考点03配方法、根的判别式以及根与系数关系的9考点归类-原卷版+解析

考点03配方法、根的判别式以及根与系数关系的9考点归类1，配方法的应用的方法技巧（1）比较大小：配方法不但可以解一元二次方程，而且能求代数式的最值，还能用于比较代数式的大小.用配方法比较代数式的大小，主要是用作差法将代数式作差后得到的新代数式配方，根据新代数式与0的关系确定代数式的大小（2）求最值：用配方法求代数式的最值是将代数式配方为完全平方式与常数的和的形式，根据完全平方式的非负性确定代数式的最值；（3）未知系数的取值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．（4）用配方法构造“非负数之和”解决问题：通过配完全平方式，利用“非负性”解决问题。2，根的判别式的应用的方法【技巧】根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．（1）判断根的情况：式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4ac.（2）求字母的值或取值范围：根据判别式，确定与0的关系，直接代入解不等式即可。（3）与三角形结合：一般会把根与三角形的边进行结合考察，考虑到三角形的三边关系能否构成三角形即可，有时候还会与等腰三角形结合。（4）与一次函数结合：通过一次函数与方程和不等式的关系，观察图像即可。3，根与系数的关系方法根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2考点1比较大小考点2求最值考点3未知系数的取值考点4用配方法构造“非负数之和”解决问题考点5判断根的情况考点6求字母的值或取值范围考点7与三角形结合考点8与一次函数结合考点9根与系数的关系求变形式子考点1利用配方法比较大小1．（2023春·黑龙江大庆·八年级校联考期中）“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：，∵，∴，∴．试利用“配方法”解决下列问题：(1)填空：因为＋______，所以当______时，代数式有最______（填“大”或“小”）值，这个最值为______；(2)比较代数式与的大小．2．（2022秋·七年级单元测试）我们知道，所以代数式的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值．例如，求的最小值问题．解：∵，又∵，∴，∴的最小值为．请应用上述思想方法，解决下列问题：(1)探究：；(2)求的最小值．(3)比较代数式：与的大小．3．（2022春·安徽合肥·八年级校考阶段练习）“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：，，，．试利用“配方法”解决下列问题：(1)填空：因为+；所以当_______时，代数式有最（填“大”或“小”）值，这个最值为；(2)比较代数式与的大小．4．（2023春·吉林长春·八年级校联考阶段练习）我们知道，对于任意一个实数a，具有非负性，即“”．这个结论在数学中非常有用．很多情况下我们需要将代数式配成完全平方式，然后利用“”来解决问题．例如：∵∴∴(1)填空：

_______；(2)请用作差法比较与的大小，并写出解答过程；(3)填空：的最大值为_______．考点2利用配方法求最值5．（2023春·安徽六安·八年级统考期末）利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做配方法．我们已学习了用配方法解一元二次方程，除此之外，利用配方法还能解决二次三项式的最值问题．阅读如下材料，完成下列问题：材料：对于二次三项式求最值问题，有如下示例：．因为，所以，所以，当时，原式的最小值为2．完成问题：(1)求的最小值；(2)若实数满足．求的最大值．6．（2023·全国·九年级假期作业）“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：，∵，∴，∴．即：的最小值是1．试利用“配方法”解决下列问题：(1)求代数式最值；(2)已知，求的值；(3)比较代数式与的大小．7．（2023春·陕西咸阳·八年级统考期末）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：．解：原式：②，利用配方法求M的最小值．解：∴当时，M有最小值4．请根据上述材料解决下列问题：(1)用配方法因式分解；(2)若，求M的最小值．8．（2023春·四川达州·八年级统考期末）根据学过的数学知识我们知道：任何数的平方都是一个非负数，即：对于任何数a，都成立，据此请回答下列问题．应用：代数式有值(填“最大”或“最小”)这个值是．探究：求代数式的最小值，小明是这样做的：∴当时，代数式有最小值，最小值为1请你按照小明的方法，求代数式的最小值，并求此时x的值，拓展：求多项式的最小值及此时x，y的值考点3利用配方法未知系数的取值9．（2023春·陕西西安·八年级高新一中校考期末）用配方法将方程化成的形式，则的值是（

