2022-2023学年北师大版九年级数学上学期专项讲练112 正方形的性质与判定(拓展篇)

专题1.12正方形的性质与判定（拓展篇）（专项练习）

—*、单选题

类型一、正方形折叠问题

1.如图，正方形48CQ中AB=6,点E在CD上,且将”^沿人后对折

至AAFE，延长边EF交边BC于点G,连接AG.CF,下列结论:①^ABG=尸G；②BG=CG；

③AG〃C尸；®5fCC=3；⑤DE-BG'EG"其中正确结论的个数是（）个

C.4D.5

2.如图，在正方形ABCO中，对角线AC,8。交于点0,折叠正方形ABCQ,使A8

边落在AC上，点B落在点“处，折痕AE交BC于点E,交BO于点F,连接尸H,下列结

FH_sAB

论：①4D=DF；②四边形为菱形；=V2-1；=—•其中正确的结

ADdMCEAC

C.2个D.1个

3.如图，正方形纸片48C。的边长为12,点尸是AO上一点，将△€»尸沿。尸折叠,

点。落在点G处，连接OG并延长交A8于点£若AE=5,则GE的长为（)

4.如图，将正方形纸片ABCD沿折叠，使点8落在4。边的点P处（不与点A,点

。重合），点C落在G点处，PG交DC于点H,连接BP,BH.BH交EF于点、M,连接PM.下

列结论：①P3平分NAPG；®PH=AP+CHi③BM二皂BP,④若BE=：,AP=\,贝修

23

BEPM=%其中正确结论的序号是（）

A.①②③④B.①②③C.®®®D.

类型二、正方形重叠部分面积问题

5.如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，M、N是其中两个正方形对角线的

交点，则两个阴影部分面积之和是（)

A.1B.2C.五D.4

6.如图.边长为I的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺

时针旋转45。，则这两个正方形重叠部分的面积是（

D、

R'

A.三B.①C.T・@D.V2-1

233

7.将〃个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点4”A2,…，A〃分别是正

方形对角线的交点，则〃个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（）

8.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为Si

和S2,比较Si与S2的大小（）

A.Si>S2B.Si=S2C.S1VS2D.不能确定

类型三、正方形最值问题

9.如图，正方形ABC。的周长为24,尸为对角线AC上的一个动点，E是8的中点,

则PE+PD的最小值为（)

A.3yf5B.3啦C.6D.5

10.如图，正方形ABC。的边长是2,ND4C的平分线交CO于点E,若点P,。分别

是A。和AE上的动点，则。Q+尸。的最小值为（）

cID.2

11.如图，正方形488边长为4,点E是。。边上一点，且NABE=75。.夕是对角线

BD上一动点,则AP+gs尸的最小值为（）

C&+瓜

D.\/2+^6

'-2-

12.如图，矩形438中，Afi=2,BC=4,P,。分别是8C,A8上的两个动点,

AE=1,△4EQ沿EQ翻折形成AFEQ,连接PF,PD,则小十/¥）的最小值是（）

A.5B.4C.2&D.245

类型四、平直直角坐标系中的正方形问题

13.如图，将正方形O4BC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为（1,石）,

则点C的坐标为（）

A.(-1,->/3)B.(G，-1)C.(-1,73)

D.(■⑸1)

14.在平面直角坐标系中，正方形48co的位置如图所示,点A的坐标为（0,2）,点

8的坐标为（・3,0）,则点C到y轴的距离是（）

A.6B.5C.4D.3

15.如图①，正方形A8CO在直角坐标系中，其中A5边在y轴上，其余各边均与坐标

釉平行，直线/：产心1沿），轴的正方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，该直

线被正方形ABC。的边所截得的线段长为机（米），平移的时间为1（秒），相与/的函数图

象如图②所示，则图②中〃的值为（）

D.10上

16.如图，在平面直角坐标系中，四边形A8CO为正方形，点4的坐标为（0,2）,点8

的坐标为(4,0),点E为对角线的交点，点尸与点E关于)，轴对称，则点尸的坐标为(）

A.(-2,3)B.(3,-3)C.(-3,2)D.(-3,3)

类型五、正方形的旋转问题

17.已知正方形OBC。在平面直角坐标系中的位置如图所示M为边08上一点，且点

M的坐标为(a,b).将正方形OBCO绕原点O顺时针旋转，每秒旋转45。，则旋转2022

C.（也a）D.（-〃，-b）

18.如图，正方形OABC中，点。(0,4),点。为A8边上一个动点，连接CO,点P为

的中点，绕点。将线段。P顺时针旋转90。得到线段。Q,连接80当点。在射线。8

）.

