2024-2025学年新教材高中数学课时素养检测四十九第五章三角函数5.4.3正切函数的性质与图象含解析新人教A版必修第一册

PAGE课时素养检测四十九正切函数的性质与图象(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.(多选题)已知函数f(x)=QUOTEcosx,则下列说法正确的是 ()A.f(x)的最小正周期为πB.f(x)的值域为[-1,1]C.f(x)在区间QUOTE上单调递增D.f(x)的图象关于QUOTE中心对称【解析】选C、D.因为f(x+π)=QUOTEcos(x+π)=-QUOTEcosx≠f(x),所以π不是函数的周期,A错;当tanx≥0时,f(x)=sinx,当tanx<0时,f(x)=-sinx,因为x≠±QUOTE,所以sinx≠±1,所以f(x)的值域为(-1,1),B错;当x∈QUOTE时,f(x)=-sinx是单调递增的,C正确;fQUOTE=QUOTEcosQUOTE=-QUOTEcosQUOTE=-QUOTEcosQUOTE=-fQUOTE,所以函数f(x)的图象关于点QUOTE成中心对称.D正确.2.下列函数中,同时满意:①在QUOTE上是增函数,②为奇函数,③以π为最小正周期的函数的是 ()A.y=tanx B.y=cosxC.y=tanQUOTE D.y=|sinx|【解析】选A.选项B,D所给函数都是偶函数,不符合题意;选项C中所给的函数的周期为2π,不符合题意.3.函数f(x)=QUOTE的定义域为 ()A.{x|x∈R且x≠QUOTE,k∈Z}B.{x|x∈R且x≠kπ+QUOTE,k∈Z}C.{x|x∈R且x≠kπ+QUOTE,k∈Z}D.{x|x∈R且x≠kπ-QUOTE,k∈Z}【解析】选A.QUOTE(k∈Z)得QUOTE所以x≠QUOTEπ且x≠QUOTEπ,x≠QUOTE,k∈Z.【补偿训练】函数f(x)=-2tanQUOTE的定义域是 ()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE【解析】选D.由2x+QUOTE≠QUOTE+kπ,得x≠QUOTE+QUOTE,k∈Z.所以函数f(x)=-2tanQUOTE的定义域是QUOTE.4.f(x)=-tanQUOTE的单调区间是 ()A.QUOTE,k∈ZB.(kπ,(k+1)π),k∈ZC.QUOTE,k∈ZD.QUOTE,k∈Z【解析】选C.令-QUOTE+kπ<x+QUOTE<QUOTE+kπ,k∈Z,解得-QUOTE+kπ<x<QUOTE+kπ,k∈Z,所以函数f(x)的单调减区间为QUOTE,k∈Z.5.函数y=tanx+QUOTE是 ()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数【解析】选A.函数的定义域是QUOTE,且tan(-x)+QUOTE=-tanx-QUOTE=-QUOTE,所以函数y=tanx+QUOTE是奇函数.6.函数f(x)=tanωx(ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y=1所得的线段长为QUOTE,则ω的值是 ()A.1 B.2 C.4 D.8【解析】选C.由题意可得f(x)的周期为QUOTE,则QUOTE=QUOTE,所以ω=4.【补偿训练】已知函数f(x)=tanQUOTE,则下列说法中正确的是 ()A.函数f(x)图象的对称中心为QUOTE,k∈ZB.函数f(x)图象的一条对称轴方程是x=QUOTEC.函数f(x)在区间QUOTE上为增函数D.函数f(x)的最小正周期是π【解析】选D.对于A,当x+QUOTE=kπ或x+QUOTE=kπ+QUOTE时,即QUOTE或QUOTE(k∈Z)是函数的对称中心,故错误;对于B,正切型函数无对称轴,故错误;对于C,当x∈QUOTE时,x+QUOTE∈QUOTE,正切函数在此区间不单调,故错误;对于D,周期T=QUOTE=π,故正确.二、填空题(每小题5分,共10分)7.在(0,2π)内,使tanx>1成立的x的取值范围为________.

