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文档简介

1.2集合间的关系(精讲)一.子集、真子集、集合相等1.子集、真子集、集合相等的相关概念定义符号表示图形表示子集如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集A⊆B(或B⊇A)真子集如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,就称集合A是集合B的真子集AB(或BA)集合相等如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等A=B2.Venn图:用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.3.子集的性质(1)任何一个集合是它本身的子集,即A⊆A.(2)对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么A⊆C.4.子集的个数假设集合A中含有n个元素,则有:(1)A的子集有2n个;(2)A的非空子集有(2n-1)个;(3)A的真子集有(2n-1)个;(4)A的非空真子集有(2n-2)个.二.空集1.定义:不含任何元素的集合叫做空集2.记作:∅3.规定:空集是任何集合的子集,即∅⊆A4.特性(1)空集只有一个子集,即它的本身,∅⊆∅;(2)若A≠∅,则∅A5.区分:0,{0},∅与{∅}之间的关系∅与0∅与{0}∅与{∅}相同点都表示无的意思都是集合都是集合不同点∅是集合;0是实数∅不含任何元素;{0}含一个元素0∅不含任何元素;{∅}含一个元素,该元素是∅关系0∉∅∅{0}∅{∅}或∅∈{∅}一.判断集合关系的方法1.观察法:一一列举观察.2.元素特征法:首先确定集合的元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用集合元素的特征判断关系.3.数形结合法:利用数轴或Venn图.二.求给定集合的子集的两个注意点:1.按子集中元素个数的多少,以一定的顺序来写;2.在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身.三.由集合间的关系求参数1.若已知集合是有限集,求解时,一般根据对应关系直接列方程.2.若已知集合是无限集,求解时,通常借助数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,还要注意验证端点值,做到准确无误.一般含“=”用实心圆点表示,不含“=”用空心圆圈表示.3.注意点:①不能忽视集合为∅的情形;②当集合中含有字母参数时,一般需要分类讨论.考点一集合间的关系【例1-1】(2023·江苏)设集合,,则下列关系正确的是(

)A. B.C. D.【答案】D【解析】因为,,则.故选:D.【例1-2】(2022·广西桂林)已知集合,则下列关系正确的是(

)A. B. C. D.【答案】D【解析】因为集合,所以根据子集的定义可知,故选:D.【一隅三反】1.(2023·北京)已知集合,,则(

)A.⫋ B. C. D.【答案】A【解析】,,则⫋.故选:A.2.(2022秋·福建福州)已知集合,则下列关系中,正确的是(

).A. B. C. D.【答案】D【解析】因为集合,对于A,因为,故选项A错误;对于B,是一个集合,且,故选项B错误;对于C,因为集合,所以集合与集合不存在包含关系,故选项C错误;对于D,因为集合,任何集合都是它本身的子集,所以,故选项D正确,故选:D.3.(2023·宁夏银川)下列集合关系中错误的是(

)A. B. C. D.【答案】A【解析】对于A:集合为点集,含有元素,集合含有两个元素,,所以不包含于,故A错误;对于B:,故B正确;对于C:,故C正确;对于D:因为,所以,故D正确;故选:A考法二空集【例2-1】(2023安徽)下列集合中为的是(

)A. B.C. D.【答案】C【解析】对于A中,由集合中有一个元素,不符合题意;对于B中,由集合中有一个元素,不符合题意;对于C中,由方程,即,此时方程无解,可得,符合题意;对于D中,不等式,解得,,不符合题意.故选:C.【例2-2】(2022·上海)下列命题中正确的是(

)A.空集没有子集B.空集是任何一个集合的真子集C.任何一个集合必有两个或两个以上的子集D.设集合,那么,若,则【答案】D【解析】A选项,空集是其本身的子集,A错;B选项,空集是任一非空集合的真子集,B错;C选项,空集只有一个子集,即是空集本身;C错;D选项,若,则中元素都在中,中没有的元素,则中也没有;故D正确.故选:D.【一隅三反】1.(2023·天津)下列四个说法中,正确的有(

)①空集没有子集;②空集是任何集合的真子集;③若,则;④任何集合至少有两个子集.A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【答案】A【解析】①空集是任何集合的子集,所以①错;②空集是任何非空集合的真子集,所以②错;③空集是任何集合的子集,集合不一定等于空集,所以③错;④空集只有自己本身一个子集,所以④错.故选:A.2.(2023·北京)已知六个关系式①;②;③;④;⑤;⑥,它们中关系表达正确的个数为(