C.噌D.吟

19.如图，在平面直角坐标系中，点4,8的坐标分别为(0,4),(4,0),将线段AB

绕点8顺时针旋转60。至BC的位置，点A的对应点为点C,则点C的坐标为（）

A.（4垃,4&）B.（2+2瓜2+2间

C.（4石,46）D,1石-2,4石-2）

20.如图，正方形OA8C的两边OA,OC分别在x轴、y轴上，点。（5,3）在边48

上，以点。为旋转中心，把△83逆时针旋转90。,则旋转后点。的对应点D的坐标是（）

，10)C.(3,10)D.(-5,7)

二、填空题

类型一、正方形折注问题

21.如图，将边长为4的正方形纸片ABC。折叠，使得点4落在边CO的中点E处，折

痕为尸G,点F、G分别在边40、BC上，则折痕尸G的长度为一

22.如图1,将正方形纸片ABCO对折，使与。重合，折痕为EF.如图2,展开

后再折叠一次，使点C与点七重合，折痕为G”,点8的对应点为点M,EM交AB于N.若

人。=8,则折痕G"的长度为

23.如图，已知正方形ABC。，点E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点、B

落在尸处，连接8尸并延长，与NOA尸的平分线相交于点”，与4E,CD分别相交于点G,

M,连接“C,DH,DF,若48=BE4则

24.如图，已知正方形48。。的边长为6,E为边AB上一点且AE长为1,P为射线BC

上一点.把AES尸沿EP折叠，点3落在点&处.若点8'到直线A。的距离为3,则BP长

类型二、正方形重叠部分面积问题

25.如图，正方形ABCZ）的对角线AC、BO相交于点0,点0又是正方形AUG。的一

个顶点，而且这两个正方形的边长相等.设两个正方形重合部分的面积为5,正方形A8CO

的面积为S?,通过探索，我们发现：无论正方形ABC。绕点0怎样转动，始终有S

AD

g

26.如图，正方形ABC。的对角线交于。点，点。是正方形EFG。的一个顶点，正方形

ABC。和正方形EFG。的边长分别为2c5和2.5CVW,两个正方形重叠的面积是.

27.如图所示，将五个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，其中点A、B、C、D

分别是正方形对角线的交点、如果有n个这样大小的正方形这样摆放，则阴影面积的总和是

28.用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形

地砖的面积为m小正方形地砖的面积为"依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形

ABCD.则正方形4BCO的面积为（用含%力的代数式表示）.

类型三、正方形最值问题

29.如图，E,F是正方形ABC。的边上两个动点，满足AE=O尸.连接C尸交8。

于点G,连接BE交4G于点”.若正方形的边长为4,则线段OH长度的最小值是

30.如图，在矩形ABCO中，线段E尸在48边上，以E尸为边在矩形ABC。内部作正

方形EFGH,连接A”，CG.若AB=10,AO=6,EF=4,则A/7+CG的最小值为.

AEFB

31.如图，正方形448的边长为2&cm,动点E、F分别从点4、C同时出发，都以

0.5cm/s的速度分别沿A8、CD向终点8、。移动，当点E到达点8时，运动停止，过点B

作直线石尸的垂线BG,垂足为点G,连接AG,则4G长的最小值为cm.

32.在正方形4BC。中，AB=5,点E、尸分别为A。、A8上一点，且立=所，连接

BE、CF,则8E+C尸的最小值是.

