09几何综合大题综合原卷版+解析

09几何综合大题综合1．（2023·江苏扬州·统考一模）已知菱形中，点E是对角线上一点，点F是边上一点，连接、、，【特例探究】(1)如图1，若且，线段、满足的数量关系是________；(2)如图2，若且，判定线段、满足的数量关系，并说明理由；(3)【一般探究】如图3，根据特例的探究，若，，请求出的值（用含的式子表示）；(4)【发现应用】如图3，根据“一般探究”中的条件，若菱形边长为1，，点F在直线上运动，则面积的最大值为________，2．（2023·江苏扬州·统考一模）如图，在菱形中，，，点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，过点作于点，作交直线于点，交直线于点，设与菱形重叠部分图形的面积为（平方单位），点运动时间为（秒）．(1)当点与点重合时，则______；(2)求整个运动过程中的最大值；(3)以线段为边，在右侧作等边，当时，求点的运动路径的长．3．（2023·江苏南京·统考一模）如图，在中，．的顶点P，M，N分别在，，上运动，且，．(1)求证；(2)若，，则的取值范围是______；(3)已知，，直接写出的取值范围（用含m，n的式子表示）．4．（2023·江苏无锡·统考一模）如图，在矩形中，为边上一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处，作的角平分线交的延长线于点，交于点．(1)求证：；(2)若，时，求的长；(3)若时，求的值．5．（2023·江苏常州·统考二模）如图①，在矩形中，，，点P、Q分别是、的中点，点E是折线段上一点．(1)点C到直线距离的最大值是_____；(2)沿所在直线折叠矩形，已知点B的对应点为，若点恰好落在矩形的边上，求的长；(3)如图②，以为直径，在右侧作半圆O，当半圆O与边相切于点M时，求的值．6．（2023·江苏常州·常州实验初中校考一模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．(1)概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子，例如是等邻角四边形；(2)问题探究：如图1，在等邻角四边形中，，，的垂直平分线恰好交于边上一点P，连接，，试探究与的数量关系，并说明理由；(3)应用拓展：如图2，在与中，，，，将绕着点A顺时针旋转角得到（如图3），当四边形为等邻角四边形时，求出它的面积．7．（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考一模）如图，在矩形中，，，E是边上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上点处，延长交的延长线于点G．(1)求线段的长．(2)判断四边形是什么特殊四边形，并说明理由．(3)如图，M、N分别是线段，上的动点（与端点不重合），且，设．是否存在这样的点N，使是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．8．（2023·江苏连云港·统考一模）如图1，平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，若有，则称点为关于点的勾股点．(1)如图2，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B、C、D、E均在小正方形的格点上，则点是关于点______的勾股点；若点在格点上，且点是关于点的勾股点，请在方格纸中画出；(2)如图3，菱形中，与交于点，点是平面内一点，且点是关于点的勾股点．①求证：；②若，，则的最大值为______（直接写出结果）；③若，，且是以为底的等腰三角形，求的长．(3)如图4，矩形中，，，是矩形内一点，且点是关于点的勾股点，那么的最小值为______（直接写出结果）．9．（2023·江苏无锡·校考一模）如图，矩形中，，，(1)点是边上一点，将沿直线翻折，得到．①如图，当平分时，求的长；②如图，连接，当时，求的面积；(2)点为射线上一动点，将矩形沿直线进行翻折，点的对应点为，当点，，三点共线时，求的长．10．（2023·江苏苏州·校考一模）已知：矩形中，E是的中点，于点F．(1)如图1，若，求的值；(2)如图2，连接交于点G，若，求的值；(3)如图3，延长交于点G，若G点恰好为的中点，连接，过A作交于K，设的面积为，的面积为，则的值为___________．11．（2023·江苏扬州·统考一模）【初步感知】（1）如图1，点均在小正方形网格的格点上，则；【问题解决】（2）求的值；方案①：如图2，在中，，，作平分交于，…方案②：如图3，在中，，，过点作，垂足为，…请你选择其中一种方案求出的值（结果保留根号）；【思维提升】（3）求的值；

如图4，在中，，．求的值（结果保留根号）．12．（2023·江苏无锡·校考一模）如图，在矩形中，，，点是射线上的一个动点，连接，过作于点．(1)如图，当点为边中点时，连接并延长交于点．①求证：；②AE的长为．（直接写出答案）(2)如图，点在边上，且，当时，求的长．13．（2023·江苏扬州·校考二模）在和中，，，，且．(1)如图1，当点在线段上时，连接，若，，求线段的长；(2)如图2，将图1中绕着点逆时针旋转，使点在的内部，连接，．线段，相交于点，当时，求证：；(3)如图3，点是点关于的对称点，连接，，在（2）的基础上继续逆时针旋转，过作的平行线，交直线于点，连接，，，若，请直接写出线段的最小值，以及当线段长度最小时的面积．14．（2023·江苏淮安·统考一模）【基础模型】：如图，在中，为上一点，，求证：．【尝试应用】：如图，在平行四边形中，为上一点，为延长线上一点，，若，，求的长．【更上层楼】：如图，在菱形中，是直线上一点，是菱形内一点，，，，，，请直接写出菱形的边长．15．（2023·江苏连云港·统考一模）问题提出：（1）“弦图”是中国古代数学成就的一个重要标志．小明用边长为的正方形制作了一个“弦图”：如图①，在正方形内取一点，使得，作，，垂足分别为、，延长交于点．若，求的长；变式应用：（2）如图②，分别以正方形的边长和为斜边向内作和，连接，若已知，，的面积为，，则正方形的面积为．拓展应用：（3）如图③，公园中有一块四边形空地，米，米，米，，空地中有一段半径为米的弧形道路（即），现准备在上找一点将弧形道路改造为三条直路（即、、），并要求，三条直路将空地分割为、和四边形三个区域，用来种植不同的花草．①则的度数为；②求四边形的面积．16．（2023·江苏苏州·统考一模）在边长为8的等边三角形中，为的中点，分别为上任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交于点，连接．(1)如图1，点与点重合，且的延长线过点，证明：四边形是菱形；(2)如图2，的延长线交于点，当时，求的度数；(3)如图3，为的中点，连接为直线上一动点，连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，直接写出线段长度的最小值．17．（2023·江苏泰州·模拟预测）如图，在矩形中，点是边上的一个动点（点与点不重合），连接，过点作，垂足为点，交或的延长线于点．(1)若，．①当时，______；②已知点是边的中点，当点在边上运动时，能不能经过点？若能，求出的长度；若不能，说明理由；③若点在边上，且，当点从点开始运动到点停止时，点运动的路径为______；(2)若，．当点在边上运动时，求使得下列两个条件都成立的的取值范围：点始终在边上；点在某一位置时，点恰好与点重合．