2024年数学新高考《导数及其应用》及答案

导数及其应用（新高考培优专用）

目录

【重难保分考点】

【重难保分考点一】导数的概念和几何意义

【重难保分考点二】导数与函数单调性

【重难保分考点三】导数与函数极值

【重难保分考点四】导数与函数最值

【重难保分考点五】导数的综合应用

【能力培优考点】

【能力培优考点一】导数与含参的单调区间问题

【能力培优考点二】导数与恒成立问题

【能力培优考点三】导数与函数的零点

【能力培优考点四】导数与不等式证明

【冲刺压轴考点】

【冲刺压轴考点一】二次求导

【冲刺压轴考点二】参变分离

【冲刺压轴考点三】函数构造

【冲刺压轴考点四】双变量•••

【重难保分考点一】导数的概念和几何意义

一、单

1.(2022上•陕西咸阳•高二咸阳市实验中学校考阶段练习)已知函数/(2)在/=，。处的导数为6,则lim

Ao;1。

f(xo-/\x)-/(rc)(、

----------2A.--------0--二()

A.—3B.3C.—6D.6

2.(2023上•湖南•高二邵阳市第二中学校联考阶段练习)已知直线沙=3,与曲线9=ln(3c—a)+2相切，贝|a

的值为()

A.――B.In-^~~3C.2D.1

433

二、多选题

3.(2023上•贵州贵阳•高三贵阳一中校考阶段练习)已知函数/(为则所有正确的结论是()

2+1

A.函数/(⑼是增函数B.函数〃力)的值域为(0,1)

C.曲线沙=/(为关于点(0蒋)对称D.曲线夕=/(,)有且仅有两条斜率为卷的切线

4.(2023上•河南周口•高三校联考阶段练习)己知函数/Q)=/(31n2—1),则()

A.函数/(0的最小值为一1

B.若函数f(x)在点、)处的切线与直线9=9e2x一1平行，则f(m)=2e3

C.函数gQ)=/(7)-a(a>0)有且仅有两个零点

D./(ln(^))</(1)</(log23)

三、填空题

5.(2023•陕西宝鸡•校联考模拟预测)已知曲线/(2)1在点(0,7(0))处的切线与曲线沙=ln(,—1)+a

相切，则a=.

6.(2022上•山东青岛•高三山东省青岛第一中学校考期中)若曲线CM(x)=，2+a和曲线C2：gO)=41nc—

2,存在有公共切点的公切线，则该公切线的方程为.

【重难保分考点二】导数与函数单调性

一、单34a

1.(2024上.河南南阳.高三方城第一高级中学校联考期末)已知函数/Q)在R上的导函数为/(C),且『(c)-

1<0,则/(,)+2多一8>/(32-8)的解集为()

A.(-co,4)B.(0,+co)C.(—oo,0)D.(4,+co)

2.(2023.四川成都.统考一榭若a=ln(ln7t),b=_14n'|-,c=—幺则(

ooe

A.cVaVbB.b<c<aC.c<b<aD.bVQVc

二、多选题

3.(2024•全国•模拟预测)已知函数/㈤=423_63；2+3,则()

A.f㈤在［-2,2］上的极大值和最大值相等

B.直线6,+2夕—7=0和函数/(,)的图象相切

C.若/(力)在区间(Q,Q+1)上单调递减，则Q=0

D.备)+…+M*)=2。。

101

4.(2023•全国•模拟预测)已知函数/(2)和g(2)分别为R上的奇函数和偶函数，满足/(⑼+g(,)=2e。/

Q),g'(a;)分别为函数/(为和g(c)的导函数，则下列结论中正确的是()

A./⑺=e"一一

B.当工>0时，g(>)的值域为［2,+co)

C.当c>0时，若/(力)>姐恒成立，则a的取值范围为(―'2］

n

D.当nCN*时，满足g⑴D2)…g(n)>(en+1+2)y

三、填空题

5.(2023上•陕西榆林•高三校考阶段练习)已知函数/(,)的定义域为［—1,5］,部分对应值如表,/(力)的导函

数沙=/'(2)的图象如图所示，

下列关于函数/(约的命题：

①函数/(①)的值域为［1,2］；

②如果当，e［―II］时，/0)的最大值为2,那么力的最大值为4；

③函数/(,)在［0,2］上是减函数；

④当iVaV2时，函数9=/(2)—a最多有4个零点.