BC

类型四、平直直角坐标系中的正方形问题

33.如图，在平面直角坐标系人0y中，正方形A6co的顶点A坐标为(3,0),顶点6的

横坐标为-1,点£是从。的中点，则侧。E=

34.将正方形A0CB和正方形A/CC/历按如图所示方式放置，点A(0,1)和点A/在

直线)，=x+I卜，点。和点。在“轴卜,若平移直线y=x+1至经过点力.则有线向右平移

的距离为一.

35.在AOW中，顶点0(00,A(4,3),B(4,-3).将与正方形ABCD组成的图

形绕点。逆时针旋转，每次旋转90,则第2022次旋转结束时，点C的坐标是.

36.如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形OA8C,边04、0C分别在x

轴、

），轴上，如果以对角线。8为边作第二个正方形088/。，再以对角线08/为边作第三个

类型五、正方形的旋转问题

37.如图，点E在正方形4BC。的边。。上，将△AOE绕点A顺时针旋转90。到△ABF

的位置，连接项7,过点A作E尸的垂线，垂足为点儿与交于点G.若5G=3,CG=2,

则CE的长为.

38.如图，正方形OABC的边长为2,将正方形。记。绕点0顺时针旋转a。得到正方

形。4'8'C,连接8C,当点4恰好落在直线8C上时，线段的长度是

39.如图，点尸是边长为1的正方形A5CO的对角线AC上的一个动点，点E是BC中

点，连接PE,并将PE绕点尸逆时针旋转120°得至IJ尸产,连接EF,则所的最小值是.

40.如图，正方形ABCD和即△CEF,48=10,CE=CF=6,连接8F,DE,ffiACEF

绕点C旋转过程中，当NCOE最大时，SABCF=—.

41.如图，在正方形4BCO中，E为AB的中点，连接CE,将ACBE沿CE对折，得到

△CGE,延长EG交CD的延长线于点H.

(1)求证：是等腰三角形.

(2)若A8=4,求”。的长度.

HDC

42.一位同学拿了两块45。的三角尺△MNK、“1BC做了一个探究活动，将△MNK的

直角顶点”放在AABC的斜边A3的中点处，设4c=5C=〃.

(1)如图1，两个三角尺的重叠部分为△ACM,

(2)将图1中的AWZVK绕顶点M逆时针旋转45。，得到图2,此时重叠部分的面积为

(3)如果将△MNK继续绕顶点M逆时针旋到如图3所示，猜想此时重叠部分的面积

为多少？并加以验证.

43.如图，正方形A8CO中，点E是边AO上的动点(不与点A,。重合)，连结BE,

CE.

(1)试问是否存在某个点E使£8平分NAEC?若存在，请证明；若不存在，请说明埋由；

(2)若△BEC周长的最小值为4,求此时AE的长.

B

参考答案

1.B

【分析】

先根据正方形的性质可得BC=CD=AD=AB=6,ZB=/BCD=N。=90。，再根据折叠

的性质可得A"=AO=6,E"=£>E=2,NA〃E=N£>=90。，从而可得

A5=AENAQ=9()o=N8,然后利用直角三角形全等的判定定理即可判断①；先根据全等

三角形的性质可得8G=R7,NAGB=NAGf,设3G=FG=x(x>0),则

CG=63EG=2+x,再在心/XCEG中，利用勾股定理求出x的值，由此即可判断②；先

根据等腰三角形的性质可得NGCF=NGFC,再根据三角形的内角和定理可得

2ZGCF+ZCGF=180°,根据平弟的定义可得2NAGB+NCGF=180°,从而可得

NGCF—ZAGB,然后根据平行线的判定即可判断③；根据线段的长度可得黑=1,再根

EG5

据三角形的面枳公式可得由此即可判断④；根据线段的长度分别求出的

和力^十次丁的值，由此即可判断⑤.