18．（2023·江苏镇江·统考一模）如图1，在矩形中，，，E是边上的一点，连接，将矩形沿折叠，顶点D恰好落在边上的点F处，延长交的延长线于点G．(1)求线段的长；(2)求证四边形为菱形；(3)如图2，M，N分别是线段，上的动点（与端点不重合），且，设，是否存在这样的点N，使是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．19．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图①，在四边形中，，，，，．点在上，连接、、．(1)求的长；(2)探索：是否存在这样的点，使得平分、平分同时成立?若存在，求出的长；若不存在，说明理由；(3)如图②，与相交于点，过点作，与相交于点．设、的面积分别为、．若，求的长．20．（2023·江苏扬州·模拟预测）已知和为等腰直角三角形，，，，将两三角形如图1所示放置，其中、、在同一直线上，．现将绕点顺时针旋转，旋转角度为．(1)如图2，当线段过点时，若，，则的度数为______；(2)若点在边的延长线上，连接，请在图3中补全图形，探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论；(3)若点为的中点，旋转至如图4所示位置，连接、交于点，交于点，且，请直接写出的值．21．（2023·江苏扬州·一模）如图1，在中，，于点D，．(1)求；(2)当时，E为边上一点，连接，F为上一点，且．若，求的长；(3)如图，延长到点G，使，连接，则．22．（2023·江苏常州·统考一模）如图，在平行四边形中，，垂足为，平分，交线段于点．(1)如图1，延长到点，使得，连接．①若，则______°（用含有α的代数式表示）；②若，求证：．(2)如图2，延长到点，使得，连接．若，用等式表示线段，，之间的数量关系，直接写出结果（不需证明）．23．（2023·江苏淮安·统考一模）【背景】如图1，矩形中，，，、分别是、的中点，折叠矩形使点落在上的点处，折痕为．【操作】（1）用直尺和圆规在图1中的边上作出点（不写作法，保留作图痕迹）；【应用】（2）求的度数和的长；（3）如图2，若点是直线上的一个动点．连接，在左侧作等边三角形，连接，则的最小值是__________；【拓展】（4）如图3，若点是射线上的一个动点．将沿翻折，得，延长至，使，连接．当是直角三角形时，的长为多少？请直接写出答案：__________．24．（2023·江苏无锡·模拟预测）问题提出：已知矩形，点为上的一点，，交于点．将绕点顺时针旋转得到，则与有怎样的数量关系．【问题探究】探究一：如图，已知正方形，点为上的一点，，交于点．（1）如图1，直接写出的值；（2）将绕点顺时针旋转到如图所示的位置，连接、，猜想与的数量关系，并证明你的结论；探究二：如图，已知矩形，点为上的一点，，交于点．如图3，若四边形为矩形，，将绕点顺时针旋转得到、的对应点分别为、点，连接、，则的值是否随着的变化而变化．若变化，请说明变化情况；若不变，请求出的值．【一般规律】如图3，若四边形为矩形，，其它条件都不变，将绕点顺时针旋转得到，连接，，请直接写出与的数量关系．25．（2023·江苏徐州·统考一模）综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断：操作一：如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；操作二：如图1，在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接，．根据以上操作，当点M在上时，写出图1中一个的角：______（写一个即可）．(2)迁移探究：小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接．①如图2，当点M在上时，______，______；②如图3，改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），判断与的数量关系，并说明理由．(3)拓展应用：在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为10cm，当cm时，直接写出的长．26．（2023·江苏苏州·一模）【教材再现】在初中数学教材中有这样一个基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．如图1，直线，直线m和直线n分别与直线和直线相交于点A，点B，点F，点D，直线m和直线n相交于点E，则；【探究发现】如图2，在中，，，点D在边上（不与点B，点C重合），连接，点E在边上，．(1)求证：；(2)当时，直接写出的长；(3)点H在射线AC上，连接EH交线段于点G，当，且时，直接写出的值．27．（2023·江苏宿迁·统考一模）已知四边形是边长为1的正方形，点E是边上的动点，以为直角边在直线的上方作等腰直角三角形与分别相交于点P、Q，连接，过点A作，垂足为点M，过点P作，垂足为点N，设．(1)求的长；(2)用含有m的代数式表示；(3)用含有m的代数式表示，并求的最大值．28．（2023·江苏扬州·二模）（1）【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，连接，．请判断与的数量关系：_________．（2）【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，．连接，．请写出与的数量关系：________．（3）【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且．连接，．①求的值；②延长交于点，交于点．求的值．29．（2023·江苏苏州·统考一模）（1）如图①，在正方形中，E，F分别是，边上的动点，且，将绕点D逆时针旋转90°，得到，可以证明，进一步推出，，之间的数量关系为______________；（2）在图①中，连接分别交和于P，Q两点，求证：；（3）如图②，在菱形中，，点E，F分别是边，上的动点（不与端点重合），且，连接分别与边，交于M，N．当时，猜想，，之间存在什么样的数量关系，并证明你的结论．30．（2023·江苏苏州·统考一模）如图，在矩形中，，，是上一点，．是上的动点，连接，是上一点且（为常数，），分别过点，作，的垂线，交点为．设的长为，的长为．(1)若，，则的值是__________．(2)若时，求的最大值．(3)在点从点到点的整个运动过程中，若线段上存在唯一的一点，求此时的值．09几何综合大题综合1．（2023·江苏扬州·统考一模）已知菱形中，点E是对角线上一点，点F是边上一点，连接、、，【特例探究】(1)如图1，若且，线段、满足的数量关系是________；(2)如图2，若且，判定线段、满足的数量关系，并说明理由；(3)【一般探究】如图3，根据特例的探究，若，，请求出的值（用含的式子表示）；(4)【发现应用】如图3，根据“一般探究”中的条件，若菱形边长为1，，点F在直线上运动，则面积的最大值为________，【答案】(1)(2)，理由见解析(3)(4)【分析】（1）证明，即可得出结论；（2）证明，即可得出结论；（3）过点作于点，先证明，得到，再证明，得到，推出，即可得出结论；（4）连接交于点，过点作于点，由（3）推出，设，则，求出，根据，得到，进而求出，利用二次函数的性质，求出最值即可得出结果．