第03讲二次函数的增减性与最值问题(原卷版+解析)

第3讲二次函数的增减性与最值问题考点一：二次函数的最值【知识点睛】无区间范围的二次函数最值由a与定点纵坐标共同决定对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）：对称轴：直线；顶点坐标：；开口向上a＞0二次函数有最小值；开口向下a＜0二次函数有最大值；区间范围内的二次函数最值通常需要分类讨论区间范围内由二次函数最值求参数字母值问题的解题步骤：①找对称轴画抛物线简图（不需要画平面直角坐标系）；②分类讨论：让对称轴分别在对应取值范围的左边、中间、右边；结合抛物线的增减性找到最值时的等量关系列方程求解③判断所求出的参数字母的值是否在对应分类讨论的取值范围内，不在则舍去。【类题训练】1．已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值2，有最小值﹣2.5 B．有最大值2，有最小值1.5 C．有最大值1.5，有最小值﹣2.5 D．有最大值2，无最小值2．已知函数y＝x2﹣6x+2，当﹣1＜x＜4时，则y的取值范围为．3．设二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）（a＞0，m，k是实数），则（）A．当k＝2时，函数y的最小值为﹣a B．当k＝2时，函数y的最小值为﹣2a C．当k＝4时，函数y的最小值为﹣a D．当k＝4时，函数y的最小值为﹣2a4．已知抛物线y＝（x﹣b）2+c经过A（1﹣n，y1），B（n，y2），C（n+3，y3）三点，y1＝y3．当1﹣n≤x≤n时，二次函数的最大值与最小值的差为16，则n的值为（）A．﹣5 B．3 C． D．45．已知函数y＝ax2+2ax+1在﹣3≤x≤2上有最大值9，则常数a的值是（）A．1 B． C．或﹣8 D．1或﹣86．二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（1，0），（2，3），在a≤x≤6范围内有最大值为4，最小值为﹣5，则a的取值范围是（）A．a≥6 B．3≤a≤6 C．0≤a≤3 D．a≤07．在平面直角坐标系中，过点P（0，p）的直线AB交抛物线y＝x2于A，B两点，已知A（a，b），B（c，a），且a＜c，则下列说法正确的是（）A．当ac＞0且a+c＝1时，p有最小值 B．当ac＞0且a+c＝1时，p有最大值 C．当ac＜0且c﹣a＝1时，p有最小值 D．当ac＜0且c﹣a＝1时，p有最大值8．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或39．如图，抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数）经过点A（1，0），点B（0，3），点P在该抛物线上，其横坐标为m，若该抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为2﹣m．则m的值为（）A．m＝3B．C．D．m＝3或10．已知点P（m，n）在二次函数y＝x2+4的图象上，则m﹣n的最大值等于．11．当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为4，则a的值为．12．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．﹣ B．或﹣ C．2或﹣ D．2或﹣或﹣13．当a﹣1≤x≤a时，二次函数y＝x2﹣4x+3的最小值为8，则a的值为（）A．﹣1或5 B．0或6 C．﹣1或6 D．0或514．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点坐标是（1，﹣3），且过点（2，﹣）．（1）求该二次函数的表达式．（2）若该二次函数图象与直线y＝m（m是常数）交于点A、B，AB＝6，则m＝．（3）当﹣3＜x＜3时，y的取值范围是．15．在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴，y轴分别相交于A（﹣3，0）、B（0，﹣3），二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点A．（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；（2）若二次函数y＝x2+mx+n图象与y轴交点为（0，3），请判断此二次函数的顶点是否在直线y＝kx+b（k≠0）的图象上？