其中正确命题的序号是.

6.(2023•全国•高三专题练习)若对于2>1,不等式a(x—1)—Inc>0恒成立，则参数a的取值范围为

【重难保分考点三】导数与函数极值

一、单领

1.(2024.全国.模拟预测)记函数v=/(,)的导函数为“，;y'的导函数为“'，则曲线9=/(c)的曲率K=

则曲线9=1112：的曲率的极值点为()

[i+(y)2]

B

2.(2023上•山西临汾•高三山西省临汾市第三中学校校联考期中)已知函数/(c)=1—arc—lnc+2(aCR)

在区间（0,1）上单调递减,在区间（1,+8）上单调递增，则/（。）的极小值为（）

A.2B.1C.0D.-1

二、多的

3.（2023上•河北衡水•高三校考阶段练习）若函数/（，）=alnx+之+多,（a20）既有极大值也有极小值，则

/X

（）

A.be<0B.abVOC.b2+8ac>0D.ac<0

4.（2023上•湖北武汉•高三华中师大一附中校考期中）已知函数/（力）及其导函数/Q）的部分图象如图所示,

设函数9伽）=9,则9（，）（）

A.在区间（a,b）上是减函数B.在区间（a,6）上是增函数

C.在力=a时取极小值D.在/=6时取极小值

三、填空题

5.（2023•陕西宝鸡・统考二模）若函数/（,）=e，—ac无极值点,则实数a的取值范围是.

6.（2023上•山西临汾•高三校考阶段练习）已知曲线/（，）=x3+ax2+bx+1在点（1,/（1））处的切线斜率为3,

且，■是沙=/（乃的极值点，则函数的另一个极值点为

O

【重难保分考点四】导数与函数最值

一、单选#

1.（2022•福建福州•统考三模）已知函数/（,）=弩四，以下结论中错误的是（）

X+1

A./（c）是偶函数B./（c）有无数个零点

C./O）的最小值为一］D./（2）的最大值为1

2.（2023•陕西商洛•统考一模）已知函数/（,）=2（，一&，在五上单调递增，则a的最大值是（

A.0B.--C.eD.3

6

二、多选题

3.（2023下•福建厦门•高二厦门一中校考期中）己知函数/（2）=，/—冷/一机,,则函数八2）在口,2］上的最

小值可能为（）

O1

A.e——mB.---mln2mC.2e2—4mD.e2—2m

4.（2023上•广西河池•高三贵港市高级中学校联考阶段练习）已知函数/（,）=叁丝土工,则下列结论正确的

是（）

A.函数/（①）存在三个不同的零点

B.函数/（,）既存在极大值又存在极小值

C.若①C[t,+CO）时,/（aJ）max=a,则t的最大值为1

e

D.当一e2<k<0时，方程有且只有两个实根

三、填空题

5.（2023上•宁夏银川•高三校考阶段练习）函数/（2）—x\nx,g⑸=a?—22+a,若对任意的©C,x2&

[1,2],使得/（电））9（电）成立,则实数a的范围是.

6.（2023•全国•高三专题练习）⑴已知函数/（2）=te"—a（，+lnc+1）,若/（c）>0恒成立，则正数a的取值

范围是;

（2）已知不等式ce。一a（c+1）>lnt对任意正数立恒成立，则实数a的取值范围是；

（3）已知函数/㈤=aex-lnx-1,若/（，））0恒成立,则实数a的取值范围是；

（4）已知不等式ee-l）kc+lna;,对VcC（0,+（»）恒成立，则A;的最大值为.

【重难保分考点五】导数的综合应用

一、单融

1.（2023上•江苏镇江•高二江苏省镇江第一中学校考期末）若点P（l,m）不在函数/（c）=23—3^2的图像上，

且过点P有三条直线与/（c）的图像相切，则实数机的取值范围为（）

A/。,：）B'

a（-D.（—s,：）u（；,+oo）

2.（2023上•江苏常州•高三校联考阶段练习）设函数/（,）=]/—4c+ainc,若函数y=/Q）存在两个极值点

外力2,且不等式/（力1）+/（力2）>/1+/2+力恒成立,则力的取值范围为（）

A.（-co,-1]B.（-00,-16-81n2]C.（-oo,y-4e]D.（-00,-13]

二、多选题

3.（2023下•甘肃庆阳•高二校考阶段练习）如图，某款酒杯的容器部分为圆锥,且该圆锥的轴截面为面积是

16cm2的等腰直角三角形.若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则下列说

法中正确的有（）

A.冰块最大体积为党兀C77?B.冰块的最大体积为警cn?