解：•••四边形ABCD是正方形，目4B=6,

BC=CD=AD=AB=6,ZB=ZBCD=ZD=9(r,

-CD=3DEf

:.DE=2,CE=CD-DE=4,

由折叠的性质得：AF=AD=6,EF=DE=2.ZAFE=ND=90。，

•.AB=AF,AAFG=90°=ZB,

(AG=AG

在RtZXABG和RlZXA尸G中，\y,

[ABn=AF

：.RUABG兰Rt^AFG(HL),结论①正确；

BG=FG,ZAGB=ZAGF,

设3G=FG=x(x>0),则CG=3C-5G=6-x,EG=EF+FG=2+x,

在凡ZkCEG中，CG2+CE2=EG\即(6—X)2+42=(2+X>,

解得x=3,

/.BG=FG=x=3,CG=6—x=3,

：.FG=BG=CG,结论②正确；

/GCF=ZGFC,

NGCF+ZGFC+Z.CGF=2Z.GCF+ZCGF=180°,

又ZAGB+ZAGF+NCGF=2ZAGB+NCGF=180°,

:.4GCF=ZAGB,

AGWCF,结论③正确；

­.CE=4,CG=3,

SR.CEC=_CECG=-x4x3=6,

•.£1产=2,/G=3,

•_F_G___3

,,面一号

•e-\FGC=|SRKEG=£H3,结论④错误；

•;EG=EF+FG=5,

/.EG2=25,

•;DE=2,BG=3,

DE2+BG2=22+32=13*EG2，结论⑤错误；

综上，正确结论的个数是3个，

故选：B.

【点拨】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、直角三角形全等的判定定理与性质、

勾股定理等知识点，熟练掌握正方形的性质和折叠的性质是解题关键.

2.A

【分析】

①利用折叠的性质得出N84E=NE4〃=22.5。，进而得出ND4产=67.5。，利用三角形

内角和得出NAFD=67.5。，从而证明尸；②根据折叠得出席=曰7,BF=FH,只

要再证明鲂=8/就能得出8E”尸是菱形；③由题意得FH=BE，根据角度得到AO"/为

等腰直角三角形，得出"7与O/的数量关系，以及4。与。尸的数量关系，最后根据等量关

系进行比例化简即可；④利用角平分线的性质得出砂二四，再利用三角形面积公式得出

S.BE_4B

\AC£AC

解：①•・•在正方形纸片48CZ）中，折叠正方形纸片A8CD,使AB落在AC上，点8恰

好与4c上的点”重合,

・•・/BAE=NEAH=)84c=22.5。,

2

JZDAF=67.5°,

•IZAFD=Z.BAF+ZABF=67.5°,

，zLDAF=^DFA

，AD=DF,

故①正确；

②•・,在正方形纸片A8C0中，折叠正方形纸片A4CQ,使A8落在AC上，点8恰

好与AC上的点“重合，

:,BE=EH,BF=FH，

又：AD//BC,

JZDAF:/BEF，

又：ZAFD=ZBFE,

，ZBFE=^BEF,

・•・BE=EH=FB=BH,

・•・四边形BE”尸是菱形，故②正确；

③•・•在正方形纸片48CZ)中，折叠正方形纸片ABCD,使AB落在AC上，点B恰

好与AC上的点H重合，

:.FB=FH、ZAB/二ZA//O=45。，NFOH=琳,

•••△0产〃为等腰直角三角形，

・・・OF=—FH=—FB，

22

:.AD=-BD=--2OB=s/2(FO+FB)=yf2(—FH+FH)=(\+yf2)FH,

222

.曳=_率_S1

,AD(l+V2)F/7

故③正确；

④;在正方形纸片人BCZ）中，折叠正方形纸片ABCD,使人B落在AC上，点B恰

好与AC上的点H重合，

/.AABE^AAEH，

JEB=EH,

Q—AB-BE人Q

•S.ABE_2_AB

s”-ACEHAC

2

故④正确；

综上所述①©©④正确：

故答案为：①②©④.

【点拨】本题考查了正方形的性质、菱形的判定、折叠的性质，勾股定理等等，解题的

关键是根据折登的性质得出边角相等.

3.C

【分析】

由“4SA”可证△可得AE=OF=5,进而利用三角形的面积公式可求。。的

长，即可求解.