（3）当n＞0，m≤5时，二次函数y＝x2+mx+n的最小值为t，求t的取值范围．考点二：二次函数的增减性【知识点睛】常规问题需要由a与对称轴共同确定，且抛物线的增减性必须有对应的范围对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）：a＞0时，图象开口向上；当时，y随x的增大而减小，反之则y随x的增大而增大；a＜0时，图象开口向下；当时，y随x的增大而增大，反之则y随x的增大而减小；y1、y2比较大小问题规律总结：若点A（x1,y1）、B（x2,y2）是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上的两个点，则：当a＞0时，A、B两点谁离对称轴越近，谁的纵坐标越小；当a＜0时，A、B两点谁离对称轴越近，谁的纵坐标越大；【类题训练】1．关于抛物线y＝﹣x2+2，下列说法正确的是（）A．开口向上 B．对称轴是y轴 C．有最小值 D．当x＜0时，函数y随x的增大而减小2．二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，当﹣1＜x＜m时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＞1 B．﹣1＜m≤1 C．m＞0 D．﹣1＜m＜23．已知二次函数y＝（x+m﹣1）（x﹣m）+1，点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）是其图象上两点，下列判断正确的是（）A．若x1+x2＞﹣1，则y1＞y2 B．若x1+x2＜﹣1，则y1＞y2 C．若x1+x2＞1，则y1＞y2 D．若x1+x2＜1，则y1＞y24．已知关于x的二次函数y＝ax2﹣2ax+a2+1，当x≤﹣1时，y随x的增大而增大，且2≤x≤3时，y的最大值为10，则a的值为（）A．﹣3 B．3 C． D．±35．已知抛物线y＝﹣x2+2x+c，若点（0，y1）（1，y2）（3，y3）都在该抛物线上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y3＞y1＞y2 B．y3＜y2＜y1 C．y3＞y2＞y1 D．y3＜y1＜y26．已知二次函数y＝a（x﹣1）2+4的图象开口向上，若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（5，y3）都在该函数图象上，则y1，y2，y3三者之间的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y27．已知a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0，若b＞0，则二次函数y＝ax2+bx+c图象的顶点可能在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．已知点A（m，n）、B（m+1，n）是二次函数y＝x2+bx+c图象上的两个点，若当x≤2时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）A． B． C． D．9．已知二次函数y＝x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（）A．m＝﹣1 B．m＝3 C．m≤﹣1 D．m≥﹣110．若点P（m，n）在二次函数y＝x2+2x+2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是．11．已知二次函数y＝﹣x2+2mx+1，当x＞4时，函数值y随x的增大而减小，则m的取值范围是．12．已知：二次函数y＝ax2﹣2ax+3a﹣1．（1）求这个二次函数图象的对称轴；（2）若该二次函数图象抛物线开口向上，当0≤x≤4时，y的最小值是3，求当0≤x≤4时，y的最大值；（3）若点A（n+1，y1），B（n﹣1，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax+3a﹣1（a＜0）上，且y1＜y2，求n的取值范围．13．在平面直角坐标系xOy中，已知点（﹣1，m），（2，n）在二次函数y＝x2+bx﹣3的图象上．（1）当m＝n时，求b的值；（2）在（1）的条件下，当﹣3＜x＜2时，求y的取值范围；（3）若﹣1≤x≤2时，函数的最小值为﹣5，求m+n的值．14．在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上．（1）若m＝3，n＝15，求该抛物线的对称轴；（2）已知点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上．若mn＜0，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．