）A． B． C． D．10．（2023春·山东威海·八年级统考期末）用配方法解方程，若配方后结果为，则n的值为（

）A． B．10 C． D．911．（2023秋·全国·九年级专题练习）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（

）A． B． C．0 D．212．（2022春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）已知关于x的多项式的最大值为7，则m的值可能是（）A．2 B．4 C．3 D．5考点4用配方法构造“非负数之和”解决问题13．（2023春·安徽宿州·九年级校考开学考试）已知三角形的三条边为，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是（

）A．c＞8 B．5＜c＜8 C．8＜c＜13 D．5＜c＜1314．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知，那么（

）A．－16 B．16 C．－8 D．815．（2023春·山东淄博·八年级统考期中）不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+9的值（

）A．总不小于4 B．总不小于9C．可为任何实数 D．可能为负数16．（2021秋·湖北恩施·九年级校考阶段练习）已知、、是的三边且满足，则的面积是（）A．60 B．30 C．65 D．32.5考点5利用根的判别式判断根的情况17．（2023春·北京昌平·八年级统考期末）下列方程中有两个不相等的实数根的方程是（

）A． B． C． D．18．（2023春·上海徐汇·八年级上海市西南模范中学校考期末）下列方程中，有实数根的方程是（）A． B． C． D．19．（2020秋·广东清远·九年级期末）一元二次方程根的情况是（

）A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根 D．无实数根20．（2023·全国·九年级假期作业）若是一元二次方程的一个根，那么方程的根的情况是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有一个根是C．没有实数根 D．有两个相等的实数根考点6利用根的判别式求字母的值或取值范围21．（2023·辽宁阜新·校联考一模）若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（

）．A． B．且 C． D．且22．（2023·河南周口·校联考二模）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（

）A． B．且 C． D．且23．（2022秋·山西临汾·九年级统考期末）关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（

）A． B．且 C． D．且24．（2023春·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（

）A． B． C． D．考点7利用根的判别式与三角形结合25．（2022秋·河南南阳·九年级统考期中）已知关于的方程(1)求证：无论取何值，该方程总有实数根；(2)若等腰的一边长，另两边、恰好是该方程的两个根，求三角形另外两边的长．26．（2023春·广东河源·九年级校考开学考试）若方程（c2＋a2）x＋2（b2-c2）x＋c2-b2=0有两个相等的实数根，且a，b，c是三角形ABC的三边，证明此三角形是等腰三角形．27．（2023秋·四川达州·九年级统考期末）已知：设三角形的三边a，b，c为方程有两个相等的实数根，且a，b，c满足(1)求证：是等边三角形．(2)若a，b为方程的两根，求k的值．28．（2011秋·江苏无锡·九年级统考期中）已知关于x的方程有两个相等的实数根,试证明以a、b、c为三边的三角形是直角三角形．考点8利用根的判别式与一次函数结合29．（2023·安徽六安·统考二模）关于的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限30．（2023·广东汕头·广东省汕头市聿怀初级中学校考三模）一元二次方程有两个实数根a，b，那么一次函数的图象一定不经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限31．（2020秋·贵州贵阳·九年级校考阶段练习）若关于的一元二次方程没有实数根，则一次函数的大致图象可能是（

）A．B．C．D．32．（2023·安徽合肥·统考二模）关于x的一元二次方程无实数根，则一次函数的图像不经过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限考点9利用根与系数的关系求变形式子33．（2023春·江苏泰州·八年级统考期末）已知关于x的一元二次方程（k为常数）．(1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根，满足，求的值．34．（2023春·江西宜春·八年级江西省丰城中学校考期中）已知关于x的一元二次方程．(1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．(2)设方程的两个实数根分别为，，求代数式的最大值；35．（2023春·安徽·八年级统考期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)求a的取值范围；(2)若满足，求a的值．36．（2022秋·湖北随州·九年级校联考阶段练习）已知关于的方程．(1)当方程有两个实数根时，求的取值范围；(2)当方程的两个根满足时，求的值．