【解析】利用图象y=tanx位于y=1上方的部分对应的x的取值范围可知.答案:QUOTE∪QUOTE8.tan2与tan3的大小关系是________(用“<”连接).

【解析】因为QUOTE<2<3<π,函数y=tanx在QUOTE上单调递增,所以tan2<tan3.答案:tan2<tan3三、解答题(每小题10分,共20分)9.求函数y=tan2x的定义域、值域和周期,并作出它在区间[-π,π]内的图象.【解析】定义域为QUOTE;值域为(-∞,+∞);周期为QUOTE;对应图象如图所示:10.若函数f(x)=2tanQUOTE(ω<0)的最小正周期为2π,求f(x)的单调区间.【解析】因为f(x)=2tanQUOTE(ω<0)的最小正周期为2π,所以QUOTE=2π,所以|ω|=QUOTE.又因为ω<0,所以ω=-QUOTE.即f(x)=2tanQUOTE=-2tanQUOTE.由kπ-QUOTE<QUOTEx+QUOTE<kπ+QUOTE(k∈Z),得2kπ-QUOTEπ<x<2kπ+QUOTE(k∈Z),所以函数f(x)的单调减区间为QUOTE(k∈Z).【补偿训练】求函数y=tanQUOTE的单调区间及最小正周期.【解析】y=tanQUOTE=-tanQUOTE,由kπ-QUOTE<QUOTEx-QUOTE<kπ+QUOTE(k∈Z),得2kπ-QUOTE<x<2kπ+QUOTEπ(k∈Z),所以函数y=tanQUOTE的单调递减区间是QUOTE,k∈Z,周期T=QUOTE=2π.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.关于函数f(x)=QUOTE的性质,下列叙述不正确的是 ()A.f(x)的最小正周期为QUOTEB.f(x)是偶函数C.f(x)的图象关于直线x=QUOTE(k∈Z)对称D.f(x)在每一个区间QUOTE(k∈Z)内单调递增【解析】选A.因为fQUOTE=QUOTE=QUOTE≠f(x),所以A错;f(-x)=QUOTE=QUOTE=f(x),所以函数f(x)是偶函数,B正确;结合f(x)=QUOTE的图象可知,C、D均正确.2.函数y=QUOTE的定义域为 ()A.QUOTE,k∈ZB.QUOTE,k∈ZC.QUOTE,k∈ZD.QUOTE,k∈Z【解析】选C.由题可知,QUOTE1-tanQUOTE≥0,tanQUOTE≤1,-QUOTE+kπ<x-QUOTE≤QUOTE+kπ,k∈Z,-QUOTE+kπ<x≤QUOTE+kπ,k∈Z.x≠QUOTE+kπ,k∈Z,所以x∈QUOTE,k∈Z.3.已知函数y=tanωx在QUOTE内单调递减,则()A.0<ω≤1 B.-1≤ω<0C.ω≥1 D.ω≤-1【解析】选B.因为y=tanωx在QUOTE内是减函数,所以ω<0且T=QUOTE≥π,所以|ω|≤1,即-1≤ω<0.【补偿训练】函数y=|tanQUOTE|的单调增区间为 ()A.QUOTE(k∈Z)B.QUOTE(k∈Z)C.QUOTE(k∈Z)D.QUOTE(k∈Z)【解析】选D.令t=x+QUOTE,则y=|tant|的单调增区间为QUOTE(k∈Z).由kπ≤x+QUOTE<kπ+QUOTE,得kπ-QUOTE≤x<kπ+QUOTE(k∈Z).4.若a=loQUOTEtan70°,b=loQUOTEsin25°,c=loQUOTEcos25°,则 ()A.a<b<c B.b<c<aC.c<b<a D.a<c<b【解析】选D.因为0<sin25°<sin65°=cos25°<1=tan45°<tan70°,所以loQUOTEsin25°>loQUOTEcos25°>loQUOTEtan70°,即a<c<b.二、填空题(每小题5分,共20分)5.y=tanQUOTE满意下列哪些条件________(填序号).