【详解】（1）∵四边形是菱形，，∴，∴和都是等边三角形，∴，∵，∴，∴是等边三角形，，∴，在和中，∴，∴；故答案为：，（2）解：，理由如下：∵四边形是菱形，，∴，∴，∵，∴，∴∴，∴∴；（3）如图3，过点作于点，∵四边形是菱形，，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴（4）如图4，连接交于点，过点作于点，由（3）可得：，，，∴，∴，∴，设，则，∵四边形是菱形，∴，∴∴，∵，∴，，∴∴∵，∴，∴，∴，即∵，∴当时，有最大值：．故答案为：．【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形以及利用二次函数的性质求最值．本题的综合性强，难度大，属于中考压轴题．熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等和相似，是解题的关键．2．（2023·江苏扬州·统考一模）如图，在菱形中，，，点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，过点作于点，作交直线于点，交直线于点，设与菱形重叠部分图形的面积为（平方单位），点运动时间为（秒）．(1)当点与点重合时，则______；(2)求整个运动过程中的最大值；(3)以线段为边，在右侧作等边，当时，求点的运动路径的长．【答案】(1)2(2)(3)【分析】（1）根据所对的直角边等于斜边的一半求解即可；（2）分两种情况：①当时，②当时，根据直角三角形的性质及三角形的面积求解即可；（3）连接，由直角三角形的性质得出为定值，则点的运动轨迹为直线，求出的长，即可得到答案．【详解】（1）解：与重合时，如图1，，，，，，；故答案为：2；（2）解：①时，如图，，，，，，，，当时，有最大值，最大值为：；②当时，如图，，，四边形是菱形，，，，，，，，，，，抛物线对称轴为直线，，随的增大而增大，当时，最大，最大值为：，综上所述，的最大值为；（3）解：连接，如图3，为等边三角形，，在中，，为定值，点的运动轨迹为直线，，，当时，，当时，，，点运动路径的长为．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，直角三角形的性质，解直角三角形，等边三角形的性质，二次函数的性质，三角形的面积，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键，注意分类讨论思想的运用．3．（2023·江苏南京·统考一模）如图，在中，．的顶点P，M，N分别在，，上运动，且，．(1)求证；(2)若，，则的取值范围是______；(3)已知，，直接写出的取值范围（用含m，n的式子表示）．【答案】(1)见详解(2)(3)【分析】（1）先根据已知条件证明，再证明即可；（2）先根据由（1）中，得，再根据点在上运动，，再根据，即可求出的取值范围；（3）方法同（2）．【详解】（1）证明：在中，，，，，，，，；（2）解：由（1）可知：，，，，点在上运动，，，，故答案为：；（3）解：由（1）可知：，，，，点在上运动，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，不等式的应用，动点问题，利用动点问题求出线段的取值范围是本题的关键．4．（2023·江苏无锡·统考一模）如图，在矩形中，为边上一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处，作的角平分线交的延长线于点，交于点．(1)求证：；(2)若，时，求的长；(3)若时，求的值．【答案】(1)见解析；(2)；(3)．【分析】（1）由角平分线的定义及翻折易得及，从而得到，结合对顶角相等可得即可得证；（2）设，则，易证，得，代入求解即可；（3）如图，过点作，垂足为，设，，则，可得，易证得，即，解得，，结合，得，代入即可求解．【详解】（1）解：∵平分，∴，在矩形中，由翻折可知∵点在的延长线上∴，∴，∴，又，∴，∴；（2）∵，由翻折可知，在中，，∴，设，则，由（1）可知，，∴，得，∴，解得：，即；（3）如图，过点作，垂足为，设，，则，，∵平分，∴，∵，，∴，∴，即，故，，又∵，即，∴，∴．【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质的应用，角平分线的性质定理；解题的关键是熟练掌握折叠的性质及相似三角形的判定和性质．5．（2023·江苏常州·统考二模）如图①，在矩形中，，，点P、Q分别是、的中点，点E是折线段上一点．(1)点C到直线距离的最大值是_____；(2)沿所在直线折叠矩形，已知点B的对应点为，若点恰好落在矩形的边上，求的长；(3)如图②，以为直径，在右侧作半圆O，当半圆O与边相切于点M时，求的值．【答案】(1)5；(2)或3；(3)或．【分析】(1)利用斜边大于直角边计算判断即可．(2)分点E在上和边上，两种情况求解．(3)分点E在上和边上，两种情况求解．【详解】（1）过点C作交的延长线于点M，∴，∴时，取得最大值，∵，Q是的中点，∴，故答案为：5．（2）或3，如图当点E在上时，，在中，，解得：．如图，当点E在边上时，连接、，则，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．综上所述，或．（3）或如图，当点E在线段上时，连接，延长交于点N，∵与半圆相切于点M，∴，∵四边形是矩形，∴，∴四边形是矩形，∴，，∵，∴，在中，设，∵，∴，解得，∴，∵，∴；如图，当点E在边上时，点M与点E重合，∴，∴四边形是矩形，∴，，∴．综上所述，的值为或．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，正切函数，切线的性质，分类思想，熟练掌握直角三角形的性质，正切函数，切线的性质，分类思想是解题的关键．6．（2023·江苏常州·常州实验初中校考一模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．(1)概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子，例如是等邻角四边形；(2)问题探究：如图1，在等邻角四边形中，，，的垂直平分线恰好交于边上一点P，连接，，试探究与的数量关系，并说明理由；(3)应用拓展：如图2，在与中，，，，将绕着点A顺时针旋转角得到（如图3），当四边形为等邻角四边形时，求出它的面积．【答案】(1)矩形（或正方形）(2)，理由见解析(3)或【分析】（1）矩形或正方形邻角相等，满足“等邻角四边形”条件；（2）连接，，根据垂直平分线的性质得到，，从而得出，利用得到，进而得出结论；（3）分两种情况考虑：（i）当时，延长，交于点，结合图形求解即可；（ii）当时，过点作于点，结合图形求解即可．【详解】（1）在我们所学的四边形中矩形或正方形都符合有一组邻角相等的凸四边形，∴矩形或正方形是“等邻角四边形”，故答案为：矩形（或正方形）；（2），理由如下：如图1，连接，，∵是的垂直平分线，是的垂直平分线，∴，，∴，，∴，，即，∴，∴，∴；（3）由勾股定理得，分两种情况考虑：（i）当时，延长，交于点，如图3（i）所示，∴，∴，设，由勾股定理得：，解得：，过点作于，∴，∴，∴，即，解得：，∴，，则；（ii）当时，过点作于点，如图3（ii）所示，∴四边形是矩形，∴，在中，根据勾股定理得：，∴，，则．综上，当四边形为等邻角四边形时，它的面积为或．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了“等邻角四边形”的理解，三角形，四边形的内角和定理，角平分线的意义，勾股定理，旋转的性质，相似三角形的性质和判定，理解“等邻角四边形”的定义是解本题的关键，分类讨论是解本题的难点．