考点03配方法、根的判别式以及根与系数关系的9考点归类1，配方法的应用的方法技巧（1）比较大小：配方法不但可以解一元二次方程，而且能求代数式的最值，还能用于比较代数式的大小.用配方法比较代数式的大小，主要是用作差法将代数式作差后得到的新代数式配方，根据新代数式与0的关系确定代数式的大小（2）求最值：用配方法求代数式的最值是将代数式配方为完全平方式与常数的和的形式，根据完全平方式的非负性确定代数式的最值；（3）未知系数的取值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．（4）用配方法构造“非负数之和”解决问题：通过配完全平方式，利用“非负性”解决问题。2，根的判别式的应用的方法【技巧】根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．（1）判断根的情况：式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4ac.（2）求字母的值或取值范围：根据判别式，确定与0的关系，直接代入解不等式即可。（3）与三角形结合：一般会把根与三角形的边进行结合考察，考虑到三角形的三边关系能否构成三角形即可，有时候还会与等腰三角形结合。（4）与一次函数结合：通过一次函数与方程和不等式的关系，观察图像即可。3，根与系数的关系方法根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2考点1比较大小考点2求最值考点3未知系数的取值考点4用配方法构造“非负数之和”解决问题考点5判断根的情况考点6求字母的值或取值范围考点7与三角形结合考点8与一次函数结合考点9根与系数的关系求变形式子考点1利用配方法比较大小1．（2023春·黑龙江大庆·八年级校联考期中）“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：，∵，∴，∴．试利用“配方法”解决下列问题：(1)填空：因为＋______，所以当______时，代数式有最______（填“大”或“小”）值，这个最值为______；(2)比较代数式与的大小．【答案】(1)，2，2，小，2(2)大于【分析】（1）把原式利用平方法化为完全平方算与一个常数的和的形式，利用偶次方的非负性解答；（2）利用求差法和配方法解答即可．【详解】（1），所以当时，代数式有最小值，这个最值为2，故答案为：；2；2；小；2；（2）则【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握配方法的一般步骤是解题的关键，注意偶次方的非负性的应用．2．（2022秋·七年级单元测试）我们知道，所以代数式的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值．例如，求的最小值问题．解：∵，又∵，∴，∴的最小值为．请应用上述思想方法，解决下列问题：(1)探究：；(2)求的最小值．(3)比较代数式：与的大小．【答案】(1)，1(2)(3)【分析】（1）根据完全平方式的特征求解．（2）先配方，再求最值．（3）作差后配方比较大小即可．【详解】（1）解：．（2），∵，∴当即时，原式有最小值．（3），∵，∴，∴．【点睛】本题考查的是配方法的应用，“熟练的利用配方法求解代数式的最值以及比较代数式的值的大小”是解本题的关键．3．（2022春·安徽合肥·八年级校考阶段练习）“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：，，，．试利用“配方法”解决下列问题：(1)填空：因为+；所以当_______时，代数式有最（填“大”或“小”）值，这个最值为；(2)比较代数式与的大小．【答案】(1)，，，小，(2)【详解】（1）∵∴时，代数式有最小值，这个最小值为；故答案为：，，，小，（2）∵，∴，∴【点睛】本题考查了配方法的应用，解题的关键是利用作差法比较大小．4．（2023春·吉林长春·八年级校联考阶段练习）我们知道，对于任意一个实数a，具有非负性，即“”．这个结论在数学中非常有用．很多情况下我们需要将代数式配成完全平方式，然后利用“”来解决问题．例如：∵∴∴(1)填空：