C.冰块体积达到最大时，冰块的高度为^cmD.冰块体积达到最大时，冰块的高度为2cm

O

4.（2024上.辽宁丹东•高三统考期末）已知函数/（①）1,则（）

A./（c）有一个零点B./（c）的极小值为—彳

C./⑸的对称中心为（0,—1）D.直线?/=—c—1是曲线?/=/0）的切线

三、填空题

5.（2023上•江苏镇江•高二扬中市第二高级中学校考期末）已知不等式j-x2-alnx>0（o>0）恒成立，则a的

取值范围是.

6.（2023上•江苏镇江•高三校考阶段练习）如图,正方形与正方形ABCD的中心重合,边长分别为3

和1,R,A,马分别为4。，45，BG，CD的中点，把阴影部分剪掉后，将四个三角形分别沿AD,

4B,BC,CD折起，使A,舄，局重合于P点,则四棱锥P-ABCD的高为，若直四棱柱A2B2C2

。2—4瓦。3。3内接于该四棱锥，其上底面四个顶点在四棱锥侧棱上，下底面四个顶点在面ABCD内，则该

直四棱柱4刍。3。3体积的最大值为.

【能力培优考点一】导数与含参的单调区间问题

一、解答题

1.（2023上•湖南衡阳•高三衡阳市八中校考阶段练习）设/（，）=姐—（a+l）lmr-

X

（1）讨论/（2）的单调性；

（2）设g（c）=瓷?。—/（2），若关于①的不等式g（a；）>az+（a+3）lnz+支+1恒成立，求实数a的取值范

x

围.

2.（2023上•广东深圳•高三珠海市第一中学校联考阶段练习）已知函数/Q）=Q—l）e"+a",oeR.

（1）讨论了（0的单调性；

（2）当aV—1时，若/（。）的极小值点为g,证明：/㈤存在唯一的零点©，且d―g>ln2.

3.(2023上•重庆永川•高三重庆市永川北山中学校校考期中)已知函数/(劣)二足①+^^?一az.

⑴当a=］时，求在曲线y=/(,)上的点(1,7(1))处的切线方程；

(2)讨论函数/Q)的单调性；

(3)若了㈤有两个极值点卬如证明：/⑹—/但)<2—祟

―62N

4.(2024•广东佛山・统考一模)已知/(c)=e2x—ax—l,gQ)=arc(e。-1),其中aGR.

(1)求/(⑼的单调区间；

(2)若a>2,证明：当力>〃3a—6时，于(x>>g(x).

8

5.(2023上•江苏镇江•高二江苏省镇江第一中学校考期末)已知函数/(C)=M—21nc.

(1)试讨论函数/(工)的单调性；

(2)a>0时，求/(,)在［l,e］上的最大值；

(3)当c>1时,不等式/(，)<(x—2)lnrr+2a;+a—1恒成立，求整数a的最大值.

6.(2023上•山西吕梁•高三校联考阶段练习)已知函数/(，)=一lnc(aeR).

(1)求函数/Q)的单调区间；

(2)若函数/(①)有两个极值点g,X2(X1<电)，求当a为何值时，4/(%)-2/(g)取得最大值.

【能力培优考点二】导数与恒成立问题

一、解答题

1.(2023•四川内江•统考一模)已知函数=gm

(1)当a=1时，求/(,)的极值；

(2)若不等式/Q)＞。恒成立，求实数a的取值范围.

2.(2024.全国.模拟预测)已知函数/(2)=lnx+a®(aGR).

(1)若函数/(2)有两个不同的零点,求实数a的取值范围；

(2)若/(2)W,•e2x-l对任意的cC(0,+8)恒成立，其中e为自然对数的底数,求实数a的最大值.

3.(2024上•黑龙江牡丹江•高三牡丹江市第二高级中学校联考期末)已知函数/(2)=/1112+22；-1.

(1)求/(2)单调区间；

(2)已知m为整数，关于x的不等式/(⑼>m(x—1)在工>1时恒成立，求利的最大值.

