2023年二轮复习解答题专题十六：与圆有关的弧长计算(原卷版+解析)

2023年二轮复习解答题专题十六：与圆有关的弧长计算典例分析例1（2022福建中考）如图，△ABC内接于⊙O，交⊙O于点D，交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF．（1）求证：AC＝AF；（2）若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长（结果保留π）．专题过关1．（2022绍兴中考）如图，半径为6的⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点A，交边BC于点C，D，∠B=90°，连接OD，AD．（1）若∠ACB=20°，求的长（结果保留）．（2）求证：AD平分∠BDO．2.（2022邵阳中考）如图，已知是的直径，点为延长线上一点，是的切线，点为切点，且．（1）求的度数；（2）若的半径为3，求圆弧的长．3.（2022泰州中考）如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB=7，EF=10，BC＞5.点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒（1）如图2，当t=2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；（2）在点B运动的过程中，当AD、BC都与半圆O相交，设这两个交点为G、H连接OG，OH.若∠GOH为直角，求此时t的值.4.（2022深圳中考）一个玻璃球体近似半圆为直径，半圆上点处有个吊灯的中点为（1）如图①，为一条拉线，在上，求长度．（2）如图②，一个玻璃镜与圆相切，为切点，为上一点，为入射光线，为反射光线，求的长度．（3）如图③，是线段上的动点，为入射光线，为反射光线交圆于点在从运动到的过程中，求点的运动路径长．5.（2022河南西华二模）如图，已知内接于，AB为直径，点D在上，，作直线CF切于点C，与DB的延长线交于点E．（1）求证：；（2）若，，填空：①_______．②劣弧的长为_______．6.（2022河南长垣二模）如图，在中，，以AB为直径作交BC于点D，交AC于点E．用直尺和圆规按下列步骤作图：（i）以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AB，AC于点M，N；（ii）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，作射线AP，射线AP恰好经过点D．（1）证明：．（2）①连接OD，DE，请你添加一个条件，使四边形AODE是菱形，并证明；②在①的条件下，求的长．7.（2022河南夏邑一模）如图1展示的是曲柄连杆运动的示意图（1-曲柄，2-连杆，3-摇杆，4-机架），滑块C在弧形滑槽内运动，通过连杆带动点B绕点A做圆周运动．某数学兴趣小组利用示意图，构建了数学模型．如图2，点C在上运动，利用连杆，使得点B在上运动．（1）如图3，点C运动到这一时刻时，连接交于点M，连接．请判断此时与的位置关系，并说明理由．（2）若点C在上运动一个来回，则点B恰好绕点A运动一周，若，请求出的度数．8.（2022商丘二模）请阅读下列材料，并完成相应的任务．战国时的《墨经》就有“圆，一中同长也”的记载．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．下面是弦切角定理的部分证明过程：证明：如图1，与相切于点A．当圆心O在弦上时，容易得到，所以弦切角．如图2，与相切于点A．当圆心O在的外部时，过点A作直径交于点F，连接．∵是直径，∴，∴，∵与相切于点A，∴，∴；∴．（1）如图3，与相切于点A，当圆心O在的内部时，过点A作直径交于点D，在上任取一点E，连接，求证：；（2）如图3，已知的半径为1，弦切角，求的长．9.（2022许昌一模）张老师在复习《圆》的内容时，用投影屏幕展示出如下内容：已知，AB为半圆O的直径，点C为半圆O上任一点．张老师让同学们根据题意画出图形，添加条件后，编制一道题目，并给出解答．以下是小亮和小颖的对话：小亮：我画的图形如图，过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于点D．连接OC，AC，BC，若∠A＝30°，则图形中存在全等的三角形；小颖：我在半圆O上找一点E，且满足以点A，O，C，E为顶点的四边形为菱形，若AB＝2，可求出的长为；小亮：小颖的答案是有问题的．