_______；(2)请用作差法比较与的大小，并写出解答过程；(3)填空：的最大值为_______．【答案】(1)(2)(3)的最大值为4【分析】（1）由，再配方即可；（2）由，再利用非负数的性质可得答案；（3）由，再利用非负数的性质可得答案．【详解】（1）解：故答案为：（2）解：（3）解：∴的最大值为4．【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握“配方法的步骤与非负数的性质”是解本题的关键．考点2利用配方法求最值5．（2023春·安徽六安·八年级统考期末）利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做配方法．我们已学习了用配方法解一元二次方程，除此之外，利用配方法还能解决二次三项式的最值问题．阅读如下材料，完成下列问题：材料：对于二次三项式求最值问题，有如下示例：．因为，所以，所以，当时，原式的最小值为2．完成问题：(1)求的最小值；(2)若实数满足．求的最大值．【答案】(1)的最小值是(2)最大值是【分析】（1）根据题意计算得，根据得，即可得；（2）将代入得，根据即可得．【详解】（1）解：，∵，∴，∴的最小值是；（2）解：将代入得：∵∴最大值是．【点睛】本题考查了配方法，解题的关键是理解题意，掌握多配方法．6．（2023·全国·九年级假期作业）“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：，∵，∴，∴．即：的最小值是1．试利用“配方法”解决下列问题：(1)求代数式最值；(2)已知，求的值；(3)比较代数式与的大小．【答案】(1)有最小值2(2)(3)【分析】（1）根据完全平方式的特征求解；（2）先配方，再求最值；（3）作差后配方比较大小．【详解】（1）解：故当，即时，代数式最小值为2；（2）∵，则，∴，即，，∴，，∴；（3），∵，∴，∴．【点睛】本题考查配方法的应用，正确配方，充分利用平方的非负性是求解本题的关键．7．（2023春·陕西咸阳·八年级统考期末）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：．解：原式：②，利用配方法求M的最小值．解：∴当时，M有最小值4．请根据上述材料解决下列问题：(1)用配方法因式分解；(2)若，求M的最小值．【答案】(1)(2)当时，M有最小值【分析】（1）应用配方法以及平方差公式，把因式分解即可．（2）应用配方法，把化成，再根据偶次方的非负性质，求出M的最小值是多少即可．【详解】（1）．（2），

∴当时，M有最小值【点睛】此题主要考查了利用平方差公式和完全平方式进行因式分解，以及偶次方的非负性质的应用，要熟练掌握．8．（2023春·四川达州·八年级统考期末）根据学过的数学知识我们知道：任何数的平方都是一个非负数，即：对于任何数a，都成立，据此请回答下列问题．应用：代数式有值(填“最大”或“最小”)这个值是．探究：求代数式的最小值，小明是这样做的：∴当时，代数式有最小值，最小值为1请你按照小明的方法，求代数式的最小值，并求此时x的值，拓展：求多项式的最小值及此时x，y的值【答案】应用：最小，；探究：，此时；拓展：，此时，．【分析】根据非负数的性质即可得出答案；先把给出的式子化成完全平方加常数的形式，再根据非负数的性质即可得出答案．【详解】解：应用：∵，，∴代数式有最小值，这个值是，此时；故答案为：最小，；探究：，当，即时，代数式的最小值为；拓展：，当，时，即，，多项式的最小值是．【点睛】此题考查了配方法的应用，用到的知识点是完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出的式子化成完全平方加常数的形式进行解答．考点3利用配方法未知系数的取值9．（2023春·陕西西安·八年级高新一中校考期末）用配方法将方程化成的形式，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先将将方程化成的形式，进而可得的值．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴，，∴，故选．【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法—配方法，熟练一元二次方程的解法是解题的关键．10．（2023春·山东威海·八年级统考期末）用配方法解方程，若配方后结果为，则n的值为（

）A． B．10 C． D．9【答案】B【分析】利用配方法将方程配成，然后求出n的值即可．【详解】∵，∴，

∴，即，

．故选：B．【点睛】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．11．（2023秋·全国·九年级专题练习）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（