解：设C尸与DE交于点O,

•.•将AC。尸沿C尸折叠，点力落在点G处，

GO=DO,CFLDG,

•••四边形ABC。是正方形，

..AD=CD,ZA=ZADC=90°=ZFODfZCDF=90°,

ZCFD+ZFCD=90°=ZCFD+ZADEf

NADE=NFCD,

•.•在△4。七和4。。尸中,

NA=NAOC

AD=CD

NADE=NDCF

..△ADEADCF(ASA),

:.AE=DF=5f

•••AE=5,AD=\2,

•••DE=yjAlf+AE2=J25+144=13，

•••CFA.DG,ZCDF=90°,

Srnf..=-CDxDF=-CFxODf

—xl2x5=—xODx13,

22

DO=——=G0,

13

.'.EG=13-2x—=—

1313

故答案为：C

【点拨】本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，证明

△4OEg△OCF是解题的关键.

4.B

【分析】

根据折叠的性质，NEPG=/EBC=90，EB=EP，从而得到NEPB=/EBP,根据直

角三角形两锐角互余，得到/4尸5=/8尸G,即可判定①；过点8作8Q_LP”，利用全等三

角形的判定与性质，得到C"=Q",AP=PQf即可判定②；通过证明ABMP为等腰直角三

角形，即可判定③；根据S即i形如“=5海0+5谶9求得对应三角形的面积，即可判定④.

解：由题意可得：NEPG=/EBC=90，EB=EP,

/.NEPG=NEPB+NBPG=90，ZEPB=ZEBP,

・•・NEBP+NBPG=90，

由题意可得：^EBP+ZAPB=180-zfA=180-90=90»

・•・ZAPB=4BPG,

・・・PB平分N4尸G：①正确；

过点B作如下图:

・•・/8Q尸=/A=90

在“尸8和AQPB中，

ZA=ABQP

<ZAPB=NQPB

BP=BP

:.△A/Jg^Q/J8(AAS)

：.AP=PQ,AB=BQ

♦・•四边形ABC。为正方形

AB=BC=BQ,

又,:BH=BH

:.RsBCHgRjBQH(HL),

・•・CH=QH

：・PH=PQ+QH=AP+CH,②正确；

由折叠的性质可得：石尸是P8的中垂线，

・•・PM=BM

由题意可得：ABAP^ABQP,/XBCH^/XBQH,

NABP=NPBQ,NCBH=NQBH,

・•・NPBQ+NQBH=NABP+NCBH=；ZABC=45°,

J/PBM=45,

，NBPM=NPBM=45,，

•••△BMP为等腰直角三角形，

BM2+PM2=BP2^KP2BM2=BP2，

：・BM二立BP,③正确；

2

若,AP=1,则PE=BE=g,

在阳AAPE中，AE2+AP2=PE2

：.4E=^(1)2-12=pAB=AE+BE=3,

・\PBVAF+AB2=厢，

・•・BM=—BP=yf5

2

S囚边形8E/»M=S*BEP+SABMP=5乂BEXAP+—XBM~=—>④错误，

故选B,

【点拨】此题考查了正方形与折叠问题，涉及了折叠的性质，正方形的性质，直角三角

形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股

定理等知识，综合性比较性，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解.

5.B

【分析】

连接AN,ON,易证AANE会ADM",那么可得阴影部分的面积与正方形面积的关系,

同理得出另两个正方形的阴影部分面枳与正方形面积的关系，从而得出答案.

解：连接AN,DN,如图所示:

•・•三个边长均为2的正方形重叠在•起，M、N是其中两个正方形对角线的交点,

ZANE+/END=90°,ZDNF+ZEND=90°,

:.ZANE=ZDNF,

•••四边形ABC。是正方形，

ZEAN=AFDN=45°,AN=DN

在4WE和△DM;'中

ZEAN=ZFDN

AN=DN

ZANE=ZDNF

..AANE^ADNF(ASA)f

两个正方形阴影部分ENFD的面枳=；5正方形A",

同理另外两个正方形阴影部分的面积也是;S正方形A项,

加影部分=-S正力彩=-x2x2=2.

故选：B.