4.(2024・全国•模拟预测)已知函数/(工)=(x+a)lnx—e(x-1)(aGR).

(1)当a=0时，讨论函数/(G的单调性；

(2)若人工)>0在(l.+oo)上恒成立，求a的取值范围.

5.（2024上•山西・高三期末）已知函数/（。）—m（x—l）2—2x+21na;,2.

（1）求证:函数/（，）存在单调递减区间，并求出该函数单调递减区间（a,6）的长度b-a的取值范围;

⑵当，＞1时，f⑸W2xex-1-4x恒成立，求实数m的取值范围.

6.（2024上•甘肃武威・高三统考期末）已知函数/（，）="+aln（x+1）.

e

（1）当Q=0时，求f（6）的最大值；

（2）若/⑸&0在力G[0,+8）上恒成立,求实数a的取值范围.

【能力培优考点三】导数与函数的零点

一、单

ax,cW0_

1.（2023上•山东•高三校联考阶段练习）已知函数/（,）=In®则函数9（2）=2何（/（2））—1的零点

.年，2>0

个数为（）

A.0或3B.0或1C.1或2D.2或3.

二、多选题

2.（2024上•湖北武汉•高三统考期末）已知函数/（rc）=e°—岫，g（rc）=khi2；—2，上>0,则（）

A.当％>6时，函数/（,）有两个零点

B.存在某个ke（0,+8）,使得函数/（,）与9（0零点个数不相同

C.存在k>e,使得/（土）与g（c）有相同的零点

D.若函数/（2）有两个零点21,C2（0<，2）,g（①）有两个零点23,，4（。3<C4）,一定有2他4=22,3

三、解答题

3.（2024上•江苏•高三统考期末）已知函数/⑺=e™-—（meR）.

X

（1）当馆=1时,求函数/（,）的单调区间；

（2）若函数/（①）的图象与①轴相切，求证：1+ln2<m<2+ln6.

4.（2023上・山东•高三校联考阶段练习）定义函数九（乃=1—c+看—于+…+（—1）".（九eN*）.

（1）求曲线沙=篇（立）在2=-2处的切线斜率；

（2）若力作）-2>ke'对任意xGR恒成立，求看的取值范围；

（3）讨论函数九（①）的零点个数，并判断力（,）是否有最小值.若九（，）有最小值m,证明：机>1—ln2；若

九⑸没有最小值，说明理由.

（注：e=2.71828…是自然对数的底数）

5.(2023上•广西柳州•高三柳州高级中学校考阶段练习)已知函数/(乃=-21n，-号+1,

X

⑴当a=1时，求/⑺在区间已，2］上的值域；

⑵若/⑺有两个不同的零点g,g，求a的取值范围，并证明：二+工＞2.

一布布a

6.(2024上•湖南长沙•高三长沙一中校考阶段练习)已知函数/(为=alns-x+^aER).

X

(1)是否存在实数a,使得①=1为函数/(c)的极小值点.若存在，求a的值;若不存在,请说明理由;

(2)若/作)图象上总存在关于点(1,0)对称的两点，求a的取值范围.

【能力培优考点四】导数与不等式证明

一、解答题

1.(2023上•河北石家庄•高三石家庄市第二十七中学校考阶段练习)已知函数/(。)=±ln。一*+皿

(1)若/(，)在定义域内为单调递减函数，求a的取值范围；

(2)求证：当a>0且rcC(0,2)时,/Q)>-1.

2.(2024•陕西宝鸡•统考一模)已知函数/(a;)=ln(c+l)—笆牛(MCA)

(1)当馆=一1时，求/(力)的单调区间；

(2)已知X>0,求证：当771>1时，f{x)<0恒成立；

(3)设m>0,求证:当函数/(2)恰有一个零点时,该零点一定不是函数y=2N的极值点.

X-V1

3.(2024•全国•模拟预测)已知函数/Q)=Ins-aex(a>0),其中e为自然对数的底数.

(1)若a=2*,求/(2)的单调区间;

⑵证明<-2-Ina.

4.(2024上•辽宁丹东•高三统考期末)已知定义在(0,+co)上的函数/(c)=In(a:+1)和g(x)=显

(1)求证：/O)VgQ);

(2)设@3)=1+”/(①)在(0,+oo)存在极值点,求实数t的取值范围•

Lg⑺」

5.(2023•全国•模拟预测)已知函数/(①)=z-mJna;(7rzeR).