参考上面对话，完成以下任务：（1）请写出图中所有的全等三角形，并对其中一对给出证明；（2）填空：小颖编制的题目中的长应为______．10.（2021丽水中考）如图，在中，，以为直径的半圆O交于点D，过点D作半圆O的切线，交于点E．（1）求证：；（2）若，求的长．11．（2021金华中考）（10分）在扇形AOB中，半径OA＝6，点P在OA上，连结PB，将△OBP沿PB折叠得到△O′BP．（1）如图1，若∠O＝75°，且BO′与所在的圆相切于点B．①求∠APO′的度数．②求AP的长．（2）如图2，BO′与相交于点D，若点D为的中点，且PD∥OB，求的长．12．（2021宜昌中考）（8分）如图，在菱形ABCD中，O是对角线BD上一点（BO＞DO），OE⊥AB，垂足为E，以OE为半径的⊙O分别交DC于点H，交EO的延长线于点F，EF与DC交于点G．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若G是OF的中点，OG＝2，DG＝1．①求的长；②求AD的长．13．（2021河北中考）（9分）如图，⊙O的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为An（n为1～12的整数），过点A7作⊙O的切线交A1A11延长线于点P．（1）通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长；（2）连接A7A11，则A7A11和PA1有什么特殊位置关系？请简要说明理由；（3）求切线长PA7的值．14.（2021百色中考）据国际田联《田径场地设施标准手册》，400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成，有8条跑道，每条跑道宽1.2米，直道长87米；跑道的弯道是半圆形，环形跑道第一圈（最内圈）弯道半径为35.00米到38.00米之间．某校据国际田联标准和学校场地实际，建成第一圈弯道半径为36米的标准跑道．小王同学计算了各圈的长：第一圈长：87×2＋2π（36＋1.2×0）≈400（米）；第二圈长：87×2＋2π（36＋1.2×1）≈408（米）；第三圈长：87×2＋2π（36＋12×2）≈415（米）；……请问：（1）第三圈半圆形弯道长比第一圈半圆形弯道长多多少米？小王计算的第八圈长是多少？（2）小王紧靠第一圈边线逆时针跑步、邓教练紧靠第三圈边线顺时针骑自行车（均以所靠边线长计路程），在如图的起跑线同时出发，经过20秒两人在直道第一次相遇．若邓教练平均速度是小王平均速度的2倍，求他们的平均速度各是多少？（注：在同侧直道，过两人所在点的直线与跑道边线垂直时，称两人直道相遇）2023年二轮复习解答题专题十六：与圆有关的弧长计算典例分析例1（2022福建中考）如图，△ABC内接于⊙O，交⊙O于点D，交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF．（1）求证：AC＝AF；（2）若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长（结果保留π）．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）先证明四边形ABED是平行四边形，得∠B＝∠D，再证明即可得到结论；（2）连接OA，OC,根据等腰三角形的性质求出，由圆周角定理可得最后由弧长公式可求出结论．【小问1详解】∵，，∴四边形ABED是平行四边形，∴∠B＝∠D．又∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，∴，∴AC＝AF．【小问2详解】连接AO，CO．由（1）得∠AFC＝∠ACF，又∵∠CAF＝30°，∴，∴．∴的长．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，圆周角定理、等腰三角形的性质、弧长公式等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．专题过关1．（2022绍兴中考）如图，半径为6的⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点A，交边BC于点C，D，∠B=90°，连接OD，AD．（1）若∠ACB=20°，求的长（结果保留）．（2）求证：AD平分∠BDO．