7．（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考一模）如图，在矩形中，，，E是边上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上点处，延长交的延长线于点G．(1)求线段的长．(2)判断四边形是什么特殊四边形，并说明理由．(3)如图，M、N分别是线段，上的动点（与端点不重合），且，设．是否存在这样的点N，使是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)3(2)菱形，理由见解析(3)或2【分析】（1）由翻折可知：．，设，则．在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．（2）首先证明，，推出四边形是平行四边形，再根据邻边相等推出四边形是菱形．（3）是直角三角形，，只有或．分两种情形画出图形分别求解即可．【详解】（1）解：如图1中，四边形是矩形，，，，由翻折可知：．，设，则．在中，，，在中，则有：，，．（2）菱形，理由是：证明：如图2中，四边形是矩形，，，，，，，，，四边形是平行四边形，，四边形是菱形．（3）是直角三角形，，只有或．如图中，当时，，∴，，，，，在中，，在中，，，，，，，，，，，，，，如图中，当时，，，，，，，，，，，，综上所述，满足条件的的值为或2．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．8．（2023·江苏连云港·统考一模）如图1，平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，若有，则称点为关于点的勾股点．(1)如图2，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B、C、D、E均在小正方形的格点上，则点是关于点______的勾股点；若点在格点上，且点是关于点的勾股点，请在方格纸中画出；(2)如图3，菱形中，与交于点，点是平面内一点，且点是关于点的勾股点．①求证：；②若，，则的最大值为______（直接写出结果）；③若，，且是以为底的等腰三角形，求的长．(3)如图4，矩形中，，，是矩形内一点，且点是关于点的勾股点，那么的最小值为______（直接写出结果）．【答案】(1)C；见解析(2)①见解析；②；③或(3)【分析】（1）根据勾股定理得到，则点是关于点的勾股点；根据勾股定理结合定义得到，据此画图即可；（2）①根据定义可得，利用菱形的性质和勾股定理可得，即可证明；②利用勾股定理求出，则点E在以O为圆心，半径为的圆上运动，即可当（点O在）三点共线时，最大，据此求解即可；如图3，由②可知点在以为圆心，为半径的圆上运动．当点在左侧时，连接．先证明，过点作，求出，，过点作，则四边形为正方形，则，，即可得到；当点在右侧时，同理求解即可．（3）如图4，在上取点，使，则，先求出，进而证明，得到，则，故当A、E、F共线时，值最小，据此求解即可．【详解】（1）解：由题意得，，，∴，∴点是关于点的勾股点；∵点是关于点的勾股点，∴∵，∴，如图所示，即为所求；（2）解：①∵点是关于点的勾股点，∴，∵菱形中，，∴在中，，∴；②∵，，∴在中，，∴，∴点E在以O为圆心，半径为的圆上运动，∴当（点O在）三点共线时，最大，最大值为；③如图3，由②可知点在以为圆心，为半径的圆上运动．当点在左侧时，连接．当时，∵，∴，过点作，∴点为中点，即，∴，，过点作，则四边形为正方形，∴，∴，∴．当点在右侧时，可得点与点关于对称，∴∴或（3）解：如图4，在上取点，使，则，∵是关于点的勾股点，∴，在中，，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴当A、E、F共线时，值最小，在中，由勾股定理得，∴的最小值为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，圆外一点到圆上一点距离的最值问题，菱形的性质，勾股定理，矩形的性质，正方形的性质与判定等等，灵活运用数形结合的思想是解题的关键．9．（2023·江苏无锡·校考一模）如图，矩形中，，，(1)点是边上一点，将沿直线翻折，得到．①如图，当平分时，求的长；②如图，连接，当时，求的面积；(2)点为射线上一动点，将矩形沿直线进行翻折，点的对应点为，当点，，三点共线时，求的长．【答案】(1)①；②(2)的长为或【分析】（1）①根据折叠的性质以及平分，得出，根据勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，得出，即可求解；②延长交的延长线于点，根据折叠的性质以及矩形的性质得出，进而在中，勾股定理求得的长，等面积法求得边上的高，进而根据三角形的面积公式即可求解；（2）分两种情况，①当在的延长线上时，证明，②当在线段上时，分别讨论即可求解．【详解】（1）解：①∵四边形是矩形，∴，∵折叠，∴，∵平分，∴，∴，∴∴；②如图所示，延长交的延长线于点，∵四边形是矩形，∴，∴，∵折叠，∴，，，∴，∴，∵，∴，∴，在中，，即，解得：，∴，，设边上的高为，则，∴，∴的面积；（2）当点三点共线时，分两种情况：①当在的延长线上时，∵四边形是矩形，∴，，∴，由折叠的性质得：，∴，∴，∴，∴，∴；②当在线段上时，由折叠的性质得：，∵，∴，∵，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得：，∴；综上所述，的长为或．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质，证明三角形全等是解题的关键．10．（2023·江苏苏州·校考一模）已知：矩形中，E是的中点，于点F．(1)如图1，若，求的值；(2)如图2，连接交于点G，若，求的值；(3)如图3，延长交于点G，若G点恰好为的中点，连接，过A作交于K，设的面积为，的面积为，则的值为___________．【答案】(1)4(2)(3)【分析】（1）证明，得出，即可得出答案；（2）延长交的延长线于，连接、，证明，得出，证出，得出，证明四边形是菱形，得出，，，得出，求出，得出，求出，得出，由等腰三角形的性质得出，即可得出答案；（3）过作于，交于，作于，则，，，证明，证出，得出四边形是正方形，得出，设，则，由三角函数得出，由勾股定理得出，由三角形面积求出，证明，的，求出，，得出，，由三角函数得出，设，则，证明，得出，求出，由得出方程，解得，，由三角形面积公式即可得出答案．【详解】（1）解：是的中点，，四边形是矩形，，，，，，，，，；（2）解：延长交的延长线于，连接、，如图2所示：四边形是矩形，，，，，，，是的中点，，，∴，四边形是平行四边形，，四边形是菱形，，，，，，，，，，，，；（3）解：过作于，交于，作于，如图3所示：则，，，是的中点，是的中点，，，四边形是矩形，，，，，，，，，，即，，四边形是正方形，，设，则，，，，，，，，即，解得：，，，，，，设，则，，，，，，又，，，即，解得：，，，解得：，，的面积为，的面积为，；故答案为：．【点睛】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定由性质、正方形的判定与性质、三角函数定义、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握菱形的判定由性质、正方形的判定与性质，证明三角形相似是解题的关键．11．（2023·江苏扬州·统考一模）【初步感知】（1）如图1，点均在小正方形网格的格点上，则；【问题解决】（2）求的值；方案①：如图2，在中，，，作平分交于，…方案②：如图3，在中，，，过点作，垂足为，…请你选择其中一种方案求出的值（结果保留根号）；【思维提升】（3）求的值；