(1)讨论/(立)的单调性；

(2)若存在不相等的实数为，电，使得/(为)=〃6)，证明：0<小<为+/2.

6.(2023上•河北沧州•高三泊头市第一中学校联考阶段练习)已知函数/(c)=alnx-x,aeR.

(1)讨论/(⑼的单调性；

(2)若存在不相等的实数如电，使得/(g)=/(g)，证明：。<2a<X1+x2.

17

【冲剌压轴考点一】二次求导

一、解答题

1.(2023.广东.统考二模)已知aGR,函数/(cc)=(rc—l)ln(l—x)—x—acosx,f'(x)为/(，)的导函数.

(1)当a=0时,求函数/(2)的单调区间；

(2)讨论/'(/)在区间(0,1)上的零点个数；

⑶比较白cos靠与In芈的大小,并说明理由.

iuiuy

2.(2023上•河南•高三校联考阶段练习)已知函数/(力)=xln(l+ax)-x\a>0),

(1)若Q=l,求/(力)的单调区间；

(2)若力=0是/(力)的极小值点,求实数。的取值范围.

ax

3.（2023下•湖北•高二十堰一中校联考期中）已知函数/Q）=sin力—(0V/V1),g(6)=COST—1+

%+2

靖

2

（1）证明：当力＞0时，g（力）＞0；

（2）若fg）＞0,求Q的取值范围；

⑶证明4一五工＜皆可再二］<1.

4.（2023•全国•模拟预测）已知函数/（力）=（X—l）lnx—ax-l（a＞0）.

（1）若/（力）的最小值为—e—1,求Q的值；

（2）若。=1,证明：函数/（力）存在两个零点力1，/2,且/（劣1）+/（力2）＜—2.

5.（2023•全国•模拟预测）已知函数/（力）—mx—x\nx,mGR.

（1）若函数/（力）的图象在力=1处的切线方程为g=c+b,求b的值；

A

（2）若771=2,/（力J=/（62）且力i<x2,AE（（J,］）,求证：x{~X2<e.

6.（2022•全国•模拟预测）已知函数/（力）=一专+兀/2-Q6,g（N）=2cos/.

o

⑴当力>0时，求证:g（力）>2—x2.

（2）令F（力）=/（力）—g（rc）,若R（N）的两个极值点分别为馆,n（m<n）.

①当。=0时,求曲线。=尸（比）在/=恒，力=九处的切线方程（尸（立）为FQ）的导函数）;

O—、~r,（Q—2）兀—2兀3

②求证：n—--------------------.

1—71

•fl

【冲剌压轴考点二】参变分离

一、解答题

1.（2023上.河南.高三校联考开学考试）/（为=由（6+。+1）—5+于+b有两个零点，1,电（为＜电）.

⑴a=0时，求b的范围；

K_______

（2）fe=-1且aV4时,求证：x2—x1＜2〃5—4a.

2.（2023・云南昆明・昆明一中校考模拟预测）已知函数/（0）=（力+1）（1—e-，）

（1）证明：/（劣）

（2）若/（2）＞1+叵士求实数a的取值范围.

3.（2022上•江苏泰州•高三江苏省泰兴中学校考阶段练习）已知函数/Q）=e"+（2-a）cosc.

（1）若/Q）在［0,+8）单调递增，求a的取值范围；

（2）当c>0时，/3）>&3—1）+3,求£1的取值范围.

4.（2022上•河南•高三校联考开学考试）已知函数/（力）=（/—a）］.

（1）若八2）存在两个极值点为，g，求冠+曷的取值范围；

-092

（2）若2e->OM,证明：当025<a<0.26时，函数FQ）=/（立）一遍在上有2个零点•（参

考数据：0.923=0.778688）

5.（2022下•江西赣州•高二统考期末）已知，（劣）=Se^—bxlnx—2ax—a,曲线g=/（c）在/=1处切线过点

⑴求b的值；

（2）当[],+3）时，/（,））0,求a的取值范围.

6.（2022.广东广州.华南师大附中校考三模）已知函数/⑸=垢工+会2—.存在两个极值点◎也出＜电）.