【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）连接，由，得，由弧长公式即得的长为；（2）根据切于点，，可得，有，而，即可得，从而平分．【小问1详解】解：连接OA，∵∠ACB＝20°，∴∠AOD＝40°，∴，．【小问2详解】证明：，，切于点，，，，，，平分．【点睛】本题考查与圆有关的计算及圆的性质，解题的关键是掌握弧长公式及圆的切线的性质．2.（2022邵阳中考）如图，已知是的直径，点为延长线上一点，是的切线，点为切点，且．（1）求的度数；（2）若的半径为3，求圆弧的长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）证明是等边三角形，得到，从而计算出的度数；（2）计算出圆弧的圆心角，根据圆弧弧长公式计算出最终的答案．【小问1详解】如下图，连接AO∵是的切线∴∴∵∴∵∴∴∴∴是等边三角形∴∵∴【小问2详解】∵∴圆弧的长为：∴圆弧的长为．【点睛】本题考查全等三角形、等腰三角形、等边三角形和圆的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形、等腰三角形、等边三角形和圆的相关知识．3.（2022泰州中考）如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB=7，EF=10，BC＞5.点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒（1）如图2，当t=2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；（2）在点B运动的过程中，当AD、BC都与半圆O相交，设这两个交点为G、H连接OG，OH.若∠GOH为直角，求此时t的值.【答案】（1）（2）8或9秒【解析】【分析】(1)通过计算当t=2.5时EB=BO，进而得到△MBE≌△MBO，判断出△MEO为等边三角形得到∠EOM=60°，然后根据弧长公式求解；(2)通过判定△GAO≌△HBO，然后利用全等三角形的性质分析求解．【小问1详解】解：设BC与⊙O交于点M，如下图所示：当t=2.5时，BE=2.5，∵EF=10，∴OE=EF=5，∴OB=2.5，∴EB=OB，在正方形ABCD中，∠EBM=∠OBM=90°，且MB=MB，∴△MBE≌△MBO(SAS)，∴ME=MO，∴ME=EO=MO，∴△MOE是等边三角形，∴∠EOM=60°，∴．【小问2详解】解：连接GO和HO，如下图所示：∵∠GOH=90°，∴∠AOG+∠BOH=90°，∵∠AOG+∠AGO=90°，∴∠AGO=∠BOH，在△AGO和△OBH中，，∴△AGO≌△BOH(AAS)，∴AG=OB=BE-EO=t-5，∵AB=7，∴AE=BE-AB=t-7，∴AO=EO-AE=5-(t-7)=12-t，在Rt△AGO中，AG2+AO2=OG2，∴(t-5)2+(12-t)2=52，解得：t1=8，t2=9，即t的值为8或9秒．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，弧长公式的计算，勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定(一线三垂直模型)，结合勾股定理列方程是解题关键．4.（2022深圳中考）一个玻璃球体近似半圆为直径，半圆上点处有个吊灯的中点为（1）如图①，为一条拉线，在上，求长度．（2）如图②，一个玻璃镜与圆相切，为切点，为上一点，为入射光线，为反射光线，求的长度．（3）如图③，是线段上的动点，为入射光线，为反射光线交圆于点在从运动到的过程中，求点的运动路径长．【答案】（1）2（2）（3）【解析】【分析】（1）由，可得出为的中位线，可得出D为中点，即可得出的长度；（2）过N点作，交于点D，可得出为等腰直角三角形，根据,可得出，设，则，根据，即可求得，再根据勾股定理即可得出答案；（3）依题意得出点N路径长为：，推导得出，即可计算给出，即可得出答案．【小问1详解】∵∴为的中位线∴D为的中点∵∴【小问2详解】过N点作，交于点D，∵，∴为等腰直角三角形，即，又∵，∴，∴，∴，设，则，∵，∴，解得，∴，，∴在中，；【小问3详解】如图，当点M与点O重合时，点N也与点O重合．当点M运动至点A时，点N运动至点T，故点N路径长为：．∵．∴．∴．∴，∴，∴N点的运动路径长为：，故答案为：．【点睛】本题考查了圆的性质，弧长公式、勾股定理、中位线，利用锐角三角函数值解三角函数，掌握以上知识，并能灵活运用是解题的关键．