如图4，在中，，．求的值（结果保留根号）．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）根据格点的特点分别计算出的长，计算出，再根据正切值的计算方法即可求解；（2）选方案①：作平分交于，过点作垂足为，设，，根据等面积法求出的值，根据正切的计算方法即可求解；选方案②：过点作，垂足为，设，求出，根据正切的计算方法即可求解；（3）设，作平分交于点，可证，，计算出的长，根据正弦的计算方法即可求解．【详解】解：（1）在中，，，，∴，∵，∴是等腰三角形，∴，∵是的外角，∴，即，∴，故答案为：；（2）选方案①：作平分交于，过点作垂足为，∵平分，，，∴，，设，，∵，，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴；选方案②：过点作，垂足为，设，∵，，∴，，

∴，∵，∴，∵，∴∵，∴，∴；（3）如图所示，设，作平分交于点，∵，∴，∵，，

∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，同理：，∴，设，∴，解之得，（舍去负值），∴，过点作垂足为，∴，∴，∵，∴，∵，∴．【点睛】本题主要考查正切、正弦的计算方法，掌握构造直角三角形，勾股定理求出各边长，正切、正弦的计算方法是解题的关键．12．（2023·江苏无锡·校考一模）如图，在矩形中，，，点是射线上的一个动点，连接，过作于点．(1)如图，当点为边中点时，连接并延长交于点．①求证：；②AE的长为．（直接写出答案）(2)如图，点在边上，且，当时，求的长．【答案】(1)①见详解②(2)或【分析】（1）①延长、交于点，利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，易得点为中点，再结合“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质可得，可推导，进而推导，即可证明；②设，则，，，在中，由勾股定理可解得，即可获得答案；（2）分两种情况讨论：①当点在线段上时，如下图，过点作，交于点，交于点，易知四边形为矩形，设，，则，，证明，由相似三角形的性质可求得；再证明，由三角函数可得，进而可知，由，同理可得，故，即有，进而可知，即可求得，，，结合可求得；②当点在延长线上时，同理可得，即可获得答案．【详解】（1）①证明：延长、交于点，如下图，∵点为边中点，∴，∵四边形为矩形，∴，，∴，又∵，∴∴，，∴点为中点，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴；②解：设，由①可知，，，∴，，，∴在中，可有，∴，解得，∴故答案为：；（2）解：分两种情况讨论：①当点在线段上时，如下图，过点作，交于点，交于点，∴，又∵，∴四边形为矩形，∴，∴，设，，则，，∵，∴，，∴，∴，即，∴，∵，∴，∴，即，∴，由，同理可得，∴，即，∴，∴，即，解得，∴，，∵，∴，解得（舍去）或，∴；②当点在延长线上时，如下图，同理可得．综上所述，的长为或．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质、动点问题、三角函数、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，解题关键是正确作出辅助线，并运用分类讨论的思想分析问题．13．（2023·江苏扬州·校考二模）在和中，，，，且．(1)如图1，当点在线段上时，连接，若，，求线段的长；(2)如图2，将图1中绕着点逆时针旋转，使点在的内部，连接，．线段，相交于点，当时，求证：；(3)如图3，点是点关于的对称点，连接，，在（2）的基础上继续逆时针旋转，过作的平行线，交直线于点，连接，，，若，请直接写出线段的最小值，以及当线段长度最小时的面积．【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)，【分析】（1）如图1中，过点C作交的延长线于H．则，先证明是等腰直角三角形，求出，则，由勾股定理可得由勾股定理得；（2）如图，过点B作交于P．由等腰直角三角形的性质得到，证明．进一步证明，得到．进而推出，再证明，即可证明．（3）先求出，则由平行线的性质得到，进一步推出，得到A、B、C、G四点共圆且圆心为的中点，直径为；如图所示，取的中点O，连接交于H，过点于M，过点H作于N，则点G在以点O为圆心，为直径的圆上运动，故当三点共线时，即点G与点H重合时最小，求出，由点是点关于的对称点，得到，，由勾股定理得，则；求出，证明，求出，则，即当最小时，．【详解】（1）解：如图1中，过点C作交的延长线于H．则．∵，，，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，在中，由勾股定理得；（2）证明：如图，过点B作交于P．∵，，，∴和是等腰直角三角形，∴，∵，，，∴．∵，∴，∴，．∵，∴，∴．∵，∴，又∵，∴，∴．（3）解：∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴A、B、C、G四点共圆且圆心为的中点，直径为，如图所示，取的中点O，连接交于H，过点于M，过点H作于N，∴点G在以点O为圆心，为直径的圆上运动，∴当三点共线时，即点G与点H重合时最小，∵，∴，∵点是点关于的对称点，∴，，∴，∴在中，由勾股定理得，∴；∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，即，∴，∴，∴当最小时，【点睛】本题主要考查了圆外一点到圆上一点距离的最值问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，垂径定理，四点共圆等等，正确推出点G的运动轨迹是解题的关键．14．（2023·江苏淮安·统考一模）【基础模型】：如图，在中，为上一点，，求证：．【尝试应用】：如图，在平行四边形中，为上一点，为延长线上一点，，若，，求的长．【更上层楼】：如图，在菱形中，是直线上一点，是菱形内一点，，，，，，请直接写出菱形的边长．【答案】［基础模型］证明见解析；［尝试应用］；［更上层楼］菱形的边长【分析】［基础模型］根据两个三角形相似的判定定理，得到，从而由性质可得，即可得到答案；［尝试应用］利用平行四边形性质得到，，判定，从而，代值求解即可得到答案；［更上层楼］分别延长，相交于点，如图所示，由题意判定四边形为平行四边形，进而根据相似三角形判定得到，则，，由，即可得到答案．【详解】［基础模型］证明：∵，，，，；［尝试应用］解：四边形是平行四边形，，，又，，又，，，，，，；［更上层楼］解：分别延长，相交于点，如图所示：四边形是菱形，∴，，，四边形为平行四边形，，，，，，，又，，，，又，，，又，，，菱形的边长．【点睛】本题是三角形相似综合问题，涉及三角形相似的判定与性质、平行四边形判定与性质、菱形性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质，熟记常见相似三角形模型是解决问题的关键．15．（2023·江苏连云港·统考一模）问题提出：（1）“弦图”是中国古代数学成就的一个重要标志．小明用边长为的正方形制作了一个“弦图”：如图①，在正方形内取一点，使得，作，，垂足分别为、，延长交于点．