）A． B． C．0 D．2【答案】B【分析】由，配方可得，进而可得的值，然后代入，计算求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，，∴，故选：B．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，代数式求值．解题的关键在于正确的配方求出的值．12．（2022春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）已知关于x的多项式的最大值为7，则m的值可能是（）A．2 B．4 C．3 D．5【答案】A【分析】将多项式配方后解答即可．【详解】解：，因为关于的多项式的最大值为7，所以，解得：，所以可能为2．故选：A．【点睛】此题考查配方法的运用，关键是将多项式配方后解答．考点4用配方法构造“非负数之和”解决问题13．（2023春·安徽宿州·九年级校考开学考试）已知三角形的三条边为，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是（

）A．c＞8 B．5＜c＜8 C．8＜c＜13 D．5＜c＜13【答案】C【分析】先利用配方法对含a的式子和含有b的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a和b的值，然后根据三角形的三边关系可得答案．【详解】解：∵a2-10a+b2-16b+89=0，∴（a2-10a+25）+（b2-16b+64）=0，∴（a-5）2+（b-8）2=0，∵（a-5）2≥0，（b-8）2≥0，∴a-5=0，b-8=0，∴a=5，b=8．∵三角形的三条边为a，b，c，∴b-a＜c＜b+a，∴3＜c＜13．又∵这个三角形的最大边为c，∴8＜c＜13．故选：C．【点睛】本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键．14．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知，那么（

）A．－16 B．16 C．－8 D．8【答案】B【分析】利用配方法把已知条件变形为（x+2）2+（y-4）2=0，再根据非负数的性质得x+2=0，y-4=0，即可求出x与y的值，进一步代入求得答案即可．【详解】∵x2+4x+y2-8y+20=0，∴x2+4x+4+y2-8y+16=0，∴（x+2）2+（y-4）2=0，∴x+2=0，y-4=0，∴x=-2，y=4，∴xy=16．故选B.【点睛】此题考查配方法的应用，非负数的性质，掌握完全平方公式是解决问题的关键．15．（2023春·山东淄博·八年级统考期中）不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+9的值（

）A．总不小于4 B．总不小于9C．可为任何实数 D．可能为负数【答案】A【分析】要把代数式x2+y2+2x-4y+9进行拆分重组凑完全平方式，来判断其值的范围即可．【详解】x2+y2+2x-4y+9=（x2+2x+1）+（y2-4y+4）+4=（x+1）2+（y-2）2+4，∵（x+1）2≥0，（y-2）2≥0，∴（x+1）2+（y-2）2+4≥4，∴x2+y2+2x-4y+9≥4．故选A．【点睛】主要利用拆分重组的方法凑完全平方式，把未知数都凑成完全平方式，就能判断该代数式的值的范围．要求掌握完全平方公式，并会熟练运用．16．（2021秋·湖北恩施·九年级校考阶段练习）已知、、是的三边且满足，则的面积是（）A．60 B．30 C．65 D．32.5【答案】B【分析】将a2+b2+c2=10a+24b+26c﹣338进行配方，求出a，b，c，根据勾股定理的逆定理判断△ABC的形状．【详解】△ABC是直角三角形．理由是：∵a2+b2+c2=10a+24b+26c﹣338，∴a2﹣10a+25+b2﹣24b+144+c2﹣26c+169=0，∴（a﹣5）2+（b﹣12）2+（c﹣13）2=0，∴a﹣5=0，b﹣12=0，c﹣13=0，即a=5，b=12，c=13．∵52+122=132，∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的面积是×5×12=30．故选B．【点睛】本题考查了配方法的应用及勾股定理逆定理的应用，是基础知识，比较简单．考点5利用根的判别式判断根的情况17．（2023春·北京昌平·八年级统考期末）下列方程中有两个不相等的实数根的方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分别求出每一个方程的判别式Δ的值，找出的方程即可．【详解】解：A、，∴方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；B、，∴方程有两个不相等的实数根，故本选项符合题意；C、，∴方程没有实数根，故本选项不符合题意；D、，∴方程没有实数根，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根．18．（2023春·上海徐汇·八年级上海市西南模范中学校考期末）下列方程中，有实数根的方程是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据算术平方根的非负性，立方根的定义，解分式方程的方法步骤，一元二次方程根的判别式，逐个进行判断即可．【详解】A、因为算术平方根为非负数，所以A中方程无解，B、，解得：，所以B中方程有实数根，C、由题意得：，当时，分母为，所以C中方程无解，D、，所以D中方程无解．故选：B．【点睛】本题主要考查了算术平方根的非负性，立方根的定义，解分式方程的方法步骤，一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握二次根式被开方数为非负数，一元二次方程时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．19．（2020秋·广东清远·九年级期末）一元二次方程根的情况是（