5.（2022河南西华二模）如图，已知内接于，AB为直径，点D在上，，作直线CF切于点C，与DB的延长线交于点E．（1）求证：；（2）若，，填空：①_______．②劣弧的长为_______．【答案】（1）证明见解析（2）①6；②【解析】【分析】（1）如图，连接，延长交于，由等边对等角得，由三角形的内角和定理与三角形外角的性质可知，，由可知，则，，由圆周角定理可得，对等角相等可知，则，，进而结论得证；（2）①由同弧所对的圆周角相等可知，在含30°的直角三角形中，由可得，则，由，，在含30°的直角三角形中可得；②由可知的半径为4，由（1）可知，根据计算求解即可．【小问1详解】证明：如图，连接，延长交于∵∴∴，∵∴∴∴∴∴∴∴∵∴．【小问2详解】①解：∵，∴∵∴在中，∴∵，∴故答案为：6．②解：∵∴的半径为4由（1）可知故答案为：．【点睛】本题考查了切线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，对顶角，含30°的直角三角形，弧长等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．6.（2022河南长垣二模）如图，在中，，以AB为直径作交BC于点D，交AC于点E．用直尺和圆规按下列步骤作图：（i）以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AB，AC于点M，N；（ii）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，作射线AP，射线AP恰好经过点D．（1）证明：．（2）①连接OD，DE，请你添加一个条件，使四边形AODE是菱形，并证明；②在①的条件下，求的长．【答案】（1）见解析；（2）①添加的条件是，理由见解析；②．【解析】【分析】（1）由作图的步骤可知，AP平分∠BAC，知∠BAD＝∠CAD，AB是的直径，由直径所对的圆周角是直角可证∠ADB＝90°，∠ADB＝∠ADC＝90°，AD是公共边，即可证明（ASA）；（2）①添加的条件是，先证明△OAE是等边三角形，得AE＝OA，可得AE＝DE，进而得到OD＝OA＝AE＝DE，结论得证；②由直径AB先求得半径的长，再求得圆心角∠BOE的度数，运用弧长公式即可求得的长．【小问1详解】证明：由作图的步骤可知，AP平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵AB是的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC＝180°－∠ADB＝90°，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在△ADB和△ADC中，，∴（ASA）；【小问2详解】解：①如图所示，可以添加的条件是，理由如下：∵AP平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴，∵，∴，∴∠AOE＝∠DOE＝∠BOD＝×180°＝60°，∵OA＝OE，∴△OAE是等边三角形，∴AE＝OA，∵，∴AE＝DE，∴OD＝OA＝AE＝DE，∴四边形AODE是菱形；②∵AB＝4，∴OB＝OE＝AB＝2，∵∠DOE＝∠DOB＝60°，∴∠BOE＝∠DOE＋∠DOB＝60°＋60°＝120°，∴长＝，∴的长为．【点睛】此题考查了圆周角定理、弧和圆心角之间关系、弧长公式、菱形的判定、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定等，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键．7.（2022河南夏邑一模）如图1展示的是曲柄连杆运动的示意图（1-曲柄，2-连杆，3-摇杆，4-机架），滑块C在弧形滑槽内运动，通过连杆带动点B绕点A做圆周运动．某数学兴趣小组利用示意图，构建了数学模型．如图2，点C在上运动，利用连杆，使得点B在上运动．（1）如图3，点C运动到这一时刻时，连接交于点M，连接．请判断此时与的位置关系，并说明理由．（2）若点C在上运动一个来回，则点B恰好绕点A运动一周，若，请求出的度数．【答案】（1）与相切，理由见解析（2）的度数为【解析】【分析】（1）先证明∠AMB=∠ABM，即可证明∠ABC=∠ABM+∠MBC=∠AMB+∠MBC=∠MBC+∠ACB+∠MBC=90°，由此即可得到结论；（2）由题意得点B和点C的运动路程是一样的，设AB=m，则CD=3m，设∠FDG=n°，则点B运动一周的路程为，点C运动的路程为，由此求解即可．