2024-2025学年七年级数学上册 有理数混合运算的四种考法（北师大版）

专题04有理数混合运算的四种考法

类型一、含乘方与绝对值的混合运算

3

例L-32X(1.2)2+x(-6)2

34961

【答案一而

【分析】先计算乘方，再进行加减运算.

【详解】解：-32X(1.2)

27

…至+x36

25iboo

324274

2510003

34961

3000

【点睛】本题考查含乘方的有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则并正确计算.

例2.计算：-|-5|x6-(-3)2+

【答案】20

【分析】按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法的运算顺序求解即可.

【详解】解：原式=-5x6-9十

=8-6-9x(-2)

=8-6+18

=20.

【点睛】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键.

2

【变式训练1】计算：-23+|-5|-18X

【答案】-5

【分析】根据有理数的乘方运算可进行求解.

【详解】解：原式=-8+5-18x(

=-8+5-2

=-5.

【点睛】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，熟练掌握有理数的乘方运算是解题的关键.

【变式训练2】计算：卜2，|4-X-+125%

3

【答案】2

【分析】先算乘方和绝对值，再算乘除，最后算加减，按这个运算顺序计算即可.

【详解】解：|-24|4-X-+125%

3

【点睛】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算顺序和运算法则是

解题的关键.

【变式训练3】计算：-32+gx[2+(-2)]-3+

【答案】-1

【分析】根据有理数的混合运算法则进行计算即可.

【详解】解：-32+|X[2+(-2)3]-3<^-^

=-9+|x(-6)+3x4

=-9-4+12=一1.

【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键.

【变式训练4】计算：-32X-|+(-1)2023-5+^-1^

【答案】-9：

4

【分析】先根据平方运算、绝对值运算、(-1)"计算，再由有理数加减运算法则求解即可得

到答案.

【详解】解:-32x—|+(-1)2°23-5+^-^

=—9X——1—5—=—2—1—5—=—I2+1+5H—|=-9一.

【点睛】本题考查有理数加减混合运算，涉及平方运算、绝对值运算、(-1)”计算，熟练掌

握相关运算法则是解决问题的关键.

类型二、简便运算问题

例L用简便算法计算:

24

（1）49—x（-5）

⑵—xl75+(—25)x0.125-

8

4

【答案】（1）-249寸（2）25

【分析】（1）将49||改写为150-。；再用乘法分配律进行计算即可;

（2）将0.125改写为:，再根据乘法分配律的逆用，进行计算即可.

O

【详解】（1）解：原式=卜0-＞＜（-5）

(2)解：原式=—xl75+(-25)x—+—x50

888

=-x(175-25+50)

8'7

=-x200

8

=25.

【点睛】本题主要考查了有理数的简便运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序

和运算法则，加法运算律和乘法运算律在有理数范围依然适用.

例2.计算：（-24）x'g+：一；）

【答案】15

【分析】根据有理数的混合运算法则，通过有理数的简便计算即可求出答案.

137

【详解】解：原式=（一24）*（_/）+（-24）义7-（-24）＞＜可

=12-18+21

=15

故答案为：15.

【点睛】本题考查了用有理数的乘法分配律的简便运算解出答案.是否能熟练掌握分配律的

简便计算是解这题的技巧.

【变式训练1]用简便方法计算下列各题:

24

(1)49—x5.

4

【答案】(1)249§；(2)3

24(24、(24、24

【分析】(1)根据题意49玄x5=49+Xx5,再根据乘法分配律49+数x5=245+—即

乙J\乙JJk乙J)J

可解答；

(2)先将=-g-t[x再利用乘法分配律即可解答.

?4

【详解】(1)解:49||X5

49+||)x5

=49x5+—x5

25

4

=249—；

5

【点睛】本题考查了有理数的混合运算法则，有理数乘法的分配律，熟记有理数乘法的分配

律是解题的关键.

【变式训练2】计算：d

(4y1ZyJoy

【答案】26

【分析】先将除法转换成乘法，然后根据利用乘法分配律计算即可.

=27+20-21=26.

【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则及运算律是解题关键.