）A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根 D．无实数根【答案】D【分析】先计算一元二次方程根的判别式，再根据判别式的值进行判断即可解答．【详解】解：∵，∴，该方程无实数根．故选：D．【点睛】本题主要考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．20．（2023·全国·九年级假期作业）若是一元二次方程的一个根，那么方程的根的情况是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有一个根是C．没有实数根 D．有两个相等的实数根【答案】B【分析】先将代入中得到，再根据一元二次方程根的判别式进行求解即可得出结论．【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，∴，即，对于方程，∵，∴方程有两个实数根，故选项A、C、D错误，不符合题意；当时，，即是方程的一个根，故选项B正确，符合题意，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的解和根的判别式，解答的关键是理解一元二次方程的解的意义，掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．考点6利用根的判别式求字母的值或取值范围21．（2023·辽宁阜新·校联考一模）若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（

）．A． B．且 C． D．且【答案】C【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求出答案．【详解】解：由题意可知：当时，，∴，当时，原方程是一元一次方程，有实数根，∴故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程(为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．22．（2023·河南周口·校联考二模）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（

）A． B．且 C． D．且【答案】B【分析】根据题意可得，且，可求解．【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根，∴，且，∴且．故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程无实数根．23．（2022秋·山西临汾·九年级统考期末）关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（

