Rt△EFK中，∠FEK=∠FKE=45°，

∴EF=EK2=AP2=2AP223.(1)1；

(2)当QC=BC，∠QCB=90°时，△QBC是等腰直角三角形，如图2，

∵CD⊥AB，

∴QD=BD=3，

∴AQ=7−QD−BD=1，AD=7−BD=4，

由题意知PQ//CD，

∴APAC=AQAD，即AP5=14，

∴AP=54；

显然，点P与点C重合时，△QBC是等腰直角三角形，如图3，

此时，AP=5；

综上，线段AP的长为5或54；

(3)如图4，以BC为对角线，构造正方形CDBE，连接AE，

∴PN//CE，MN/​/BE，

∴点N在线段AE上，当BN⊥AE时，线段BN取得最小值，

由题意得BE=CD=3，

∴AE=AB2+BE2=58，

∵S△ABE=12AE×BN=12AB×BE，

∴BN=215858，

即线段BN的最小值为215858；

(4)设正方形PQMN的边长为x，

当QOQC=13时，如图5，

∵∠B=45°，∠PMQ=45°，

∴OM//BC，

∴QOQC=QMQB=13，即xQB=13，

∴QB=3x，则AQ=7−3x，

∵tan∠A=34，

∴x7−3x=34，

解得x=2113，经检验x=2113是原方程的解，

即PQ=2113，AQ=7−3x=2813，

∴AP=AQ2+PQ2=3513；

当QOQC=23时，如图6，

∵∠B=45°，∠PMQ=45°，

∴OM//BC，

∴QOQC=QMQB=23，即xQB=23，

∴QB=32x，则AQ=7−32x，

∵tan∠A=34，

∴x7−32x=34，解得x=4217，

经检验x=4217是原方程的解，

即PQ=4217，AQ=7−32x=5617，

∴AP=AQ2+PQ2=7017；

综上，线段AP的长为3513或7017．

24.解：(1)把(0,−3)，(3,0)代入y=x2+bx+c，得c=−39+3b+c=0，

解得：c=−3b=−2，

∴y=x2−2x−3；

(2)∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，

∴抛物线顶点坐标为(1,−4)，

当抛物线顶点落在矩形PQMN的边PN上时，如图，

∵P、N是关于y轴的对称点，

∴PN//x轴，

∴点P纵坐标为−4，

∴点P与抛物线的顶点重合，

即P(1,−4)，

∴点N(−1,−4)，

∴PN=2，

∵过点P作x轴垂线交直线y=2x于点Q，

∴Q点横坐标为1，

当x=1时，y=2x=2，

∴Q(1,2)，

∴PQ=2−(−4)=6，

∴矩形PQMN的面积=PQ⋅PN=6×2=12；

当抛物线顶点落在矩形PQMN的边QM上时，如图，

同理可得点Q的纵坐标为−4，

当y=−4时，则2x=−4，

解得：x=−2，

∴Q(−2,−4)，

∴M(2,−4)，

∴MQ=4，

∵PQ⊥x轴，

∴P点的横坐标