【变式训练3】简便计算

7R

(l)(-3.85)x(-13)+(-13)x(-6.15)+0.79x—+—xO.79

(2)卜吗.+卜6|卜卜卜19625+76卜5

⑶91"-36)

【答案】(1)130.79

(2)-28

(3)-33111

⑷一29

78

【详解】(1)(-3.85)x(-13)+(-13)x(-6.15)+0.79x—+—x0.79

=(-13)x[(-3.85)+(-6.15)]+0.79x^+^

=(-13)x(-10)+0.79xl

=130+0.79

=130.79

⑵1吗/，-6|卜：+，19625+76宗5

=f-13->|x-+f-6->|xl+L196-^x-+76-x-

[3)5I3)5I7)575

=[一13：)+[一6|)+1一196,+76"x!

=[(-20)+(-120)]x|

=(-140)x1

=-28

71

(3)91—x(-36)

72v7

92-曰x(一36)

=92X(-36)-^X(-36)

=-3312+-

2

=-3311-

2

=-28-1

=-29

【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键.混合

运算的顺序是先算乘除，后算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算.如果有括号，先算

括号里面的，并按小括号、中括号、大括号的顺序进行.有时也可以根据运算定律改变运算

的顺序.

类型三、实际应用

例.2019年国庆，全国从1日到7日放假七天，各地景区游人如织，其中大同云冈石窟景

区，在9月30日的游客人数为0.9万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如下表（正

数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）.

10月I10月210月310月410月510月610月7

日期

日日日日日日日

人数变化（万

+3.1+1.78-0.58-0.8-1-1.6-1.15

人）

（1）10月3日的人数为万人.

（2）七天假期里，游客人数最多的是哪天，多少万人？

（3）请问大同云冈石窟风景区在这七天内一共接待了多少游客？

【答案】（1）5.2；（2）人数最多的是10月2日，达到5.78万人；（3）25.23万人

【分析】（1）将0.9加上10月1,2,3的变化量可求解；

（2）分别计算每天的游客数量即可求解；

（3）将每天的变化量的绝对值相加可求解总游客数.

【详解】解：（1）0.9+3.1+1.78-0.58=5.2（万人），

故10月3日的人数为5.2万人；

故答案为5.2；

（2）10月1日游客人数为：0.9+3.1=4（万人）;

10月2日游客人数为：4+1.78=5.78（万人）;

10月3日游客人数为：5.78-0.58=5.2（万人）；

10月4日游客人数为：5.2-0.8=4.4（万人）；

10月5日游客人数为：4.4-1=3.4（万人）；

10月6日游客人数为：341.6=1.8（万人）；

10月7日游客人数为：1.8-1.15=0.65（万人）；

故七天假期里，游客人数最多的是10月2日，达到5.78万人；

（3）4+5.78+5.2+4.4+3.4+1.8+0.65=25.23（万人），

答：大同云冈石窟风景区在这七天内一共接待了25.23万游客.

【点睛】本题主要考查有理数的加减法混合运算，读懂题意是解题的关键.

【变式训练1】小明的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具210个，

平均每天生产30个，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入。下表是小明

妈妈某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）

星期一二三四五六日

增减产量+10-12-4+8-1+60

（1）根据记录的数据，小明妈妈星期三生产玩具个，本周实际生产玩具个.

（2）该厂实行“每日计件工资制"，每生产一个玩具可得工资5元，若超额完成任务，则超

过部分每个另奖3元；少生产一个则倒扣2元，那么小明妈妈这一周的工资总额是多少元？

（3）若将上面第（2）问中"实行每日计件工资制"改为"实行每周计件工资制"，其他条件不

变，在此方式下小明妈妈这一周的工资与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由.

【答案】（1）26；217；（2）1123元；（3）每日计件工资更多，理由见解析.

【分析】（1）用表中周三数据加上计划平均每天生产量，即得周三玩具生产量；表中每天增

减产量相加的和，再加上周规定生产量即得周实际生产量.

（2）把表中每天增减产量正的之和乘以3,负的之和乘以2,把它们相加的和再加上周实

际生产量乘以5,即得小明妈妈这一周的工资总额.