第3讲二次函数的增减性与最值问题考点一：二次函数的最值【知识点睛】无区间范围的二次函数最值由a与定点纵坐标共同决定对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）：对称轴：直线；顶点坐标：；开口向上a＞0二次函数有最小值；开口向下a＜0二次函数有最大值；区间范围内的二次函数最值通常需要分类讨论区间范围内由二次函数最值求参数字母值问题的解题步骤：①找对称轴画抛物线简图（不需要画平面直角坐标系）；②分类讨论：让对称轴分别在对应取值范围的左边、中间、右边；结合抛物线的增减性找到最值时的等量关系列方程求解③判断所求出的参数字母的值是否在对应分类讨论的取值范围内，不在则舍去。【类题训练】1．已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值2，有最小值﹣2.5 B．有最大值2，有最小值1.5 C．有最大值1.5，有最小值﹣2.5 D．有最大值2，无最小值【分析】根据二次函数的图象，可知函数y的最大值和最小值．【解答】解：观察图象可得，在0≤x≤4时，图象有最高点和最低点，∴函数有最大值2和最小值﹣2.5，故选：A．2．已知函数y＝x2﹣6x+2，当﹣1＜x＜4时，则y的取值范围为﹣7≤y＜9．【分析】将二次函数解析式化为顶点式，根据抛物线开口方向及顶点坐标求解．【解答】解：∵y＝x2﹣6x+2＝（x﹣3）2﹣7，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝3，顶点坐标为（3，﹣7），将x＝﹣1代入y＝x2﹣6x+2得y＝1+6+2＝9，∴当﹣1＜x＜4时，y的取值范围是﹣7≤y＜9，故答案为：﹣7≤y＜9．3．设二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）（a＞0，m，k是实数），则（）A．当k＝2时，函数y的最小值为﹣a B．当k＝2时，函数y的最小值为﹣2a C．当k＝4时，函数y的最小值为﹣a D．当k＝4时，函数y的最小值为﹣2a【分析】令y＝0，求出二次函数与x轴的交点坐标，继而求出二次函数的对称轴，再代入二次函数解析式即可求出顶点的纵坐标，最后代入k的值进行判断即可．【解答】解：令y＝0，则（x﹣m）（x﹣m﹣k）＝0，∴x1＝m，x2＝m+k，∴二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）与x轴的交点坐标是（m，0），（m+k，0），∴二次函数的对称轴是：，∵a＞0，∴y有最小值，当时，y最小，即，当k＝2时，函数y的最小值为；当k＝4时，函数y的最小值为，故选：A．4．已知抛物线y＝（x﹣b）2+c经过A（1﹣n，y1），B（n，y2），C（n+3，y3）三点，y1＝y3．当1﹣n≤x≤n时，二次函数的最大值与最小值的差为16，则n的值为（）A．﹣5 B．3 C． D．4【分析】根据y1＝y3，可得A，C两点关于对称轴对称，从而得到抛物线解析式为y＝（x﹣2）2+c，再由1﹣n≤x≤n，可得点B在点A的右侧，，然后分两种情况讨论，即可求解．【解答】解：∵y1＝y3，∴A，C两点关于对称轴对称．∴，即抛物线解析式为y＝（x﹣2）2+c．∵1﹣n≤x≤n，∴点B在点A的右侧，且有1﹣n≤n，∴．情况1：如图1，当点A与点B均在对称轴的左侧时，此时n＜2；当x＝1﹣n时，二次函数取到最大值为y＝（1﹣n﹣2）2+c＝（n+1）2+c；当x＝n时，二次函数取到最小值为y＝（n﹣2）2+c，∴（n+1）2+c﹣（n﹣2）2﹣c＝16，解得（舍去）．情况2：如图2，当点A与点B在对称轴的两侧时，此时n≥2；A到对称轴的水平距离为2﹣（1﹣n）＝1+n．B到对称轴的距离为n﹣2，当x＝1﹣n时，二次函数取到最大值为y＝（1﹣n﹣2）2+c＝（n+1）2+c；当x＝2时，二次函数取到最小值为y＝c，∴（n+1）2+c﹣c＝16，解得n＝3或﹣5（舍）．