2024-2025学年湖南省长沙市高三（上）摸底数学试卷（8月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省长沙市高三（上）摸底数学试卷（8月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|log2x<3}，B={x|x=3k−1,k∈N}，则A∩B=A.{−1,2,5,8} B.{−1,2,5} C.{2,5,8} D.{2,5}2.设复数z满足：z⋅(1+i)=i−3，则z的共轭复数是z−A.−1+2i B.1+2i C.−1−2i D.1−2i3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=8，A.34 B.35 C.36 D.384.已知a=(12)−12，b=loA.a>b>c B.c>b>a C.c>a>b D.b>c>a5.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)及圆O：x2+y2=a2A.33

B.12

C.6.已知m，n∈R，且有2m+2n=2A.6 B.7 C.8 D.97.若函数f(x)=x2−2ax+a+2,x≤1,x2a−6,x>1是RA.[1,3) B.(3,+∞) C.(1,2) D.[1,2]8.已知函数f(x)=sinx，若存在x1，x2，⋯，xm满足0≤x1<x2A.5 B.6 C.7 D.8二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列结论正确的是(

)A.若a是无理数，b是有理数，则ab是无理数

B.若x>1，则x+9x−1≥7

C.若“∀x∈[−1,2]，−x2+ax+3>0”是真命题，则12<a<2

D.10.若函数f(x)=sin(ωx+φ),(ω>0,|φ|<π2)的两条相邻对称轴距离为π2A.φ=π6 B.点(−π12,0)是函数f(x)的对称中心

C.函数f(x)在(π6,π)11.某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列A={a1,a2,a3,⋯}重新编辑，编辑新序列为A∗={a2a1,A.b5=16 B.b10=1024 C.三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分。12.已知tanx=2，则2sin2x1+cos2x=13.在(3x−1x)n14.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，PD⊥底面ABCD，O为对角线AC与BD的交点，若PD=3，∠APD=∠BAD=π3，则三棱锥P−AOD的外接球的体积为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=b(3sinC+cosC)．

(1)求B；

(2)已知BC=23，D为边AB上的一点，若BD=1，∠ACD=π16.(本小题15分)

如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=2,BC=3,AB=13，D为CC1上一点，且CD：C1D=4：9．

(1)证明：平面AB17.(本小题15分)

已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为x−2y=0，焦点到渐近线的距离为1．

(1)求双曲线C的标准方程与离心率；

(2)已知斜率为−12的直线l与双曲线C交于x轴上方的A18.(本小题17分)

在”五四”来临之际，某学校团委组织以“春风吹，青春启航”为主题的知识竞赛，比赛分初赛和决赛两个阶段，甲、乙两人进入决赛争夺冠军，决赛规则如下：每轮答题获得1分，其概率为13，获得2分，其概率为23.最多进行20轮答题，某同学累计得分为20分时，比赛结束，该同学获得冠军，另一同学获得亚军．

(1)当进行完3轮答题后，甲同学总分为Y，求Y的分布列及E(Y)；

(2)若累计得分为m的概率为Pm，(初始得分为0分，p0=1)

①求Pm−19.(本小题17分)

已知函数f(x)=alnx+12x2+(a+1)x+1．

(1)当a=−1时，求函数f(x)的单调增区间；

(2)若函数f(x)在(0,+∞)上是增函数，求实数a的取值范围；

(3)若a>0，且对任意x1，x2∈(0,+∞)，x参考答案1.D

2.C

3.B

4.A

5.A

6.B

7.D

8.B

9.BCD

10.AB

11.BC

12.213.135

14.36π

15.解：∵a=b(3sinC+cosC)，

∴sinA=sinB(3sinC+cosC)，

即sinBcosC+cosBsinC=3sinBsinC+sinBcosC，

所以cosBsinC=3sinBsinC，因为sinC>0，

所以cosB=3sinB16.解：(1)证明：如图，作CE⊥AB交AB于点E，EF/​/BB1交AB1于点F，连接DF，

因为AC=2,BC=3,AB=13，

所以AC2+BC2=22+32=(13)2=AB2，所以AC⊥BC，

所以由等面积可得CE=AC⋅BCAB=2×313=61313，

由勾股定理得AE=AC2−CE2=22−(61313)2=41313，

所以EFBB1=AEAB=4131313=413=CDCC1，所以EF=CD，

又EF/​/BB1，CD//BB1，所以EF//CD，

所以四边形EFDC是平行四边形，所以DF/​/CE，

因为直三棱柱平面ABC⊥平面ABB1A1，平面ABC∩平面ABB1A1=AB，CE⊥AB，

所以CE⊥平面ABB1A1，

所以DF⊥平面ABB1A1，

又DF⊂平面AB1D，所以平面AB1D⊥平面AB17.解：(1)设双曲线C的焦点F(c,0)，则F到直线x−2y=0的距离为1，

则|c|3=1，则c=3，

双曲线渐近线的斜率k=ba=22，又a2+b2=3，

所以a=2，b=1，

所以双曲线C的方程：x22−y2=1；

双曲线的离心率e=ca=62；

(2)设直线l：y=−12x+t(t>0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

联立y=−12x+tx22−y18.解：(1)设进行完3轮答题时，得1分的次数为X，X～B(3,13)．

P(X=k)=C3k(13)k(23)3−k，k=0，1，2，3，

随机变量Y表示甲同学的总分，其可能取值为3，4，5，6，

Y3456P1248E(Y)=3×127+4×29+5×49+6×827=5；

(2)①当m=1时，即累计得分为1分，是第一轮抢答得1分，P1=13，则P1−P0=13−1=−23，

累计得分为m分的情况分两种：

(i)m=(m−2)+2，即累计得分为m−2分，又一轮抢答得2分，其概率为23Pm−2．

(ii)m=(m−1)+1，即累计得分为m−1分，又一轮抢答得1分，其概率为13Pm−1．

则Pm=23Pm−2+13Pm−1(m=2,3,⋯,19)，所以Pm19.解：(1)当a=−1时，f(x)=−lnx+12x2+1．

则f′(x)=−1x+x.

令f′(x)>0，得−1x+x>0，即x2−1x>0，解得：x<0或x>1．

因为函数的定义域为{x|x>0}，

所以函数f(x)的单调增区间为(1,+∞)．

(2)由函数f(x)=alnx+12x2+(a+1)x+1．

因为函数f(x)在(0,+∞)上是增函数，

所以f′(x)=ax+x+a+1=x2+(a+1)x+ax=(x+1)(x+a)x