)A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】根据元素与集合、集合与集合关系:是的一个元素,故,①正确;是任何非空集合的真子集,故、,②③正确;没有元素,故,④正确;且、,⑤错误,⑥正确;所以①②③④⑥正确.故选:C3.(2023·河南)下列四个命题:①空集没有子集;②空集是任何一个集合的真子集;③∅={0};④任何一个集合必有两个或两个以上的子集.其中正确命题的个数为(

)A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】因为空集是其本身的子集,故①错误;空集只有本身一个子集,故②④错误;空集没有元素,而集合{0}含有一个元素0,故③错误.故正确命题个数为0.答案:A.考法三(真)子集的个数【例3-1】(2022秋·江苏扬州)已知集合,则集合的真子集个数为(

)A.8 B.7 C.6 D.5【答案】B【解析】集合,所以集合的真子集个数为:.故选:B.【例3-2】(2023·海南)若集合A满足,则集合A所有可能的情形有(

)A.3种 B.5种 C.7种 D.9种【答案】C【解析】由,可知集合A必有元素,即至少有两个元素,至多有四个元素,依次有以下可能:七种可能.故选:C【一隅三反】1.(2023·江苏南京)集合的子集个数为(

)A.2 B.4 C.8 D.16【答案】B【解析】,故子集个数为.故选:B2.(2023·新疆)已知集合满足,那么这样的集合的个数为(

)A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】∵,∴要确定集合M,只需确定1和4是否放置在其中,共有4种情况,,故选:D3.(2023·河南开封)已知集合,,则集合B的真子集个数是(

)A.3 B.4 C.7 D.8【答案】C【解析】由题意得,所以集合的真子集个数为.故选:C.考法四已知集合关系求参数【例4-1】(2023·全国·统考高考真题)设集合,,若,则(

).A.2 B.1 C. D.【答案】B【解析】因为,则有:若,解得,此时,,不符合题意;若,解得,此时,,符合题意;综上所述:.故选:B.【例4-2】(2023·高一课时练习)已知集合,若,则实数a的取值集合为(

)A. B. C. D.【答案】D【解析】由于,故时,则且,若中只有一个元素,①中的方程为一元二次方程,则,此时,不合题意,舍去;②中的方程为一元一次方程,则,则,则,此时不符合,舍去,当时,则符合题意,综上可知:或,故选:D.【例4-3】(2023秋·河南郑州)已知集合没有非空真子集,则实数a构成的集合为______.【答案】【解析】因为集合没有非空真子集,所以集合中元素的个数为1或0个,当集合中元素的个数为1个时,若,则有,解得,符合题意,若,则有,解得,当集合中元素的个数为0个时,则,解得,综上或,即实数a构成的集合为.故答案为:.【例4-4】(2023·江苏)已知集合.(1)若,求实数的取值范围;(2)若,求实数的取值范围.【答案】(1)(2)不存在【解析】(1)解:①当时,即,解得,此时满足;②当时,要使得,则满足,解得,综上可得,实数的取值范围是.(2)解:由题意,要使得,则满足,此时不等式组无解,所以实数不存在,即不存在实数使得.【一隅三反】1.(2023·福建)(多选)已知集合A=,B={x|ax+1=0},且B⊆A,则实数a的取值可能为()A.-3 B.-2C.0 D.3【答案】BCD【解析】由题知B⊆A,B={x|ax+1=0},A=.所以B=,,,.当B=时,此种情况不可能,所以舍去;当B=时,,解得a=3;当B=时,,解得a=-2;当B=时,a=0.综上可得实数a的可能取值为3,0,-2.故选:BCD.2.(2022秋·河南·高一统考期中)集合或,若,则实数的取值范围是(

)A. B.C. D.【答案】A【解析】,①当时,即无解,此时,满足题意.②当时,即有解,当时,可得,要使,则需要,解得.当时,可得,要使,则需要,解得,综上,实数的取值范围是.故选:A.3.(2023·安徽芜湖)若集合,,且,求实数m的值.【答案】或或【解析】,当时,,当时,,因为,所以或,所以或,综上所述,或或.4.(2022·高一课时练习)已知集合.(1)若,,求实数的取值范围;(2)若,,求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】(1)解:由题可知,,,①若,则,即;②若,则,解得:;综合①②,得实数的取值范围是.(2)解:已知,,,则,解得:,所以实数的取值范围是.5.(2023·安徽)已知集合,.(1)若,求的值;(2)若,求的

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