综上，n＝3．故选：B．5．已知函数y＝ax2+2ax+1在﹣3≤x≤2上有最大值9，则常数a的值是（）A．1 B． C．或﹣8 D．1或﹣8【分析】根据y＝ax2+2ax+1可得出对称轴x＝﹣1，利用最值，分a＞0，a＜0两种情况讨论计算．【解答】解：∵二次函数解析式y＝ax2+2ax+1，∴二次函数对称轴为x＝﹣1．①当a＜0时，二次函数开口向下，x＝﹣1时，函数有最大值9．∴a﹣2a+1＝9，解得a＝﹣8．②当a＞0时，二次函数开口向上，在﹣3≤x≤2上有最大值9，∴当x＝2时，函数最大值为9，即4a+4a+1＝9，解得a＝1．综上分析，a的值为﹣8或1．故选：D．6．二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（1，0），（2，3），在a≤x≤6范围内有最大值为4，最小值为﹣5，则a的取值范围是（）A．a≥6 B．3≤a≤6 C．0≤a≤3 D．a≤0【分析】先将点（1，0），（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c求出该二次函数的表达式，再根据其开口方向，对称性和增减性，分析在a≤x≤6时的最大值和最小值即可．【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（1，0），（2，3），∴解得：，∴二次函数为y＝﹣x2+6x﹣5，∵y＝﹣x2+6x+5＝﹣（x﹣3）2+4，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝3，函数有最大值4，把y＝﹣5代入y＝﹣x2+6x﹣5得，﹣5＝﹣x2+6x﹣5，即﹣x2+6x＝0，解得x1＝0，x2＝6，在a≤x≤6范围内有最大值为4，最小值为﹣5，∴0≤a≤3．故选：C．7．在平面直角坐标系中，过点P（0，p）的直线AB交抛物线y＝x2于A，B两点，已知A（a，b），B（c，a），且a＜c，则下列说法正确的是（）A．当ac＞0且a+c＝1时，p有最小值 B．当ac＞0且a+c＝1时，p有最大值 C．当ac＜0且c﹣a＝1时，p有最小值 D．当ac＜0且c﹣a＝1时，p有最大值【分析】设直线y＝kx+p，联立直线与抛物线解析式得出a，c是方程x2﹣kx﹣p＝0的两根，进而根据a＜c，得出B（c，a）在y＝x的下方，得出0＜c≤1，则0＜a≤1，即可得出ac＞0，进而结合选项，进行判断即可求解．【解答】解：依题意，过点P（0，p）的直线AB交抛物线y＝x2于A（a，b），B（c，a）两点，设直线y＝kx+p，联立即x2﹣kx﹣p＝0，∴a，c是方程x2﹣kx﹣p＝0的两根，即ac＝﹣p，a+c＝k，∵a＜c，∴B（c，a）在y＝x的下方，联立，解得：或，∴0＜c≤1，∵B（c，a）在抛物线上，则a＝c2，∴0＜a≤1，∴ac＞0，当ac＞0且a+c＝1，∴x2﹣x﹣p＝0，∴p＝x2﹣x有最小值，故选：A．8．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3【分析】由解析式可知该函数在x＝h时取得最小值1，x＞h时，y随x的增大而增大；当x＜h时，y随x的增大而减小；根据1≤x≤3时，函数的最小值为5可分如下两种情况：①若h＜1≤x≤3，x＝1时，y取得最小值5；②若1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值5，分别列出关于h的方程求解即可．【解答】解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，∴①若h＜1≤x≤3，x＝1时，y取得最小值5，可得：（1﹣h）2+1＝5，解得：h＝﹣1或h＝3（舍）；②若1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值5，可得：（3﹣h）2+1＝5，解得：h＝5或h＝1（舍）；③若1≤h≤3时，当x＝h时，y取得最小值为1，不是5，∴此种情况不符合题意，舍去．综上，h的值为﹣1或5，故选：B．9．如图，抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数）经过点A（1，0），点B（0，3），点P在该抛物线上，其横坐标为m，若该抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为2﹣m．