【点拨】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的综合,把阴影部分进行合理转移,

得出..•两个正方形阴影部分硒/力的面积是正方形面积的!是解决本题的难点.

4

6.D

【分析】

根据旋转的性质及正方形的性质分别求得A/U?。与△C/T月的面积，从而不难求得重叠

部分的面积.

解：•••绕顶点A顺时针旋转45。，

•.NZTCE=45。，

•.CD=DE,

•••ED」AC,

ZCD'E=90°,

AC=4+i2=夜'

CD'=42-\，

正方形重叠部分的面积是gxlxl-gx(嫄—1)(0—1)=0—1.

故选：D.

【点拨】本题综合考查了三角形的面积求法、正方形的性质、旋转的性质等知识点的应

用，主要培养学生综合运用性质进行推理的能力.

7.B

【分析】

根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的。，已知两个正方形可得到一个阴影

部分，则〃个这样的正方形重段部分即为〃-1阴影部分的和.

解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的。，即是J，

44

5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为!X4,

〃个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为。x（n-1）=^cm2.

44

故选：B.

【点拨】考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到〃个这样的正方形重叠部分（阴

影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积.

8.C

VAANH和AHDG都为等腰直角三角形，

，AN=NH,DH=DG,ZANH=ZD=90°,

AsinZCAB=sin45°=,即AH=&NH,同理可得：NH二HG=&GD,

/.AH=V2NH=2HD,又AD=AH+HD=6,

AHD=-=2,

3

.\HG2=22+22,即HG=2及：

・・・Si的面积为HG?=8；

*/ZMAO=ZMOA=45°,

:.AM=MO,

VMO=MN,

AAM=MB,

・・・M为AB的中点，

*,•S?的边长为3,

・・・S2的面积为3x3=9,

S1<S2.

故选c.

9.A

【分析】

由于点B与。关于AC对称，所以连接BE,与AC的交点即为尸点.此时尸E+PD=BE最

小，而BE是直角ACBE的斜边，利用勾股定理即可得出结果；

解：如图，连接设与AC交于点P,

•・•四边形A8CO是正方形，

・,•点8与。关于AC对称，

:.PD=P'B,

:.P'D+P'E=P'B+P^BE^.

即尸在AC与庭的交点上时，PD+PE最小，即为8E的长度.

•・•正方形A8CD的周长为24

，直角△CBE中，N8CE=90。，BC=6,CE=^CD=3,

・•・BE76S=3石.

故选A.

【点拨】本题题考查了轴对称中的最短路线问题，要灵活运用正方形的性质、对称性是

解决此类问题的重要方法，找出P点位置是解题的关键

10.A

【分析】

过。作AE的垂线交AE于F,交4C于。，再过。作AP_LAO,由角平分线的性质可

得出。是。关于AE的对称点，进而可知。产即为OQ+P。的最小值.

解：作。关于AE的对称点。'，再过。作于产，

，ZAFD=ZAFD',

•：AF=AF,ZDAE=zlCAE,

•••△DA尸也△O'A产，

・・・。是。关于的对称点，ADf=AD=2,

••・〃P即为DQ+PQ的最小值,

•；四边形A5C£＞是正方形，

，NDW45。，

・・・AP=P7)',

・••在RtAAP'D'中，

P02+“2=AO,2,A。一，

•・・AP=P7)',

2Pzy^AZT2,即2产。'2=4,

:,PU=R，

即。Q+PQ的最小值为及，故A正确.

故选：A.

【点拨】本题考查了正方形的性质以及角平分线的性质和全等三角形的判定和性质和轴

对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键.

11.D

【分析】

连接AC,作PG_LBE,证明当AP+；BP取最小值时，A,P,G三点共线，且AGJ.BE,

此时最小值为4G,再利用勾股定理，30°所对的直角边等于斜边的一半即可求出结果.