）A． B．且 C． D．且【答案】A【分析】讨论：当时，方程化为一元一次方程，有一个实数解；当时，根据判别式的意义得到，解得且，然后综合两种情况得到a的取值范围．【详解】解：当时，方程化为，解得，当时，，解得，综上所述，a的取值范围为．故选：A．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．24．（2023春·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据方程有两个实数根，得出且，求出k的取值范围，即可得出答案．【详解】解：由题意知，且，解得：，且则k的取值范围是，且故选：B．【点睛】此题考查了根的判别式，（1）一元二次方程根的情况与判别式的关系：①方程有两个不相等的实数根；②方程有两个相等的实数根；③方程没有实数根．（2）一元二次方程的二次项系数不为0．考点7利用根的判别式与三角形结合25．（2022秋·河南南阳·九年级统考期中）已知关于的方程(1)求证：无论取何值，该方程总有实数根；(2)若等腰的一边长，另两边、恰好是该方程的两个根，求三角形另外两边的长．【答案】(1)见解析(2)三角形另外两边长为2，2【分析】（1）检验根的判别式的正负情况即可得证．（2）△ABC是等腰三角形，若b=c，即=0，解出k后代入方程，解方程可得另外两边长；若a是腰，则a＝1是方程的根，把1代入方程解出k后，再解出方程另一个解，检验是否符合三角形三边关系即可．【详解】（1）证明：所以此方程总有实根．（2）解：①若，则此方程有两个相等实根此时，则，原方程为：，，∴另外两边长为2和2，②若，则是方程的根，∴，∴，原方程为，解得：，，而1、1、2为边不能构成三角形．所以，三角形另外两边长为2，2．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程、等腰三角形存在性、三角形三边关系等知识点，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．26．（2023春·广东河源·九年级校考开学考试）若方程（c2＋a2）x＋2（b2-c2）x＋c2-b2=0有两个相等的实数根，且a，b，c是三角形ABC的三边，证明此三角形是等腰三角形．【答案】见解析【分析】先根据方程有两个相等的实数根得出△=0，再得出b、c的关系即可．【详解】解:Δ=[2（b2-c2）]2-4（c2+a2）（c2-b2）=4（b2-c2）（b2-c2+a2+c2）=4（b+c）（b-c）（b2+a2）．∵方程有两个相等实根．∴Δ=0，即4（b+c）（b-c）（b2+a2）=0．∵a，b，c是三角形的三边，∴b+c≠0，a2+b2≠0，只有b-c=0，解得b=c．∴此三角形是等腰三角形．【点睛】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．27．（2023秋·四川达州·九年级统考期末）已知：设三角形的三边a，b，c为方程有两个相等的实数根，且a，b，c满足(1)求证：是等边三角形．(2)若a，b为方程的两根，求k的值．【答案】(1)见解析(2)1【分析】（1）根据方程有两个相等的实数根得出，即，代入可得，代入得；（2）根据题意知方程有两个相等的实数根，据此得，即，解之可得或，代回方程求得的值，判断是否符合题意即可．【详解】（1）解：方程有两个相等的实数根，△，即，，，即，将代入得：，，是等边三角形；（2）、为方程两根，且，△，即，解得：或，当时，方程为，解得：（舍）；当时，方程为，解得：，（符合题意）；故．【点睛】本题主要考查根的判别式和解一元二次方程的能力、等边三角形的判定，根据方程的根的情况得出判别式的值的情况，从而得到关于、、及的等式是解题的关键．28．（2011秋·江苏无锡·九年级统考期中）已知关于x的方程有两个相等的实数根,试证明以a、b、c为三边的三角形是直角三角形．【答案】【详解】考点：根的判别式；勾股定理的逆定理．分析：先把方程变为一般式：（c-a）x2+2bx+a+c=0，由方程有两个相等的实数根，得到△=0，即△=（2b）2-4（c-a）（a+c）=4（b2+c2-a2）=0，则有b2+c2-a2=0，即b2+c2=a2，根据勾股定理的逆定理可以证明以a、b、c为三边的三角形是直角三角形．解答：证明：a（1-x2）+2bx+c（1+x2）=0去括号，整理为一般形式为：（c-a）x2+2bx+a+c=0，∵关于x的一元二次方程a（1-x2）+2bx+c（1+x2）=0有两个相等的实数根．∴△=0，即△=△=（2b）2-4（c-a）（a+c）=4（b2+c2-a2）=0，∴b2+c2-a2=0，即b2+c2=a2．∴以a、b、c为三边的三角形是直角三角形．点评：本题考查了一元二次方程的根的判别式和勾股定理的逆定理等知识．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．考点8利用根的判别式与一次函数结合29．（2023·安徽六安·统考二模）关于的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根据一元二次方程无实数根得且，即可得，又∵，可得一次函数的图象经过一、二、四象限，即可得．【详解】解：∵一元二次方程无实数根，∴且，，，，又∵，∴一次函数的图象经过一、二、四象限，∴一次函数的图象不经过第三象限，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，一次函数的图像性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．30．（2023·广东汕头·广东省汕头市聿怀初级中学校考三模）一元二次方程有两个实数根a，b，那么一次函数的图象一定不经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根据根与系数的关系即可求出与的值，然后根据一次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】解：由根与系数的关系可知：，，∴∴一次函数解析式为：，故一次函数的图象一定不经过第四象限．故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一次函数的图象与性质．31．（2020秋·贵州贵阳·九年级校考阶段练习）若关于的一元二次方程没有实数根，则一次函数的大致图象可能是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】首先根据一元二次方程没有实数根确定k，b的取值范围，然后根据一次函数的性质确定其图象的位置．【详解】解：∵方程没有实数根，∴，解得：，即同号，当时，一次函数的图象过一，二，三象限，当时，一次函数的图象过二，三，四象限，故选：A．【