（3）先计算出实行每周计件工资制情况下小明妈妈的周工资与（2）中计算的实行每日计件

工资制下小明妈妈的周工资相比较可得一一每日计件工资更多.

【详解】（1）30-4=26

二小明妈妈星期三生产玩具26个，

（+10）+（-12）+（T）+（+8）+（-1）+（+6）+0

=10-12-4+8-1+6=7

.-.210+7=217（个），

故本周实际生产玩具217个，

故答案为：26,217.

(2)217x5+(10+8+6)x3+(12+4+l)x(-2)=1123(元)

答：小明妈妈这一周的工资总额是1123元

(3)217x5+7x3=1106元，

每周计件一周得1106元，

因为H23>1106,所以每日计件工资更多.

【点睛】本题考查有理数加减混合运算的实际应用.其关键是审清题意，弄准确其中正负数

及0的含义，才能列出正确算式.

【变式训练2】杭州市出租车的收费标准如下：3千米以内(含3千米)收费11元，超过3

千米的部分每千米收费2元.超过起步里程10千米以上的部分加收50%,即每千米3元(不

足1千米以1千米计算).

(1)小明有一次乘坐出租车行驶4.1千米，他应付车费多少元？

(2)若小明乘坐出租车行驶14.9千米，他应付车费多少元？

(3)小明家距离学校13.1千米，他带了31元钱，则他从学校坐出租车到家，钱够吗？如

果够，还剩多少钱？如果不够，他至少要先走多少千米的路？

【答案】(1)15；(2)37；(3)小明带的钱不够乘坐13.1千米，他至少先走0.1千米再乘

坐出租车.

【分析】(1)由题意可知：3<4.1<10,所以车费=3千米以内的收费+超过3千米的部分x2；

(2)由于14.9>13,所以应付车费由三部分组成，即3千米以内的收费十超过起步里程的部

分10千米x2+超过起步里程13千米的里程数x3；

⑶车费=基础车费+超过起步里程10千米的车费+超过13千米的车费，再比较应付车费和

他所带的钱数.

【详解】解：⑴不足1千米以1千米计算，4.1=5,又3千米以内(含3千米)收费11元，

超过3千米的部分每千米收费2元，

故车费为：U+(5-3)x2=15(元)，

回小明乘坐出租车行驶4.1千米应付车费15元；

(2)不足1千米以1千米计算，14.9=15,

又3千米以内(含3千米)收费11元，超过3千米的部分每千米收费2元，超过起步里程10

千米以上的部分加收50%,即每千米3元，

故车费为：11+10x2+(15-13)x3=37(元)，

团小明乘坐出租车行驶14.9千米应付车费37元；

⑶团不足1千米以1千米计算，13.1千米=14千米，

国小明应付的车费是:11+10x2+3(14-13)x3=34元，

团小明带了31元钱，应付34元，34>31,

团小明带的钱不够，

011+10x2=31,

回小明可以乘坐13千米的车，13.1-13=0.1(千米)，

答：小明带的钱不够乘坐13.1千米，他至少先走0.1千米再乘坐出租车.

【点睛】本题考查有理数的混合运算，在计算时一定要弄清题意，特别是"不足1千米以1

千米计算"这句话.

类型三四、24点

例.小明有5张写着不同数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列各问题：

-603410

(1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最小，如何抽取？最小值是多少？

答：我抽取的2张卡片是一、乘积的最小值为一.

(2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最大，如何抽取？最大值是多少？

答：我抽取的2张卡片是一、商的最大值为一.

(3)从中取出4张卡片，将这四个数(每个数用且只用一次)进行加减乘除四则运算使其

结果等于24,如何抽取？写出运算式子(写出一种即可).

答：我抽取的4张卡片是一、一、一、

算24的式子为一.

【答案】(1)-6、10,-60；(2)3、10、y；(3)例如：选-6、0、3、4；算式是-6x(0x3-4

或选-6、0、3、10；3x10-6+0或选-6、3、4、10；算式是(10-4)-(-6)x3或4-10x(-6)

+3等等.