（1）求实数a的取值范围；

（2）判断了（告独）的符号，并说明理由.

【冲剌压轴考点三】函数构造

一、解答题

1.（2023上糊南衡阳•高三衡阳市八中校联考阶段练习）已知函数/⑺=（&+l）hi2-版.

（1）若函数/（①）在（O,+oo）上单调递增,求实数k的取值范围；

（2）讨论函数/（,）的零点个数.

2.（2023•浙江金华•校联考模拟预测）已知/（力）=ax2—ax--—Inrr+e~（Q>0）.

x

⑴若当力=1时函数/（力）取到极值，求Q的值；

（2）讨论函数/（力）在区间（1,+8）上的零点个数.

①—1

3.(2023上•河北邢台・高三校联考阶段练习)已知函数/(，)=+e(lnc—x),a€R.

X

(1)若/(，)在(1,+oo)上单调递增,求a的取值范围；

⑵当a>2■时,证明:f[x}+(e—l)z>e"T(l—Ina?)+elnc.

4.(2023上•天津和平•高三天津一中校考阶段练习)已知函数/㈤=x\lnx--a),a为实数.

⑴当a=1■时，求函数在工=1处的切线方程；

(2)求函数/(2)的单调区间；

(3)若函数/(c)在，=e处取得极值,/'⑺是函数/(2)的导函数,且/⑶)=/'3)，为<电,证明：2<X1

+x2<e.

5.(2023上•四川绵阳•高三绵阳中学校考阶段练习)已知函数/(0=趾。

(1)求/(①)过原点的切线方程；

(2)已知对任意的劣>0,都有不等式/(乃一ex-ax+1>2sin/恒成立，求实数a的取值范围.

6.(2023・湖南永州•统考一模)已知函数/(a;)=ln(rr+l),g(a:)=axex—2lna+31n2+3.

(1)当a；e(-1,0)U(0,+oo)时，求证：^^＞一。2+1；

⑵若rrC(T,+oo)时，gQ),求实数a的取值范围.

【冲剌压轴考点四】双变量

一、解答题

1.（2023上•重庆沙坪坝•高三重庆八中校考期中）已知函数/（①）=ae。—有两个不同的极值点

（zi<a；2）.

（1）求实数a的取值范围；

（2）已知777,>0,且为+?71,2>6+1,求m的取值范围.

2.（2023上•湖南长沙•高三长郡中学校考阶段练习）函数/（，）=a\nx+（a+1）立+-1（a>0）.

（1）求函数/（2）的单调区间；

⑵当Q=1时，若/（力1）+/（力2）=0,求证：力什力2>2；

⑶求证:对于任意nGN*都有21nd+1）+

/㈤

3.(2023・新疆•统考三模)已知函数/(6)=a/+(+l)xlnx—l,g(力)=

ax・

⑴讨论g（⑼的单调性；

⑵若方程/㈤=-1有两个不相等的实根如力2,求实数Q的取值范围，并证明d+*2>上

4.（2023下•广东珠海•高二珠海市斗门区第一中学校考阶段练习）已知函数/（6）=］一山力一3.

（1）求曲线g=/（力）在N=1处的切线方程；

（2）记函数g（力）=劣2一版—3—/（力），设处劣2（61〈劣2）是函数g（力）的两个极值点，若b>2,且g（力J—。（g）

>m恒成立,求实数m的最大值.

5.（2023下•江苏南通・高二海安高级中学校联考阶段练习）已知函数/（⑼=e"+a——五+2.

（1）若a=0,讨论/Q）的单调性；

（2）若a=1■，存在电,电（；1；1#X2）满足/（©）=/但），且g+a；2=2,求b的取值范围.

6.（2023・四川成都・四川省成都市玉林中学校考模拟预测）若函数/⑺=alnz-j-x2+a+3土〉。）有两个

零点g,/2，且gV劣2.

（1）求a的取值范围；

（2）若/（劣）在（T1，O）和（62，。）处的切线交于点（63，明），求证：2力3〈61+62.