若，求的长；变式应用：（2）如图②，分别以正方形的边长和为斜边向内作和，连接，若已知，，的面积为，，则正方形的面积为．拓展应用：（3）如图③，公园中有一块四边形空地，米，米，米，，空地中有一段半径为米的弧形道路（即），现准备在上找一点将弧形道路改造为三条直路（即、、），并要求，三条直路将空地分割为、和四边形三个区域，用来种植不同的花草．①则的度数为；②求四边形的面积．【答案】（1）；（2）；（3）①；②平方米【分析】（1）根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，求得，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论；（2）如图②，延长交于，延长交于，根据全等三角形的性质得到，，求得，根据余角的性质得到，同理，，根据全等三角形的性质得到，求得正方形的面积，于是得到结论；（3）①如图③，连接，根据勾股定理得到，根据勾股定理的逆定理得到，推出是所在圆的直径，是等腰直角三角形，得到点，，，四点共圆，，圆内接四边形的性质得到的度数；②根据三角形的面积公式得到；根据旋转的想得到，，，延长交于，推出是等腰直角三角形，得到，根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：∵，，，∴，∴四边形是矩形，∴，∴，∵四边形是正方形，∴，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，解得：或（负值不合题意，舍去），∴的长为；（2）解：如图②，延长交于，延长交于，∵四边形是正方形，∴，∵，，在和中，，∴，∴，，，∵，∴，∴，∴，∴，同理，，在和中，，∴，∴，，在和中，，∴，∴，，∴，，∴，∴四边形是正方形，∵的面积为，，∴正方形的面积为：，∴正方形的面积为：，故答案为：；（3）如图③，连接，∵，，∴，∵，，∴，∴，

∴是所在圆的直径，是等腰直角三角形，∴点，，，四点共圆，，∴，∴，故答案为：；②∵是等腰直角三角形，∴，把绕着点逆时针旋转，得到，∴，，，∴∠，，∴，∴，

延长交于，∴，，∴是等腰直角三角形，，∴，，∴，∵，∴四边形是正方形，∴，∴，∵，∴，

∴，∴，∴（平方米）．【点睛】本题是圆的综合题，考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，勾股定理的逆定理，正确地作出辅助线是解题的关键．16．（2023·江苏苏州·统考一模）在边长为8的等边三角形中，为的中点，分别为上任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交于点，连接．(1)如图1，点与点重合，且的延长线过点，证明：四边形是菱形；(2)如图2，的延长线交于点，当时，求的度数；(3)如图3，为的中点，连接为直线上一动点，连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，直接写出线段长度的最小值．【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】（1）边三角形与旋转的性质证明是等边三角形，得到，再证明，得，，从而得是等边三角形，得到，则有，即可得出结论；（2）过点E作，交于H，连接，证是等边三角形，得到，不规则证明，得到，然后利用等边对等角和三角形内角和与外角性质求解即可；（3）先求出，由折叠知，，则点是在以点E为圆心，为半径的上，再由旋转可知，，所以点G在以的中点为端点，与互相垂直平分的线段上，所以的最小值为，要使最小，则最大，又点F为上的点，所以点F在点D或点A时，最大，即最大，最大值为，即可求解．【详解】（1）证明：∵是等边三角形，∴，，即，由旋转可得，，，∴是等边三角形，∴，∴，∴，∴，，∵，，∴∵为的中点，是等边三角形，，∴，，∴，∴∴是等边三角形，∴，∴∴四边形是菱形；（2）解：过点E作，交于H，连接，如图，∵是等边三角形，∴∵∴，，∴是等边三角形，∴，由（1）可知，，∵为的中点，等边三角形，∴，∵，∴垂直平分，∴，∴，

设，则，，∴∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解：解：∵点E是的中点，∴，∴，由折叠知，，∴点是在以点E为圆心，为半径的上，由旋转可知，，∵点F为上的点，∴点G在以的中点为端点，与互相垂直平分的线段上，∴的最小值为，要使最小，则最大，∵点F为上的点，∴点F在点D或点A时，最大，即最大，如图，最大值为，∴线段长度的最小值为．【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，三角形内角和与外角性质，直角三角形的性质，勾股定理，最短路径问题，本题属三角形综合题目，有一定难度，属中考试压轴题目，需要熟练掌握三角形相关知识，分析出最小值时，点F与点的位置是解题的关键．17．（2023·江苏泰州·模拟预测）如图，在矩形中，点是边上的一个动点（点与点不重合），连接，过点作，垂足为点，交或的延长线于点．(1)若，．①当时，______；②已知点是边的中点，当点在边上运动时，能不能经过点？若能，求出的长度；若不能，说明理由；③若点在边上，且，当点从点开始运动到点停止时，点运动的路径为______；(2)若，．当点在边上运动时，求使得下列两个条件都成立的的取值范围：点始终在边上；点在某一位置时，点恰好与点重合．【答案】(1)①；②不能经过点，见解析；③(2)【分析】（1）①当时，为等腰直角三角形，从而得到也为等腰直角三角形，可以得到，即可求解．②假设经过点，可证明∽，有，然后设，，根据比例式建立二元一次方程，判断方程是否有符合条件的解，如无解，则说明不经过点，反之亦然．③先设为,然后用②中的比例关系表示出路径，求得取最大值时相应点所在的位置，再求出从该位置运动到点时点所运动的路径，然后把两个路径加起来就点共运动的路径；（2）设，根据（1）中的比例关系，求出关于的函数解析式，且的最大值小于等于，据此求出的取值范围；又根据和重合，得到、、均为直角三角形，然后根据勾股定理，建立关于的一元二次方程，相应，然后又可求出的取值范围，然后结合两个取值范围，最后可以求出的最终取值范围．【详解】（1）解：①∵∴∴又∵∴故的长为2．②假设过点，则有∵，∴，又∵，∴∽，∴，设，，则有整理得，该方程无解，不存在这样的，∴不能经过点．③根据②中，，设，，则有当时，有最大值，此时点为中点时，的运动路径为，如下图：当从中点运动到点时，如下图，，则的运动路径为∴运动的总路径为：故答案是．（2）解：由（1）可知，设，则当时，有最大值当点始终在线段上时，，则有∴，又，∴当在某位置时，点恰好与点重合，则、、均为直角三角形，在中，有，又∴整理得：∴又∴故的取值为时，题中两个条件才成立．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、二次函数的最值等知识点，利用相似建立函数关系是求解这道题的关键．18．（2023·江苏镇江·统考一模）如图1，在矩形中，，，E是边上的一点，连接，将矩形沿折叠，顶点D恰好落在边上的点F处，延长交的延长线于点G．(1)求线段的长；(2)求证四边形为菱形；(3)如图2，M，N分别是线段，上的动点（与端点不重合），且，设，是否存在这样的点N，使是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)3(2)见解析(3)存在；或2【分析】（1）根据矩形和折叠的性质，求出，由勾股定理求出的长，即可得的长，设，则，在中，，根据矩形的折叠与勾股定理即可求解；（2）根据（1）的结论分别求得，根据四边相等的四边形是菱形即可得证；（3）分和两种情况分别讨论即可求解．