解：连接AC,作

AD

B

•・•ABC。是正方形且边长为4,

ZABO=45°,AC±BD,AO=2也，

'：ZABE=75。,

・•・NPBG=3V,

・,.PG=-BP,

2

・•・当尸取最小值时，A,P,G三点共线，且AG_L8E,此时最小值为AG,

VZABE=75°,AGA.BE,

・•・ZBAG=15°,

VZBAO=45°,

・•・N%0=30。，

设OP=。，则4尸=3,.・・从+（2近）2=（292,解得：几手，

设PG=a,则5P=幼，

：80=2夜，：*2a+b=2&，解得：a=y/2~—

3

・•・AG=AP+PG=2b+a=®+R，

故选：D

【点拨】本题考查正方形的性质，动点问题，勾股定理，30。所对的直角边等于斜边的

一半，解题的关键是证明当取最小值时，A,P,G三点共线，且AGJLBE,此时

最小值为AG.

12.B

【分析】

作点。关于8c的对称点。，连接PZ）',EDT证得OP=P。，ffiHlPD+PF=PD,+PF,

又EF=EA=2是定值，即可推出当E、F、P、。四点共线时，PF+P。定值最小，最小值二瓦八所

即可得出结果.

解：作点。关于8c的对称点加，连接P£X,ED,如图所示:

:.DE=AD-AE=BC-AE=3,DD'=2DC=2AB=4,

ED'=ylDE2+DD,2=732+42=5,

在力8和丁。£>'中,

CD=CD'

ZPCD=ZPCD,=90°,

PC=PC

:.△PCDGAPCD(SAS),

:.DP=PU,

:.PD+PF=PU+PF,

•.•£F=£4=1是定值，

••・当E、尸、P、。'四点共线时，P尸+P。'定值最小，最小值=5-1=4,

.•.依+尸£>的最小值为4，

故选：B

【点拨】本题考查翻折变换、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，

解题的关键是学会利用轴对称，根据两点之间线段最短解决最短问题.

13.D

【分析】

首先作A£>_Lx轴于£>,CE_L6轴于£利用“一线三垂直”模型证明△4。。三,即

可求出点C的坐标.

解：如图所示，作AQ_Lx轴于。，C及Lx轴于E,则/。反;=乙4。。=90。,

，NCOE+/ECO=90。，

:A的坐标为（1,百），

・"。=石，0D=\,

•・•四边形048c为正方形，

：.OA=OCfNAOG90。，

/.NAOD+NCOE=90。，

・•・ZAOD=ZOCE,

在△A。。和中，

/AD0=N0EC

•；«ZAOD=ZOCE

0A=C0

AAAOD=AOCE（AAS）,

：.0E=AD=6CE=0D=\t

AC（-折1）,

故选：D.

【点拨】本题主要考查了正方形的性质、坐标与图形的综合以及全等三角形的性质与判

定，熟练掌握三角形的性质，证出全等三角形是解题的关键.

14.B

【分析】

过点C作CE_Lx轴于点E，则点。到丁轴的距离为0E,通过证明AC8E£得至IJ

BE=OA,利用点A,8的坐标大求。4,08的长，则结论可求.

解：过点C作CE_Lx轴于点E,如图,

则点c到y轴的距离为OE.

•.•点A的坐标为(0,2),点8的坐标为(-3,0),

OA=2,OB=3.

•.•CE_Lx轴，

ZCEB=900.

.•.ZEC6+Z£»C=90°.

•.•四边形A8CO是正方形，

:.BC=AB,ZCBA=90°.

:.ZEBC+ZABO=9QP.

:.ZECB=ZABO.

在ACBE和ABAO中，

NECB=NOBA

<Z.CEB=^BOA=W,

CB=BA

.•.△CBEMAZM5A45).

:.EB=OA=2.

:.OE=OB+BE=3+2=5.

•・•点c到y轴的距离是5.

故选：B.

【点拨】本题主要考查了图形的坐标与性质，正方形的性质，三角形全等的判定与性质，

利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键.