则m的值为（）A．m＝3 B． C． D．m＝3或【分析】首先通过待定系数法求该抛物线的解析式及顶点坐标，再分类讨论点P在抛物线对称轴右侧及左侧两种情况，分别求出顶点为最低点和点P为最低点时m的值即可．【解答】解：将（1，0），（0，3）分别代入y＝x2+bx+c得，解得，∴y＝x2﹣4x+3，∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x＝2，当m＞2时，抛物线顶点为最低点，∴﹣1＝2﹣m，解得m＝3，当m≤2时，点P为最低点，将x＝m代入y＝x2﹣4x+3得y＝m2﹣4m+3，∴m2﹣4m+3＝2﹣m，解得（舍），，∴m＝3或．故选：D．10．已知点P（m，n）在二次函数y＝x2+4的图象上，则m﹣n的最大值等于﹣．【分析】根据题意，可以得到m和n的关系，然后将m、n作差，利用二次函数的性质，即可得到m﹣n的最大值，本题得以解决．【解答】解：∵点P（m，n）在抛物线y＝x2+4上，∴n＝m2+4，∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m﹣）2﹣，∴当m＝时，m﹣n取得最大值，m﹣n＝﹣．故答案为：﹣．11．当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为4，则a的值为﹣2或3．【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴及顶点坐标，分类讨论x＝a和x＝a+1时y取最小值．【解答】解：∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴抛物线开口向上，顶点坐标为（1，0），当a+1＜1时，a＜0，x＝a+1时y＝（a+1﹣1）2＝a2为最小值，∴a2＝4，解得a＝2（舍）或a＝﹣2．当a＞1时，y＝a2﹣2a+1＝（a﹣1）2＝4为最小值，解得a＝3或a＝﹣1（舍），故答案为：﹣2或3．12．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．﹣ B．或﹣ C．2或﹣ D．2或﹣或﹣【分析】求出二次函数对称轴为直线x＝m，再分m＜﹣2，﹣2≤m≤1，m＞1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．【解答】解：二次函数对称轴为直线x＝m，①m＜﹣2时，x＝﹣2取得最大值，﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，解得m＝﹣，不合题意，舍去；②﹣2≤m≤1时，x＝m取得最大值，m2+1＝4，解得m＝±，∵m＝不满足﹣2≤m≤1的范围，∴m＝﹣；③m＞1时，x＝1取得最大值，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，解得m＝2．综上所述，m＝2或﹣时，二次函数有最大值4．故选：C．13．当a﹣1≤x≤a时，二次函数y＝x2﹣4x+3的最小值为8，则a的值为（）A．﹣1或5 B．0或6 C．﹣1或6 D．0或5【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝8时x的值，结合当a﹣1≤x≤a时函数有最小值8，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：当y＝8时，有x2﹣4x+3＝8，解得：x1＝﹣1，x2＝5．∵当a﹣1≤x≤a时，函数有最小值8，∴a﹣1＝5或a＝﹣1，∴a＝6或a＝﹣1，故选：C．14．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点坐标是（1，﹣3），且过点（2，﹣）．（1）求该二次函数的表达式．（2）若该二次函数图象与直线y＝m（m是常数）交于点A、B，AB＝6，则m＝．（3）当﹣3＜x＜3时，y的取值范围是﹣3＜y＜5．【分析】（1）用代入法列方程组求解即可；（2）由二次函数y＝x2﹣x﹣的对称轴为x＝1，AB＝6，可求出A的横坐标代入即可求出；（3）y＝x2﹣x﹣的开口向上，对称轴为x＝1，当x＜1时y随x的增大而减小，当x＞1是y随x的增大而增大，离对称轴距离越远函数值越大，确定当x＝1时函数有最小值，当x＝﹣3时函数有最大值，代入即可求出取值范围．