【小问1详解】解：与相切，理由如下：∵AB=AM，∴∠AMB=∠ABM，∴∠ABC=∠ABM+∠MBC=∠AMB+∠MBC=∠MBC+∠ACB+∠MBC=90°，∴与相切；【小问2详解】解：由题意得点B和点C的运动路程是一样的，设AB=m，则CD=3m，设∠FDG=n°，∴点B运动一周的路程为，点C运动的路程为，∴，∴，∴∠FDG=60°．【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，求弧长，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，正确理解题意是解题的关键．8.（2022商丘二模）请阅读下列材料，并完成相应的任务．战国时的《墨经》就有“圆，一中同长也”的记载．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．下面是弦切角定理的部分证明过程：证明：如图1，与相切于点A．当圆心O在弦上时，容易得到，所以弦切角．如图2，与相切于点A．当圆心O在的外部时，过点A作直径交于点F，连接．∵是直径，∴，∴，∵与相切于点A，∴，∴；∴．（1）如图3，与相切于点A，当圆心O在的内部时，过点A作直径交于点D，在上任取一点E，连接，求证：；（2）如图3，已知的半径为1，弦切角，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据直径的性质及切线的特点即可求解；（2）先求出的圆心角度数，利用弧长公式即可求解．【详解】（1）∵是的直径∴∠DEA=90°∵与相切于点A，∴∠DAB=90°∵∠CED=∠CAD∴∠CED+∠DEA=∠CAD+∠DAB∴（2）如图，连接CO∵∴∴∴的长==．【点睛】此题主要考查切线的性质与弧长的求解，解题的关键是熟知切线的性质定理、弧长公式的运用．9.（2022许昌一模）张老师在复习《圆》的内容时，用投影屏幕展示出如下内容：已知，AB为半圆O的直径，点C为半圆O上任一点．张老师让同学们根据题意画出图形，添加条件后，编制一道题目，并给出解答．以下是小亮和小颖的对话：小亮：我画的图形如图，过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于点D．连接OC，AC，BC，若∠A＝30°，则图形中存在全等的三角形；小颖：我在半圆O上找一点E，且满足以点A，O，C，E为顶点的四边形为菱形，若AB＝2，可求出的长为；小亮：小颖的答案是有问题的．参考上面对话，完成以下任务：（1）请写出图中所有的全等三角形，并对其中一对给出证明；（2）填空：小颖编制的题目中的长应为______．【答案】（1）△AOC≌△DBC，△ACB≌△DCO．证明见解析（2）或【解析】【分析】（1）结合图形解答小明给出的题目：由切线性质得∠DCO＝90°，由圆周角定理得∠ACB＝90°，再证明△OBC为等边三角形，再证三角形全等即可；（2）分当四边形AOCE为菱形时及当四边形AOEC为菱形时两种情况进行讨论；【小问1详解】解：△AOC≌△DBC，△ACB≌△DCO．证明△ACB≌△DCO，过程如下：∵CD是⊙O的切线，∴∠DCO＝90°，∵AB是⊙O是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DCO∵∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，又OB＝OC，∴△OBC为等边三角形，∴OC＝BC，∠ABC＝∠DOC＝60°，在△ACB和△DCO中，∴△ACB≌△DCO（ASA）【小问2详解】如图1，当四边形AOCE为菱形时，∵四边形AOCE为菱形，∴OA=AE，∵OE=OA，∴OE=OA=AE，∴△AEO为等边三角形，∴∠AOE＝60°，∴∠COE＝∠AOE＝60°，∴∠BOC＝60°，∵AB＝2，∴OB=1,∴，如图2，当四边形AOEC为菱形时，∵四边形AOEC为菱形，∴OA=AC，∵OC=OA，∴OC=OA=AC，∴△ACO为等边三角形，∴∠AOC＝60°，∴∠BOC＝120°，∵AB＝2，∴OB=1∴，故答案为：或【点睛】本题考查的是切线的性质及菱形性质、弧长公式，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．10.