山西省运城市高三上学期期中考试理数试题解析（解析版）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，，则（)A．B． C． D．【答案】A【解析】试题分析:并集为所有元素的合集，所以。考点:并集。【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性。研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式,我们首先用十字相乘法分解因式,求得不等式的解集。在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系.在求交集时注意区间端点的取舍.熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目。2.已知向量，，若，则实数等于（)A． B． C．或2 D．【答案】C【解析】试题分析：由于两个向量平行，故.考点：向量运算.3.已知，且,则为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】试题分析：，,所以在第四象限，。考点:诱导公式，同角三角函数关系.4.若，，则一定有（)A． B． C． D．【答案】B【解析】试题分析：根据，有,由于,两式相乘有，故选B。考点:不等式的性质.5。函数满足的值为（）A．1 B． C．或 D．1或【答案】D【解析】试题分析:,。考点：分段函数求值.6。把函数的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向右平移个单位，这是对应于这个图象的解析式为（）A． B．C． D．【答案】A考点:三角函数图像变换。7.函数是偶函数，且在内是增函数,，则不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】B考点：函数的奇偶性与单调性。8。设向量,满足，，，则（）A．2 B． C．4 D．111]【答案】B【解析】试题分析:不妨设，所以，解得,所以.考点:向量运算。9。已知等比数列中，，等差数列中,，则数列的前9项和为(）A．9 B．27 C．54 D．72【答案】B【解析】试题分析：根据等比数列的基本性质有，所以，所以。考点：等差数列与等比数列.10.已知函数，是函数的导函数，则的图象大致是（）【答案】A考点：函数导数与图象。11。已知函数,设,且的零点均在区间内，其中，，，则的最小整数解为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】试题分析：，所以函数在内有零点，且在区间上，，函数递增,故只有唯一零点,左移个单位得到，依题意，函数所有零点都在区间上，所以使得的最小整数为。1考点:函数图象平移与零点.【思路点晴】本题主要考查函数图象变换和零点与二分法的知识.由于，所以函数的图像是有函数的图像向左平移个单位所得。由于零点都在某个区间上，所以函数的零点也在某个区间上。利用二分法的知识，计算的值，,且函数递增，有唯一零点在区间,左移个单位就是。12.已知点在△内部一点，且满足，则△，△，△的面积之比依次为（）A．4：2：3 B．2：3:4 C．4:3:2 【答案】A考点：向量运算.【思路点晴】本题主要考查向量的运算，考查三角形的面积公式,考查化归与转化的数学思想方法，考查几何代数化的方法.由于题目没有限制三角形的形状，所以可以设为特殊三角形，为了方便建立坐标系，取三角形为等腰直角三角形.建立平面直角坐标系后，用坐标表示点，代入题目给定的向量条件，计算出得按的位置，也就是三角形的高,然后利用面积公式求面积.第Ⅱ卷(非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13。若一个幂函数图象过点,则．【答案】【解析】试题分析：设，。考点：幂函数.14.设数列的前项和为，已知，则的通项公式为．【答案】【思路点晴】已知求是一种非常常见的题型，这些题都是由与前项和的关系来求数列的通项公式，可由数列的通项与前项和的关系是，注意：当时，若适合，则的情况可并入时的通项;当时，若不适合,则用分段函数的形式表示．15。平面向量,，（），且与的夹角等于与的夹角，则．【答案】【解析】试题分析:依题意有，根据夹角公式有，解得。考点:向量运算。【思路点晴】本题主要考查向量的坐标运算，考查向量的夹角公式，考查方程的思想.利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．对向量与三角函数的综合问题，可通过向量的数量积运算把向量问题转化为三角问题，从而可利用三角公式求解．16。如图，在△中,,,,为△内一点，,，则．【答案】考点：解三角形.三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数，．（1）求;（2）求函数的最小正周期与单调减区间．【答案】（1）；（2），单调减区间为,.【解析】试题分析：（1)利用二倍角公式、降次公式、辅助角公式，化简,所以;（2）由(1)可知最小正周期为。利用求得单调减区间为.试题解析：．考点：三角恒等变换,三角函数单调性.18。已知各项均为正数的数列，满足，（)．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】(1）；(2).【解析】试题分析：（1）由于，所以是等差数列，即，开方得；（2）由于是一个等差数列除以一个等比数列，所以利用错位相减法求得前项和。1试题解析：（1）因为，（),所以，因为，所以（）．（2）由(1）知,，所以，所以,①则，②①②,得，所以．考点:递推数列求通项，错位相减法。19.在△中，角,，的对边分别为，，，且．（1）求角的值；(2)若，边上中线，求的面积．【答案】（1）；（2）。(2）∵，∴，可知△为等腰三角形,在△中，由余弦定理，得,即，∴,△的面积．1111]考点：解三角形.20。已知函数，且．(1）求的值；（2）若对于任意,都有,求的最小值．【答案】(1）;(2）.（2)由,得，因为，所以对于任意,都有．设，则，令，解得，当变化时，与的变化情况如下表：11111］增极大值减所以当时，，因为对于任意,都有成立，所以，所以的最小值为．考点：函数导数与不等式。21。为了保护环境，发展低碳经济,某单位再国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本（元)与月处理量(吨)之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一顿二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．（1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？【答案】（1）;（2）不获利,.试题解析：(1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：，当且仅当，即时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．1111］（2)设该单位每月获利为，则，因为，所以当时，有最大值．故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元,才能不亏损．考点：应用问题,基本不等式。【方法点晴】本题主要考查实际应用问题，考查利用基本不等式求最值的方法,考查利用二次函数性质求最值的方法。第一问成本的表达式已经给出为，再除以就得到平均成本，观察这个平均成本,发现可以利用基本不等式求最值,基本不等式求最值要注意一正二定三相等.第二问要求补贴的最小值，也即是要求亏损的最大值.先列出获利的表达式，利用配方法求得最值。22。已知函数．（1）若曲线过点,求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最大值；（3)若函数有两个不同的零点，，求证：．【答案】（1);（2)当时，，当时，，当时，;(3）证明见解析.试题解析：（1）因为点在曲线上，所以,解得．因为，所以切线的斜率为0，所以切线方程为．（2）因为，①当时，，，所以函数在上单调递增,则；②当，即时，，，所以函数在上单调递增，则；③当，即时,函数在上单调递增，在上单调递减,则;④当，即时，,，函数在上单调递减，则．综上，当时，；当时,；当时，．因为，所以即证明，即，令,则，于是，令（），则，故函数在上是增函数，所以，即成立，所以原不等式成立．考点：导数与切线