【解答】解：（1）由题意可知，，解得：，∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣x﹣；（2）∵二次函数y＝x2﹣x﹣的对称轴为x＝1，AB＝6，∴A的横坐标为：1﹣＝1﹣3＝﹣2，当x＝﹣2时，y＝×（﹣2）2﹣（﹣2）﹣＝，即m＝，故答案为：；（3）∵y＝x2﹣x﹣的开口向上，对称轴为x＝1，∴当x＜1时y随x的增大而减小，当x＞1是y随x的增大而增大，∵﹣3＜1＜3，且3﹣1＝2，1﹣（﹣3）＝4，∴当x＝1时，函数有最小值：y＝﹣3，当x＝﹣3时，函数有最大值y＝×（﹣3）2﹣（﹣3）﹣＝5，∴当﹣3＜x＜3时，﹣3＜y＜5，故答案为：﹣3＜y＜5．15．在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴，y轴分别相交于A（﹣3，0）、B（0，﹣3），二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点A．（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；（2）若二次函数y＝x2+mx+n图象与y轴交点为（0，3），请判断此二次函数的顶点是否在直线y＝kx+b（k≠0）的图象上？（3）当n＞0，m≤5时，二次函数y＝x2+mx+n的最小值为t，求t的取值范围．【分析】（1）待定系数法求直线解析式即可；（2）利用点（0，3）、A（﹣3，0）求出抛物线解析式，配方后得到抛物线的顶点坐标代入直线解析式验证即可；（3）根据点A在二次函数图象上，可以确立9﹣3m+n＝0，即n＝3m﹣9，由n＞0可得3＜m≤5，利用最值公式得t＝﹣（m﹣6）2；根据m范围确定t的范围即可．【解答】解：（1）∵点A（﹣3，0）、B（0，﹣3）在一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象上，∴，解得，一次函数解析式为：y＝﹣x﹣3．（2）∵二次函数y＝x2+mx+n图象与y轴交点为（0，3），且A（﹣3，0）在图象上，∴n＝3；m＝4．∴二次函数解析式为：y＝x2+4x+4﹣1＝（x+2）2﹣1，∴顶点坐标（﹣2，﹣1）．当x＝﹣2时，y＝﹣x﹣3＝﹣（﹣2）﹣3＝﹣1，∴抛物线的顶点在直线y＝﹣x﹣3上．（3）∵二次函数y＝x2+mx+n图象过A（﹣3，0），∴9﹣3m+n＝0，即n＝3m﹣9，∵n＞0，∴m＞3，∴3＜m≤5．∵二次函数y＝x2+mx+n的最小值为t，∴t＝＝＝﹣（m﹣6）2；当m＝5时，t＝﹣，当m＝3时，t＝﹣．∴﹣＜t≤﹣．考点二：二次函数的增减性【知识点睛】常规问题需要由a与对称轴共同确定，且抛物线的增减性必须有对应的范围对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）：a＞0时，图象开口向上；当时，y随x的增大而减小，反之则y随x的增大而增大；a＜0时，图象开口向下；当时，y随x的增大而增大，反之则y随x的增大而减小；y1、y2比较大小问题规律总结：若点A（x1,y1）、B（x2,y2）是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上的两个点，则：当a＞0时，A、B两点谁离对称轴越近，谁的纵坐标越小；当a＜0时，A、B两点谁离对称轴越近，谁的纵坐标越大；【类题训练】1．关于抛物线y＝﹣x2+2，下列说法正确的是（）A．开口向上 B．对称轴是y轴 C．有最小值 D．当x＜0时，函数y随x的增大而减小【分析】利用二次函数的图象与性质判断．【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+2中，a＝﹣1＜0，∴开口向下，对称轴是y轴，故A错误，B正确；∴函数有最大值，当x＜0时，函数y随x的增大而增大，故C、D错误．故选：B．2．二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，当﹣1＜x＜m时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＞1 B．﹣1＜m≤1 C．m＞0 D．﹣1＜m＜2【分析】结合函数图象和函数的性质进行判断即可．【解答】解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴为x＝1，∴当x≤1时，y随x的增大而增大，又∵当﹣1＜x＜m时，y随x的增大而增大，∴﹣1＜m≤1，故选：B．