【详解】试题分析：(1)观察这五个数，要找乘积最小的就要找符号相反且数值最大的数,

所以选-6和10；

(2)2张卡片上数字相除的商最大就要找符号相同，且分母越小越好，分子越大越好，所

以就要选10和3,且3为分母；

(3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24,这就不唯一，用加减乘除只要

答数是24即可，选-6、0、3、4；算式是-6x(0x3-4或选-6、0,3、10；3x10-6+0或选-6、

3、4、10；算式是(10-4)-(-6)x3或4-10x(-6)+3等等.

试题解析：(1)-6x10=-60；我抽取的2张卡片是)-6、10,乘积的最大值为一60；

(2)10+3=孚；我抽取的2张卡片是3、10,商的最大值为孚；

33

(3)方法不唯一，如：选-6、0、3、4；算式是-6x(0x3-4或选-6、0、3、10；3x10-6+0或

选-6、3、4、10；算式是(10-4)-(-6)x3或4-10x(-6)+3等等.

考点：L有理数的混合运算；2.图表型.

【变式训练1】如图所示，小明有标注①〜⑤号的5张写着不同有理数的卡片，请你按要求

选出卡片，完成下列各题.

(1)从中选出1张卡片，且这张卡片的有理数在全部有理数大小排列里居中，应选取

号卡片，这张卡片上的有理数是;

(2)从中选出2张卡片，且这2张卡片的有理数差最大，应选取号卡片，差的最

大值是;

(3)从中选出3张卡片，且这3张卡片的有理数积最小，应选取号卡片，积的最

小值是;

(4)从中选出4张卡片，且将这4张卡片的有理数运用加、减、乘和除四则运算及括号列

出一个算式，使得该算式的计算结果为24,请你写出算式(只需写出1种即可).

HHHHH

①②③④⑤

【答案】(1)②，-1;(2)④⑤，14；(3)①④⑤，-144；(4)(-8+6)x3x(T)或

(T-6+3)X(-8)等.

【分析】(1)根据题意和题目中的卡片，可以解答本题；

(2)根据题意和题目中的卡片，可以解答本题；

(3)根据题意和题目中的卡片，可以解答本题；

(4)根据题意可以写出相应的算式，本题答案不唯一，主要符合题意即可.

【详解】(1)因为-1在全部有理数大小排列里居中，所以选②卡片，

故答案为：②，-1;

(2)由已知可得，

当选取卡片6和-8时，差值最大，差的最大值是6-(-8)=14；

故答案为：④⑤，最大值是14

⑶由已知可得，

当选取卡片3、6和-8时，乘积最小，积的最小值是：(-8)x6x3=-144；

故答案为：①④⑤，最小值是-144

(4)E[-1-(64-3)]X(-8)=(-1-2)X(-8)=(-3)X(-8)=24,

团算式[-「(6+3)冈-8)的计算结果为24(答案不唯一).

【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，写出相应的算式，注意

第(4)问答案不唯一

【变式训练2】小强有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题:

(1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，如何抽取？最大值是多少？

(2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？

⑶从中取出2张卡片，利用这2张卡片上数字进行某种运算，得到一个最大的数，如何抽

取？最大的数是多少？

⑷从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24,如何抽取？写出运算式子(一种

即可).

【答案】⑴抽取Y与-6,积为24

(2)抽取-6与3,商为-2

⑶抽取-6与4,进行乘方运算得到最大为1296

(4)(-6)x4x(^l+3)=24(答案不唯一)

【分析】(1)要使2张卡片的乘积最大，则取同号的两张卡片，且其绝对值最大的两张，据

此可求解；

(2)要使2张卡片的商最小，则取异号的两张卡片，且分子的绝对值最大，分母的绝对值

最小，据此可求解

(3)进行乘方的运算可使相应的值最大，可选取-6与4,据此可求解；

(4)利用有理数的相应的运算进行求解，符合题意即可.

【详解】(1)抽取T与一6,则其乘积为：-4x(-6)=24；

(2)抽取-6与3,则其商为：-6-3=-2；

(3)抽取-6与4,则有：(-6)4=1296；

(4)(-6)x4x(T+3)=24.