导数及其应用（新高考培优专用）

目录

【重难保分考点】

【重难保分考点一】导数的概念和几何意义

【重难保分考点二】导数与函数单调性

【重难保分考点三】导数与函数极值

【重难保分考点四】导数与函数最值

【重难保分考点五】导数的综合应用

【能力培优考点】

【能力培优考点一】导数与含参的单调区间问题

【能力培优考点二】导数与恒成立问题

【能力培优考点三】导数与函数的零点

【能力培优考点四】导数与不等式证明

【冲刺压轴考点】

【冲刺压轴考点一】二次求导

【冲刺压轴考点二】参变分离

【冲刺压轴考点三】函数构造

【冲刺压轴考点四】双变量•••

【重难保分考点一】导数的概念和几何意义

一、单

1.（2022上•陕西咸阳•高二咸阳市实验中学校考阶段练习）已知函数/（2）在/=，。处的导数为6,则lim

Ao;1。

f（xo-/\x）-/（rc）（、

----------2A.--------0--二（）

A.—3B.3C.—6D.6

【答案】A

【分析】根据已知条件及函数在，=，o导数/（3）=6的定义即可求解.

【详解】由题意得函数/（c）在2=3处的导数/'（g）=6

17(^)-/(3；0)+6=-3,

△502△力2Ari。一△力

故4项正确.

故选：A.

2.（2023上•湖南•高二邵阳市第二中学校联考阶段练习）已知直线g=3/与曲线g=山（31—Q）+2相切，则Q

的值为（）

1一

A.—-B.In--H~~—C.2D.1

433

【答案】。

【分析】设切点坐标为（g,3g），求导/=—，从而有斜率k=———=3,再由点（g,3g）在曲线上求

6x—a6x（）—a

解.

【详解】解:设切点坐标为（g,3g）,

因为g=ln（3/-Q）+2,所以y=一,

ox-a

所以切线的斜率％=--—=3,

3g—Q

9

又3g=ln（3rc—«）+2,即3g=Ini+2,解得x=—,

00o

所以由3x0—a=1,得a=3g—1=Ini+2—1=1.

故选：D.

二、多选题

3.（2023上•贵州贵阳•高三贵阳一中校考阶段练习）已知函数/侬）=一则所有正确的结论是（）

2+1

A.函数/（力）是增函数B,函数/（力）的值域为（0,1）

C.曲线V=/（为关于点（0,4）对称D.曲线y=/（,）有且仅有两条斜率为9的切线

ZO

【答案】ABC

【分析】由函数y=2"的单调性能判断复合函数/（⑼的单调性，可判断4;由指数函数y=2"的值域易得函

数/（①）的值域，可判断B;验证/（⑼+/（—立）=1是否成立，可判断C;利用导数的几何意义判断/（，）=

士是否有解，可判断D

5

【详解】对于A：函数/（力）==1———,

'72X+11+2*

函数y=2］在_R上为增函数,则复合函数y=~~^^2X在打上为增函数，

所以函数J(T)是增函数，故A正确;

1

对于_B:函数/(力)=1—

1+2"

函数g=2'在R上为增函数且g=2*>0,则1+2*>1,

于是0V---<1,即0<1---<1

1+2'1+2①

所以0V/O)<1,即函数的值域为(0,1),故B正确；

对于C:/(^)=-1—,/(-x)=-^―=-^-,

乙IX乙IJ.XI乙

则有f[x}+/(—2)=1,曲线y=于(x)关于点(。，­)对称，故。正确；

对于D:f(x)=上一=1——」,其导数/(2)=2°n2

J—22+11+2XJ''(1+2»

若/(①)=2，11/=[_,变形可得(2。)2一(51n2-2)2。+1=0,

(1+2")5

令2,=±(t>0),则t2-(51n2-2)t+l=0,A=(51n2-2)2-4=(51n2)2-201n2=51n2(51n2-4)=

51n2(ln25-lne4)

因为25=32<62<6.252=2.54<e”，所以ln25<Ine4，又ln2>0,

于是A=51n2(ln25-lne4)V0,即关于t的一元二次方程t2-(51n2-2)力+1=0无实数根，

所以(2")2—⑸n2—2)2工+1=0无解，即曲线y=f(x)不存在斜率为卷的切线，故。错误.

O

故选：ABC.