3．已知二次函数y＝（x+m﹣1）（x﹣m）+1，点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）是其图象上两点，下列判断正确的是（）A．若x1+x2＞﹣1，则y1＞y2 B．若x1+x2＜﹣1，则y1＞y2 C．若x1+x2＞1，则y1＞y2 D．若x1+x2＜1，则y1＞y2【分析】根据抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线x＝及抛物线开口方向，再通过判断点A与点B到对称轴的距离求解．【解答】解：∵y＝（x+m﹣1）（x﹣m）+1＝x2﹣m2﹣x+m+1，∴抛物线对称轴为直线x＝＝，开口向上，当x1+x2＝1时，点A（x1，y1），B（x2，y2）关于抛物线对称轴对称，即y1＝y2，∴当x1+x2＞1时，点A、B在对称轴右侧或分别在对称轴两侧，点A到抛物线对称轴的距离小于点B到抛物线对称轴的距离，∴y1＞y2，当x1+x2＜1时，点A、B在对称轴左侧或分别在对称轴两侧，点A到抛物线对称轴的距离大于点B到抛物线对称轴的距离，∴y1＜y2，故选：C．4．已知关于x的二次函数y＝ax2﹣2ax+a2+1，当x≤﹣1时，y随x的增大而增大，且2≤x≤3时，y的最大值为10，则a的值为（）A．﹣3 B．3 C． D．±3【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a＞0，然后由2≤x≤3时，y的最大值为10，可得x＝2时，y＝10，即可求出a．【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+a2+1，∴对称轴是直线x＝﹣＝1，∵当x≤﹣1时，y随x的增大而增大，∴a＜0，∵2≤x≤3时，y的最大值为10，∴x＝2时，y＝4a﹣4a+a2+1＝10，∴a＝﹣3或a＝3（不合题意舍去）．故选：A．5．已知抛物线y＝﹣x2+2x+c，若点（0，y1）（1，y2）（3，y3）都在该抛物线上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y3＞y1＞y2 B．y3＜y2＜y1 C．y3＞y2＞y1 D．y3＜y1＜y2【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据A，B，C三点与对称轴的距离大小关系求解．【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+c＝﹣（x﹣1）2+1+c，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，∵0﹣1＜1﹣1＜3﹣1，∴y2＞y1＞y3，故选：D．6．已知二次函数y＝a（x﹣1）2+4的图象开口向上，若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（5，y3）都在该函数图象上，则y1，y2，y3三者之间的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，把三个点的坐标分别代入二次函数解析式，计算出y1，y2，y3的值，然后比较它们的大小．【解答】解：当x＝﹣2时，y1＝9a+4；当x＝﹣1时，y2＝4a+4；当x＝5时，y3＝16a+4；∵二次函数y＝a（x﹣1）2+4的图象开口向上，∴a＞0，∴4a+4＜9a+4＜16a+4∴y2＜y1＜y3．故选：C．7．已知a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0，若b＞0，则二次函数y＝ax2+bx+c图象的顶点可能在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据题意可知，令y＝0时，x的值为﹣1或3，得出对称轴为直线x＝2，用a表示b即b＝﹣4a，由题中等式可用a表示c．将x＝2代入函数解析式中判断y的正负得出答案．【解答】解：∵a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0，∴当y＝0时，x＝﹣1或x＝3，∴对称轴为x＝＝2，∴﹣＝2，即b＝﹣4a，∵a﹣b+c＝0，∴a﹣b+c＝a﹣（﹣4a）+c＝5a+c，∴c＝﹣5a，令x＝2代入解析式中得，y＝4a+2b+c＝4a﹣8a﹣5a＝﹣9a，∵b＞0，∴a＜0，∴当x＝2时，y＞0．