（2021丽水中考）如图，在中，，以为直径的半圆O交于点D，过点D作半圆O的切线，交于点E．（1）求证：；（2）若，求的长．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）连结，利用圆的切线性质，间接证明：，再根据条件中：且，即能证明：；（2）由（1）可以证明：为直角三角形，由勾股定求出的长，求出，可得到的度数，从而说明为等边三角形，再根据边之间的关系及弦长所对应的圆周角及圆心角之间的关系，求出，半径,最后根据弧长公式即可求解．【详解】解：（1）证明：如图，连结．与相切，．是圆的直径，．．．．．（2）由（1）可知，，，，，是等边三角形．,，．【点睛】本题考查了圆的切线的性质、解直角三角形、勾股定理、圆心角和圆周角之间的关系、弧长公式等知识点，解本题第二问的关键是：熟练掌握等边三角形判定与性质.11．（2021金华中考）（10分）在扇形AOB中，半径OA＝6，点P在OA上，连结PB，将△OBP沿PB折叠得到△O′BP．（1）如图1，若∠O＝75°，且BO′与所在的圆相切于点B．①求∠APO′的度数．②求AP的长．（2）如图2，BO′与相交于点D，若点D为的中点，且PD∥OB，求的长．【分析】（1）①利用三角形内角和定理求解即可。②如图1中，过点B作BH⊥OA于H,在BH上取一点F,使得OF＝FB,连接OF．想办法求出OH,PH,可得结论。（2）如图2中，连接AD,OD．证明∠AOB＝72°可得结论。【解答】解：（1）①如图1中，∵BO′是⊙O的切线，∴∠OBO′＝90°,由翻折的性质可知，∠OBP＝∠PBO′＝45°,∠OPB＝∠BPO′,∵∠AOB＝75°,∴∠OPB＝∠BPO′＝180°﹣75°﹣45°＝60°,∴∠OPO′＝120°,∴∠APO′＝180°﹣∠OPO′＝180°﹣120°＝60°．②如图1中，过点B作BH⊥OA于H,在BH上取一点F,使得OF＝FB,连接OF．∵∠BHO＝90°,∴∠OBH＝90°﹣∠BOH＝15°,∵FO＝FB,∴∠FOB＝∠FBO＝15°,∴∠OFH＝∠FOB+∠FBO＝30°,设OH＝m,则HF＝m,OF＝FB＝2m,∵OB2＝OH2+BH2,∴62＝m2+(m+2m)2,∴m＝或﹣（舍弃），∴OH＝,BH＝,在Rt△PBH中，PH＝＝,∴PA＝OA﹣OH﹣PH＝6﹣﹣＝6﹣2．(2)如图2中，连接AD,OD．∵＝,∴AD＝BD,∠AOD＝∠BOD,由翻折的旋转可知，∠OBP＝∠PBD,∵PD∥OB,∴∠DPB＝∠OBP,∴∠DPB＝∠PBD,∴DP＝DB＝AD,∴∠DAP＝∠APD＝∠AOB,∵AO＝OD＝OB,AD＝DB,∴△AOD≌△BOD,∴∠OBD＝∠OAD＝∠AOB＝2∠BOD,∵OB＝OD,∴∠OBD＝∠ODB＝2∠DOB,∴∠DOB＝36°,∴∠AOB＝72°，∴的长＝＝。12．（2021宜昌中考）（8分）如图，在菱形ABCD中，O是对角线BD上一点（BO＞DO），OE⊥AB，垂足为E，以OE为半径的⊙O分别交DC于点H，交EO的延长线于点F，EF与DC交于点G．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若G是OF的中点，OG＝2，DG＝1．①求的长；②求AD的长．【分析】（1）过点O作OM⊥BC于点M，证明OM＝OE即可；（2）①先求出∠HOE＝120°，再求出OH＝4，代入弧长公式即可；②过A作AN⊥BD，由△DOG∽△DAN，对应边成比例求出AD的长．【解答】解：（1）证明：如图1，过点O作OM⊥BC于点M，∵BD是菱形ABCD的对角线，∴∠ABD＝∠CBD，∵OM⊥BC，OE⊥AB，∴OE＝OM，∴BC是⊙O的切线．（2）①如图2，∵G是OF的中点，OF＝OH，∴OG＝OH，∵AB∥CD，OE⊥AB，∴OF⊥CD，∴∠OGH＝90°，∴sin∠GHO＝，∴∠GHO＝30°，∴∠GOH＝60°，∴∠HOE＝120°，∵OG＝2，∴OH＝4，∴由弧长公式得到的长：＝．②如图3，过A作AN⊥BD于点N，∵DG＝1，OG＝2，OE＝OH＝4，∴OD＝，OB＝2，DN＝，∴△DOG∽△DAN，∴，∴，∴AD＝．13．（2021河北中考）（9分）如图，⊙O的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为An（n为1～12的整数），过点A7作⊙O的切线交A1A11延长线于点P．（1）通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长；（