15.B

【分析】

连接4C，根据直线与坐标轴的交点得出直线与AC平行，因此当直线向上平移到4点

时被正方形ABCD的边所截得的线段长最大AAC,由图②可知此时“5,由速度求出AB

的长再根据勾股定理即可解答;

解：如图连接AC，

由y=x-\可得，当.r=0时，尸-1,当尸0时，x=l,

・・.直线与坐标轴构成的三角形是等腰直角三角形，

・•・直线与x轴的夹角是45。，

•・・正方形八内。。中.AD//BC//x^,/ACB=45°,

，直线，与AC平行，

・•・当直线向上平移到A点时被正方形ABCD的边所截得的线段长最大b=AC,

由图②可知，当〃=5时，直线平移到A点，

：,AB=\x5=5米

屈手=5忘米，

故选：B.

【点拨】本题考查了一次函数的平移，等腰三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股

定理，根据题意弄懂图象所表达的含义是解题关键.

16.D

【分析】

过点。作O”_Ly轴于凡根据正方形的性质得到4O=A8,NDAB=90。，DE=BE,

根据余角的性质得到乙4。〃=/朋0,根据全等三角形的性质得到A//=O8=4,DH=OA

=2,求得E（3,3）,于是得到答案.

解：•・•点A的坐标为（0,2）,点B的坐标为（4,0）,

：.OA=2f08=4,

过。作。”_Ly轴于H,如图，

•・•四边形ABC。是正方形，

：.AD=AB,NOA8=90>,DE=BE,

；NAHD=N4O8=90°，

・'.ND4〃+NA”£>=N4,O+NB4O=90°,

・•・ZADH=ZBAO,

：.4ADH叁丛BAO(A45),

・・・A"=0B=4,DH=0A=2t

：・0H=6,

:.D(2,6),

•・•点七是8。的中点，点8的坐标为(4,0),

・••点E的坐标是(辞，等)，

:・E(3,3),

•・•点尸与点E关于y轴对称，

点尸的坐标为(-3,3),

故选：D.

【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，关于y轴对称的点的坐

标，正确的作出辅助线是解题的关键.

17.C

【分析】

先确定此时点M对应的位置即点M'所在的位置，如图，过点M,M'分别作ME_Lx

轴于点E,轴于点尸，证明△MOF名△OME,得到“户=0石=a,OF=ME=b,

由此求解即可.

解：•・•正方形OBCD绕原点。顺时针旋转，每秒旋转45。，

・•・旋转8秒恰好旋转360°.

72022-8=252.......6,

，旋转2022秒，即点M旋转了252圈后，又旋转了6次.

V6x45°=270°,

:,此时点M对应的位置即点W所在的位置，

如图，过点M,M'分别作轴于点E,M户Lr轴于点尸,

・•・/MFO=NOEM=90。,

・•・NEOM+NEMO=90。，

•・•四边形08a＞是正方形，

ZBOD=90°,

/.NFOM'+NMOE=9()c,

：.ZMVF=ZOME,

由旋转的性质可知OM=OAT,

J/^fVF^AOME(AAS),

•・•点M的坐标为(a,b),

：・M'F=OE=a,OF=ME=b,

又点M'在第二象限，

・•・旋转2022秒后，点用的坐标为(-b,a).

【点拨】本题主要考查了点坐标规律的探索，旋转的性质，全等三角形的性质与判定,

正方形的性质，正确找到旋转2022秒后点M的位置是解题的关键.

18.C

【分析】

如图，过P作/"_LQ4,交x轴于点N,过。作&_Lx轴于E,过。作平行于入轴的直

线交PN于M,交QE于F,交,轴于G,WHDP=DQ,?PDQ90?,证明VPOM^VDCF,设

4,1),再求解。的坐标，再代入直线08的解析式即可.

解：如图，过P作PN_LO4,交x轴于点M过Q作QE_Lx轴于E,过。作平行于x轴

的直线交P/V于M,交QE于F,交y轴于G,贝ijOP=。。，?PDQ90?,

\?PMD90??QFD,

\?PDM?QDF90??QDF?DQF.

\?PDM?DQF,

\NPDMWDQF,

\PM=DF,QF=MD、

•••正方形O48C中，点C(0,4),

\OC=OA=AB=BC=4f

设。(4,小而点P为C。的中点，

'噜