即顶点在第一象限．故选：A．8．已知点A（m，n）、B（m+1，n）是二次函数y＝x2+bx+c图象上的两个点，若当x≤2时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）A． B． C． D．【分析】首先根据点A、B是该二次函数图象上的两点且纵坐标相等，可得对称轴为直线，再根据开口向上，x≤2时，y随x的增大而减小，可得，据此即可求解．【解答】解：∵点A（m，n）、B（m+1，n）是二次函数y＝x2+bx+c图象上的两个点，∴该二次函数图象的对称轴为直线，且开口向上，∵当x≤2时，y随x的增大而减小，∴该二次函数图象的对称轴为直线x＝2或在其右侧，∴，解得，故选：B．9．已知二次函数y＝x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（）A．m＝﹣1 B．m＝3 C．m≤﹣1 D．m≥﹣1【分析】根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于1列式计算即可得解．【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣，∵当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，由图象可知：﹣≤1，解得m≥﹣1．故选：D．10．若点P（m，n）在二次函数y＝x2+2x+2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是1≤n＜10．【分析】由题意可知﹣2＜m＜2，根据m的范围即可确定n的范围．【解答】解：∵y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，∴二次函数y＝x2+2x+2的图象开口向上，顶点为（﹣1，1），对称轴是直线x＝﹣1，∵P（m，n）到y轴的距离小于2，∴﹣2＜m＜2，而﹣1﹣（﹣2）＜2﹣（﹣1），当m＝2，n＝（2+1）2+1＝10，当m＝﹣1时，n＝1，∴n的取值范围是1≤n＜10，故答案为：1≤n＜10．11．已知二次函数y＝﹣x2+2mx+1，当x＞4时，函数值y随x的增大而减小，则m的取值范围是m≤4．【分析】先根据二次函数的解析式判断出函数的开口方向，再由当x＞4时，函数值y随x的增大而减小可知二次函数的对称轴x＝﹣≤4，故可得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+mx﹣1中，a＝﹣1＜0，∴此函数开口向下，∵当x＞4时，函数值y随x的增大而减小，∴二次函数的对称轴x＝﹣≤4，即m≤4，故答案为：m≤4．12．已知：二次函数y＝ax2﹣2ax+3a﹣1．（1）求这个二次函数图象的对称轴；（2）若该二次函数图象抛物线开口向上，当0≤x≤4时，y的最小值是3，求当0≤x≤4时，y的最大值；（3）若点A（n+1，y1），B（n﹣1，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax+3a﹣1（a＜0）上，且y1＜y2，求n的取值范围．【分析】（1）根据对称轴公式即可求出对称轴；（2）根据抛物线开口向上，二次函数的对称轴为直线x＝1，0≤x≤4时y有最小值，可求a，再由x＝4到对称轴的距离大于x＝0到对称轴的距离，可求y的最大值；（3）分点A，B在对称轴同侧和点A，B在对称轴异侧分别求解．【解答】解：（1）二次函数图象的对称轴为直线：x＝﹣＝1，（2）∵该抛物线开口向上，二次函数的对称轴为直线x＝1，又∵0≤x≤4时y有最小值，∴当x＝1时，ymin＝a﹣2a+3a﹣1＝3．∴a＝2．∴二次函数表达式为：y＝2x2﹣4x+5．∵该抛物线开口向上，且x＝4到对称轴的距离大于x＝0到对称轴的距离，∴在0≤x≤4范围内，当x＝4时，y有最大值，．（3）∵点A，B在抛物线上，且y1＜y2，又∵y＝ax2﹣2ax+3a﹣1（a＜0）的对称轴为直线x＝1，开口方向向下，分类讨论第一种情况，当点A，B在对称轴同侧时，n﹣1≥1，n≥2．第二种情况，当点A，B在对称轴异侧时，1﹣（n﹣1）＜n+1﹣1，n＞1．故n的取值范围是n＞1．13．在平面直角坐标系xOy中，已知点（﹣1，m），（2，n）在二次函数y＝x2+bx﹣3的图象上．（1）当m＝n时，求b的值；