①在QUOTE上单调递增;②为奇函数;③以π为最小正周期;④定义域为{x|x≠QUOTE+QUOTE,k∈Z}.【解析】令x∈QUOTE,则QUOTE∈QUOTE,所以y=tanQUOTE在QUOTE上单调递增,①正确;tanQUOTE=-tanQUOTE,故y=tanQUOTE为奇函数,②正确;T=QUOTE=2π,所以③不正确;由QUOTE≠QUOTE+kπ,k∈Z,得{x|x≠π+2kπ,k∈Z},所以④不正确.答案:①②6.函数y=tanQUOTE的单调递增区间为________.

【解析】令α=2x-QUOTE,因为y=tanα的增区间是α∈QUOTE,k∈Z,所以2x-QUOTE∈QUOTE,k∈Z,所以x∈QUOTE,k∈Z.答案:QUOTE,k∈Z7.给出下列命题:(1)函数y=tan|x|不是周期函数;(2)函数y=tanx在定义域内是增函数;(3)函数y=QUOTE的周期是QUOTE;(4)y=sinQUOTE是偶函数.其中正确命题的序号是________.

【解析】y=tan|x|是偶函数,由图象知不是周期函数,因此(1)正确;y=tanx在每一个区间QUOTE(k∈Z)内都是增函数,但在定义域上不是增函数,所以(2)错;y=QUOTE的周期是QUOTE.所以(3)正确;y=sinQUOTE=cosx是偶函数,所以(4)正确.因此,正确的命题的序号是(1)(3)(4).答案:(1)(3)(4)8.若tanQUOTE≤1,则x的取值范围是________.

【解析】令z=2x-QUOTE,在QUOTE上满意tanz≤1的z的值是-QUOTE<z≤QUOTE,在整个定义域上有-QUOTE+kπ<z≤QUOTE+kπ,解不等式-QUOTE+kπ<2x-QUOTE≤QUOTE+kπ,得-QUOTE+QUOTE<x≤QUOTE+QUOTE,k∈Z.答案:QUOTE三、解答题(每小题10分,共30分)9.已知-QUOTE≤x≤QUOTE,f(x)=tan2x+2tanx+2,求f(x)的最值及相应的x值.【解析】因为-QUOTE≤x≤QUOTE,所以-QUOTE≤tanx≤1,f(x)=tan2x+2tanx+2=(tanx+1)2+1,当tanx=-1即x=-QUOTE时,f(x)有最小值1,当tanx=1即x=QUOTE时,f(x)有最大值5.10.已知函数f(x)=3tanQUOTE.(1)求f(x)的定义域、值域.(2)探讨f(x)的周期性,奇偶性和单调性.【解析】(1)由QUOTEx-QUOTE≠QUOTE+kπ,k∈Z,解得x≠QUOTE+2kπ,k∈Z.所以定义域为{x|x≠QUOTE+2kπ,k∈Z},值域为R.(2)f(x)为周期函数,周期T=QUOTE=2π.f(x)为非奇非偶函数.由-QUOTE+kπ<QUOTEx-QUOTE<QUOTE+kπ,k∈Z,解得-QUOTE+2kπ<x<QUOTE+2kπ,k∈Z.所以函数的单调递增区间为QUOTE(k∈Z).11.已知函数f(x)=x2+2xtanθ-1,其中θ≠QUOTE+kπ,k∈Z.(1)当θ=-QUOTE,x∈[-1,QUOTE]时,求函数f(x)的最大值与最小值;(2)函数g(x)=QUOTE为奇函数,求θ的值;(3)求θ的取值范围,使y=f(x)在区间[-1,QUOTE]上是单调的.【解析】(1)当θ=-QUOTE时,f(x)=x2-QUOTEx-1=QUOTE-QUOTE,因为x∈QUOTE,所以当x=QUOTE时,f(x)min=-QUOTE,当x=-1时,f(x)max=QUOTE.(2)gQ