【详解】（1）解：如下图四边形是矩形，，∴，，，将矩形沿折叠，顶点D恰好落在边上的点F处，，在中，，，设，则，在中，，∴，解得：，；（2）证明：∵，，四边形是矩形，∴，，，，，在中，，，，四边形为菱形；（3）解：∵，，是直角三角形，设，则由（2）可得，，①当时，如下图，∴，，，，，，，，，，解得：，②当时，如下图，，，，，综上所述，或．【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，解直角三角形，菱形的判定，解题的关键是掌握相关的知识．19．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图①，在四边形中，，，，，．点在上，连接、、．(1)求的长；(2)探索：是否存在这样的点，使得平分、平分同时成立?若存在，求出的长；若不存在，说明理由；(3)如图②，与相交于点，过点作，与相交于点．设、的面积分别为、．若，求的长．【答案】(1)4(2)不存在，理由见解析(3)【分析】（1）如图1，过作于，则四边形是矩形，可得，在中，由勾股定理得求的值，进而可得的值；（2）如图2，过作交于，交于，则，，，，令平分，可证，在中，，由勾股定理得，则，进而可证，设，则，，证明，则，即，求得，则，证明，则，即，可得，则，若平分，则，即，判断，与矛盾，进而可得结论；（3）令中边上的高为，中边上的高为，证明，设，则，，，表示，，根据，解，求得满足要求的，则，如图3，过作交于，证明，则，即，解得，，证明，则，即，求出的值，进而可得的值，然后根据计算求解即可．【详解】（1）解：如图1，过作于，则四边形是矩形，∴，，∴，在中，由勾股定理得，∴，∴的长为4；（2）解：不存在，理由如下：如图2，过作交于，交于，∴，∴，，，∵平分，∴，∴，∴，在中，，由勾股定理得，∴，∴，∴，∴，∴，设，则，，∵，，∴，∴，即，解得，∴，∵，∴，∴，即，解得，∴，若平分，则，即，∵，与矛盾，∴不存在这样的点，使得平分、平分同时成立；（3）解：令中边上的高为，中边上的高为，∵，∴，，∴，设，则，∴，，∴，，∵，即，整理得，则，解得，（舍去），∴，如图3，过作交于，∴，∴，∴，即，∴，，∵，∴，∴，即，解得，∴，∴，∴的长为．【点睛】本题考查了矩形的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质，角平分线，等角对等边，正切等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．20．（2023·江苏扬州·模拟预测）已知和为等腰直角三角形，，，，将两三角形如图1所示放置，其中、、在同一直线上，．现将绕点顺时针旋转，旋转角度为．(1)如图2，当线段过点时，若，，则的度数为______；(2)若点在边的延长线上，连接，请在图3中补全图形，探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论；(3)若点为的中点，旋转至如图4所示位置，连接、交于点，交于点，且，请直接写出的值．【答案】(1)15°(2)作图见解析；，证明见解析(3)【分析】（1）过点D作于点H，则，证明是等腰直角三角形，则，得，由得到，则，可得，即可得到的度数；（2）过F作于H，过E作于G，结合K字型全等，等腰直角三角形，四点共圆即可得到答案；（3）过点C作的平行线，点F作的平行线交于点G；过点G作于点H，过点K作，证明，设，则，，结合勾股定理、相似三角形及解直角三角形的知识进行计算即可得到答案．【详解】（1）解：过点D作于点H，则，∵，，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，即的度数为，故答案为：（2）解：线段、、之间的数量关系：，证明如下：过F作于H，过E作于G，如图3：∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴点F、D、A、E四点共圆，∴，∵，∴和为等腰直角三角形，∴，，∴；（3）过点C作的平行线，点F作的平行线交于点G；过点G作于点H，过点K作于点I，如图4：∵是等腰直角三角形，点为的中点，∵，∴，即，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，由，设，则，；∴，∵，，∴四边形为平行四边形，∴，，∴为等腰直角三角形，∴，∴为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，∴，，，，∴，∴，∴，∴；在中，，∴，设，∴，在中，，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查等腰直角三角形的旋转变换，涉及全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识，中间穿插了不同的模型，对模型的运用与转化能力要求很高，难度较大，属于压轴题，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形或相似三角形．21．（2023·江苏扬州·一模）如图1，在中，，于点D，．(1)求；(2)当时，E为边上一点，连接，F为上一点，且．若，求的长；(3)如图，延长到点G，使，连接，则．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）如图1，利用直角三角形两内角互余，可以证得，又，所以，，设，则，代入到所求式子中，化简即可求得；（2）如图2，由（1）可得，当时，，由，可以证得，过F作于N，可以证得，由于直角中，，，利用勾股定理或三角函数，可以解直角，直角，直角，利用，可以证得，且相似比为，从而可以用x表示出和长，利用，列出比例式，即可求解；（3）由于，且题目要求的是，故可以构造一个“中线倍长”模型，即过G点作的垂线于H，先证明，再利用（1）中结论，设，接着分别表示出和长度，即可求解．【详解】（1）解：如图1，∵，∴，∵，∴，∴，又，∴，同理，，∵，∴，∴，设，则，，∴；（2）解：如图2，分别过E，F作的垂线，垂足分别为N，Q，过C作于D，∵，，∴，过C作于D，∴，∵，∴，，∴，，∴，设D，则，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，在直角中，，，∴，∴，∴，，∴，∴，∵，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，解得，∵，∴，∴；（3）解：如图3，过G作交其延长线于H，∴，在与中，，∴，∴，，由（1）可得，，∴设，则，∴，，∴，故答案为．【点睛】本题是一道三角形综合题目，注意利用已知条件去构造相似三角形，或者全等三角形是解决本题的关键，比如（2）中的线段比为1：2，可以利用此条件去构造相似，（3）中的中点条件，构造“中线”倍长模型，此题对学生的运算能力也有一定要求．22．（2023·江苏常州·统考一模）如图，在平行四边形中，，垂足为，平分，交线段于点．(1)如图1，延长到点，使得，连接．①若，则______°（用含有α的代数式表示）；②若，求证：．(2)如图2，延长到点，使得，连接．若，用等式表示线段，，之间的数量关系，直接写出结果（不需证明）．【答案】(1)①；②证明见解析(2)【分析】（1）①根据题意，由平行四边形性质得到，在中，，由直角三角形两锐角互余即可得到；②根据题意，证明，由全等三角形的性质可得出，，证出，则可得出结论；（2）如图所示，证明，得出，证出，由等腰三角形的判定可得出，即可得出结论．