4.(2023上•河南周口•高三校联考阶段练习)已知函数人,)="(31112—1),则()

A.函数/(⑼的最小值为一1

B.若函数/(①)在点(?71,/(机))处的切线与直线9=ge%—1平行，则/(机)=2e3

C.函数g(c)=/(0—a(a>0)有且仅有两个零点

D./(ln(^))</(1)</(log23)

【答案】ABO

【分析】选项4利用导数研究函数单调性可得最值;选项由导数的几何意义可得切线的斜率，由平行得

斜率的等量关系，由察根法利用单调性解方程可得;选项C,分区间讨论函数值域与单调性可得;选项。，比

较对数大小，利用函数单调性可得函数值大小.

【详解】/(力)=/(3hi/—1),TG(0,+oo)

由/'(6)=362(3hi6—1)+a:3,—=9x2lnx,

x

令f'3)=0,有力=1,

当Ne(0,1)时,f(力)v0,/(①)单调递减；

当力e(1,+8)时，/(力)>0,/(力)单调递增.

对于A选项，则有/(力)min=/(l)=-1，故A选项正确；

对于B选项，因为函数f{x)在点、(m,于(m))处的切线与直线^=9e2x—1平行，

所以f'(jn)—9m2lnm=9e2,即m2lnm=e2,

当0VmV1时，m2lnmVO,关于?n的方程m2lnm=e?无解；

当m>1时，设g(rn)=m2lnm,

由g(m)=m+2mlnm=m(l+21nm)>0,

则g(m)单调递增，且g(e)=e2lne=e2,

故方程『(m)=9e?有唯一解m=e,

则有/(小)—f(e)=263,故_B选项正确；

对于。选项，当xE(0,1)时，In力V0,则J(T)=63(3bi6—1)<0,

由a>0,所以方程a=/(力)无解；

当⑦e(1,+8)时，/3)单调递增，方程Q=y(x)至多有一个解；

故函数g(力)=/(/)—a(a>0)至多一个零点，故。选项错误；

11Q

对于。选项，由log23=ylog29>-ylog28=—,

-y-In(-y)=y-(ln-1+1)制—ln-1=ylne-ln-1=y(lne-ln-|-)>0,

且In(与)>Ine=1,

故有1<In(与)<|-<log23,又由函数/㈤在(1,+8)单调递增，

所以有/(in(等))</(y)V/(log23),故。选项正确.

故选：ABD.

三、填空题

5.(2023•陕西宝鸡•校联考模拟预测)已知曲线/(①)=，+e。在点(0J(0))处的切线与曲线夕=ln(c-1)+a

相切，则Q=.

【答案】4+ln2/ln2+4

【分析】根据导数的几何意义可得曲线/(力)在点(0,/(0))处的切线方程，再次利用导数的几何意义求得g

=ln(T—1)+a的切点(的斯)，从而得解.

【详解】因为fQ)=6+e*的导数为/'(⑼=1+e*,则/(0)=1/(0)=2,

所以曲线/(力)在(0,/(0))处的切线方程为0一1=2力，即y=2/+1,

又切线y=2力+1与曲线y=ln(力一1)+a相切，设切点为(/0,%),

因为“=’T，所以切线斜率为％=」T=2,解得。。=春，

X—1x0—l2

所以队=2g+1=4,贝U4=1)1(微—1)+Q,解得a=4+ln2.

故答案为；4+ln2.

6.(2022上•山东青岛•高三山东省青岛第一中学校考期中)若曲线G：/(⑼=/+。和曲线c2：gQ)=4hic—

2名存在有公共切点的公切线，则该公切线的方程为.

【答案】g=2力一4

【分析】先分别求出/(力)和g(C)的导数，然后设公共切点的坐标为(g,泱)，根据题意有y(T0)=g'(g),/(g

)=g(g),代入相应表达式列出方程组，解出比与a的值，计算出切线斜率和公切线的切点坐标，即可得到

切线的方程.

2

【详解】/(劣)=x-hafg(x)—41n力—2/，则有f(x)=26，g'3)=——2.

设公共切点的坐标为(g,队)，则

f'(xo)=2x,g\xo)=--2,

0x0

/(/0)=髭+Q,g(6°)=41ng—2g.

根据题意，有

23V,Jg=l

<

舄+Q=41ng—2g，解得=_3•

、例〉0

公切线的切点坐标为(1,—2),切线斜率为2.

公切线的方程为g+2=2(N一1),即g=2力一4.

故答案为：g=2N—4

【重难保分考点二】导数与函数单调性

一、单选题

1.(2024上.河南南阳•高三方城第一高级中学校联考期