【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握.

课后训练

L计算：24+'*/

(3oo)

【答案】576

【分析】根据有理数的四则混合运算的法则先计算括号里面的，再计算除法即可.

【详解】解：原式=24呜W"$=576.

【点睛】本题考查了有理数的四则混合运算，注意不要将乘法分配律运用到除法运算中，除

法没有分配律，正确运用有理数的运算法则是解答本题的关键.

2.计算下面各题，能简便运算的要用简便方法算:

5|+18

⑴1

411

(2)—x88+—4-——；

5588

25

(3)27X----1-----x39.

3927

【答案】⑴!

Io

(2)88

(3)249

【分析】（1）先计算乘法再计算除法即可；（2）提公因数即可；（3）改变计算顺序，结合乘

法结合律即可.

5Q

【详解】（1）解：原式=\x/18

=1・18

41

（2）解：原式=1*88+《义88

=88

（3）解：原式=27x39x2+第

25

=27x39x—+27x39x—

3927

=27x|39x—|+|27xA|x39

I39；I27；

=27x2+5x39

=54+195

=249

【点睛】本题考查有理数的混合运算.观察式子形式，合理使用运算法则是解题的关键.

3.计算（能简算的要简算）

0.25+日37

(3)

48

(4)

(5)

(6)

331

【答案】(1)—3；(2)-15—；(3)——；(4)-1；(5)2；(6)-383-

1022

【分析】(1)根据加法结合律直接求解即可；

(2)根据有理数的加法交换律及结合律进行运算即可；

(3)根据加法交换律及结合律进行有理数的加减混合运算即可；

(4)根据加法交换律及结合律进行有理数的加减混合运算即可；

(5)根据乘法交换律及结合律进行运算即可；

(6)先对带分数进行拆解，然后根据有理数的乘法分配律进行求解即可.

【详解】解：⑴原式=-1-2=-3

原式d1j1一57113|+42700+一15n5土3

(2)

22202010

原式=~+171

(3)

882-I

原式二5河7+翦1十2一3一

(4)

662

(5)原式二(-1。)x6=lx2=2

原式=1100-g-400+-+16=-383^.

(6)x(-4)-(12-8-20)=

22

【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握利用运算律进行有理数的简便运算是解

题的关键.

4.计算：-I6-fo.5-J^4-^X^-2-(-3)3^|-|23-32|.

【答案】-27

【分析】先计算括号内的，并要先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减即可.

【详解】解：M^=-1-1X6X[-2-(-27)]-|8-9|

=-1-25-1

=-27.

【点睛】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键.

5.计算：T-9|+(-3)2+(g-g]x(-12).

【答案】1

【分析】先计算绝对值，乘方运算和小括号里面的，再进行乘除运算，最后再加减即可.

【详解】解：-|-9|^-3)2+Q-|^|X(-12)

=-9-9+(--)x(-12)

6

=-1+2

=1.

【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则且准确的计算是

解题的关键.

6.出租车司机李师傅从上午8:00~9:15在厦大至会展中心的环岛路上营运，共连续运载十

批乘客.若规定向东为正，向西为负，李师傅营运十批乘客里程如下：(单位：千米)

+8,-6,+3,—7,+8,+4,—7,—4,+3,+4

(1)将最后一批乘客送到目的地时，李师傅距离第一批乘客出发地的位置怎样？距离多少

千米？

(2)上午8:00~9:15李师傅开车的平均速度是多少？

(3)若出租车的收费标准为：起步价8元(不超过3千米)，超过3千米，超过部分每千米

2元.则李师傅在上午8:00~9:15一共收入多少元？

【答案】(1)距离第一批乘客出发地的东方，距离是6千米；(2)43.2千米/小时；(3)128

元

【分析】(1)将所有数据相加得出结果后，即可作出判断；

(2)将所有数据的绝对值相加，可得出路程，然后求出时间，根据速度=路程+时间即可得

出答案；

(3)分别计算起步价，及超过3公里的收入，然后相加即可.

【详解】解