【详解】（1）解：①四边形是平行四边形，，，，垂足为，在中，，，则，故答案为：；②证明：∵四边形是平行四边形，∴，，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，，设，则，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：．证明：四边形是平行四边形，，，，，，，又，，，，，平分，，，，，，．【点睛】本题是几何证明综合题，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质以及全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．23．（2023·江苏淮安·统考一模）【背景】如图1，矩形中，，，、分别是、的中点，折叠矩形使点落在上的点处，折痕为．【操作】（1）用直尺和圆规在图1中的边上作出点（不写作法，保留作图痕迹）；【应用】（2）求的度数和的长；（3）如图2，若点是直线上的一个动点．连接，在左侧作等边三角形，连接，则的最小值是__________；【拓展】（4）如图3，若点是射线上的一个动点．将沿翻折，得，延长至，使，连接．当是直角三角形时，的长为多少？请直接写出答案：__________．【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4）4或6或8或12【分析】（1）连接，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧交于，两点，连接即为所求．（2）由折叠可知，再证明垂直平分，得到，则为等边三角形，得到，则；（3）如图所示，取中点，连接，，由直角三角形斜边上的直线的性质得到，则为等边三角形．证明，得到，则当时，有最小值，即有最小值，据此求解即可；（4）分如图4-1，4-2，4-3，4-4四种情况，分别求出对应的的长即可．【详解】解：（1）如图所示，即为所求；（2）由折叠可知，∵点，分别是，的中点，∴，，∴垂直平分，∴，∴为等边三角形，∴，∴，在中，；（3）如图所示，取中点，连接，，∵，为中点，∴．∵，∴，∴为等边三角形．∵为等边三角形，∴，．∴，即，∴，∴，∴当时，有最小值，即有最小值，∵，∴．∴的最小值为，故答案为：；（4）如图4-1所示，当时，在射线上时，此时点与点重合，∴；如图4-2所示，当时，此时点T与点A重合，由折叠的性质可得，∴，∴；如图4-2所示，当时，由折叠的性质可得，∴，∴，∴，∴；如图4-4所示，当时，∵，∴四边形是平行四边形，∴，由折叠的性质可得，∴，∴四点共圆，∴，∴，∴，∴；综上所述，当是直角三角形时，的长为4或6或8或12，故答案为：4或6或8或12．【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，圆周角定理，平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．24．（2023·江苏无锡·模拟预测）问题提出：已知矩形，点为上的一点，，交于点．将绕点顺时针旋转得到，则与有怎样的数量关系．【问题探究】探究一：如图，已知正方形，点为上的一点，，交于点．（1）如图1，直接写出的值；（2）将绕点顺时针旋转到如图所示的位置，连接、，猜想与的数量关系，并证明你的结论；探究二：如图，已知矩形，点为上的一点，，交于点．如图3，若四边形为矩形，，将绕点顺时针旋转得到、的对应点分别为、点，连接、，则的值是否随着的变化而变化．若变化，请说明变化情况；若不变，请求出的值．【一般规律】如图3，若四边形为矩形，，其它条件都不变，将绕点顺时针旋转得到，连接，，请直接写出与的数量关系．【答案】[问题探究]探究一：(1)；(2)，证明见解析；探究二：．[一般规律]【分析】探究一（1）由正方形的性质和等腰直角三角形的性质即可得解；（2）由（1）的结论即旋转的性质证明，则，即可得到答案；探究二：证明，得到，由绕点B顺时针旋转得到，则，再证明，则，即可得到答案；一般规律：同探究二，在中，，证明，得到，即可得到结论；【详解】[问题探究]探究一（1）是正方形的对角线，，，，，，，故答案为：；（2），理由：由（1）知，，，，由旋转知，，，，；探究二：四边形为矩形，，，，，，绕点顺时针旋转得到即；一般规律如图，四边形为矩形，，，，，，，绕点顺时针旋转得到，，，，，即．【点睛】本题主要考查了旋转的性质、矩形和正方形的性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是利用相似比表示线段之间的关系．25．（2023·江苏徐州·统考一模）综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断：操作一：如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；操作二：如图1，在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接，．根据以上操作，当点M在上时，写出图1中一个的角：______（写一个即可）．(2)迁移探究：小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接．①如图2，当点M在上时，______，______；②如图3，改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），判断与的数量关系，并说明理由．(3)拓展应用：在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为10cm，当cm时，直接写出的长．【答案】(1)(2)①②，理由见解析(3)或【分析】（1）根据折叠的性质，得，结合矩形的性质得，进而可得；（2）①根据折叠的性质，可证，即可求解，②根据折叠的性质，可证，即可求解；（3）由（2）可得，分两种情况：当点Q在点F的下方时，当点Q在点F的上方时，设分别表示出，由勾股定理即可求解．【详解】（1）解：，，，，，，，；（2）∵四边形是正方形∴，，由折叠性质得：，，∴；①，∴，，，；故答案为：；②，理由如下：∴；（3）当点Q在点F的下方时，如图，，，，由（2）可知，，设，即，解得：，∴；当点Q在点F的上方时，如图，，cm，cm，由（2）可知，，设，即，解得：，∴．综上：或．【点睛】本题主要考查矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、三角形的全等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．26．（2023·江苏苏州·一模）【教材再现】在初中数学教材中有这样一个基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．如图1，直线，直线m和直线n分别与直线和直线相交于点A，点B，点F，点D，直线m和直线n相交于点E，则；【探究发现】如图2，在中，，，点D在边上（不与点B，点C重合），连接，点E在边上，．(1)求证：；(2)当时，直接写出的长；(3)点H在射线AC上，连接EH交线段于点G，当，且时，直接写出的值．【答案】(1)见解析(2)(3)或【分析】（1）过点作交的延长线于点，先证明，再由可推得；（2）作于点，先证明，得到，再证明四边形是矩形，得，可求出的长，再由勾股定理求出的长；（3）分两种情况，即点在线段上和点在线段