初中几何辅助线做法

一、辅助线的基本作法：

、连接2、延长3、作垂线4、作平行线5、作线段相等6、作相等角7、平移翻折旋转

二、方法探究：三角形部分

1、遇到有线段加减的等量关系时——截长补短

2、遇到有中点的线段或中线时一倍长中线

3、遇到有中点或垂直，考虑构建垂直平分线；遇到垂直平分线，往往考虑连接垂直平分线上的

点与线段两端点。

4、遇到角平分线：常常构建角平分线上

规律21.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形.

例：已知，如图，为△48C的中线且/I=N2,Z3=Z4,

求证：BE+CF>EF

证明：在D4上截取DV=D8,连结NE、NF,贝I」ON=ZX?

在△80E和△%£>£中，

DN=DB

Zl=Z2

ED=ED

：.4BDE学/XNDE

：.BE=NE

同理可证：CF=NF

在△EFN中，EN+FN>EF

：.BE+CF>EF

规律22.有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形.

例：已知，如图，40为△NBC的中线，且Nl=/2,Z3=Z4,求证：BE+CF>EF

证明：延长£7）到使连结CAf、FM

/XBDE和中，

BD=CD

Z1=Z5

ED=MD

：.丛BDE学丛CDM

：.CM=BE

又：N1=N2,Z3=Z4

Z1+Z2+Z3+Z4=180°

.\Z3+Z2=90°

即NEDF=90"

NFDM=ZEDF=90"

△EOF和/中

ED=MD

ZFDM=ZEDF

DF=DF

^EDF^/XMDF

：.EF=MF

'：在4CMF中，CF+CM>MF

BE+CF>EF

（此题也可加倍FD,证法同上）

规律23.在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形.

例：已知，如图，49为△48C的中线，求证：AB+AO2AD

证明：延长/。至E,使DE=/D,连结8E

'：AD为△/8C的中线

：.BD=CD

在△ZCD和△£5。中

BD=CD

Zl=Z2

AD=ED

：./\ACD^/\EBD

"：/\ABE中有

：.AB+AC>2AD

规律24.截长补短作辅助线的方法

截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；

补短法：延长较短线段和较长线段相等.

这两种方法统称截长补短法.

当已知或求证中涉及到线段a、b、c、d有下列情况之一时用此种方法:

①a>b

②a动=c

③a士分=c±d

例：已知，如图，在△/8C中，AB>AC,Zl=Z2,P为月D上任一点,

求证：AB-AOPB-PC

证明：⑴截长法：在48上截取连结PN

在△4RV和中，

AN=AC

Zl=Z2

AP=AP

；.^APNgAAPC

：.PC=PN

'：/XBPN中有PB-PC<BN

:.PB—PCVAB-AC

⑵补短法：延长/C至M,使连结尸Af

在和△/MP中

AB=AM

Zl=Z2

AP=AP

：./\ABP^/\AMP

：.PB=PM

又•.,在中有CM>PM-PC

：.AB-AOPB-PC

练习：1.已知，在△Z8C中，ZB=60°,AD.CE是△Z8C的角平分线，并

A,

BC

且它们交于点o

求证：AC=AE+CD

2.已知，如图，AB//CDZ\=Z2,Z3=Z4.

求证：BC=AB+CD

规律25.证明两条线段相等的步骤：

①观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。

②若图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段代换，再证它们所在的三角

形全等.

③如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形.

例:如图，已知，BE、8相交于尸，Z5=ZC,Zl=Z2,求证：DF=EF

证明："：ZADF=ZB+Z3

NAEF=ZC+Z4

又；N3=N4

ZB=ZC

：.ZADF=AAEF

在尸和△/（£■尸中A

ZADF=ZAEFA

△ND尸丝/\AEFBc

：.DF=EF

规律26.在一个图形中，有多个垂直关系时，常用同角（等角）的余角相等来证明两个角相等.

例：已知，如图△/△48C中，AB=AC,ZBAC=90°,过工作任一条直线4V,作BO_L4N于。，

CE1AN于E,求证：DE=BD~CE

证明：VZBAC=90°,BDLAN

.".Zl+Z2=900Zl+Z3=90°

AZ2=Z3

•：BDLANCEA.AN

：.ZBDA=ZAEC=90°

在和中，

ABDA=N4EC

Z2=Z3

AB=AC

：./\ABD^/\CAE

：.BD=AE且AD=CE

：.AE~AD=BD-CE

：.DE=BD~CE

规律27.三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等.

例：［。为的中线，且CF_L/。于尸，的延长线于E

求证：BE=CF

证明：（略）

E

规律28.条件不足时延长已知边构造三角形.

例：已知NC=8。，力。_L/C于/,BCBD于B

求证：AD=BC

证明：分别延长。力、C8交于点E

'：ADLACBC1.BD

:.NCAE=NDBE=90°

在和△€1/£：中

NDBE=NCAE

BD=AC

NE=NE

：.ADBE@ACAE

：.ED=EC,EB=EA

：.ED~EA=EC~EB

：.AD=BC

规律29.连接四边形的对角线，把四边形问题转化成三角形来解决问题.

例:已知,如图，AB//CD,AD//BC

求证:AB=CD

证明:连结NC（或8。）

•:AB"CD,AD//BC

.\Z1=Z2

在△NBC和中，

Z1=Z2

AC=CA

Z3=Z4

：./\ABC^^CDA

：.AB=CD

练习：已知，如图，AB=DC,AD=BC,DE=BF,

求证：BE=DF

规律30.有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。可归结为“角分垂等腰归”.

例：已知，如图，在放△/8C中，AB=AC,ZBAC=90°,Z1=Z2,CE_L5。的延长线于E

求证：BD=ICE

证明：分别延长8/、CE交于F

'：BE±CF

："BEF卷BEC=9。"「

在△BEF和△2EC中、

NBEF=NBECBc

1

：.CE=FE=-CF

2

'：ZBAC=90°,BE±CF

：.ZBAC=ZCAF=90°

N1+/8D4=90°

Z\+ZBFC=90u

NBDA=NBFC

在/\ABD和△NC尸中

NBAC=ZCAF

ZBDA=ZBFC

AB=AC

AABD丝AACF

：.BD=CF

：.BD=2CE

练习：已知，如图，NACB=3NB,/I=N2,CD_LN。于

求证：AB-AC=2CD

规律31.当证题有困难时，可结合已知条件，把图形中的某两点连接起来构造全等三角形.

例：已知，如图，AC,8。相交于O,RAB=DC,AC=BD,

求证：ZA=ZDAD

证明：（连结3C,过程略）

BC

规律32.当证题缺少线段相等的条件时，可取某条线段中点，为证题提供条件.

例：已知，如图，AB=DC,ZA=Z£>

求证：NABC=NDCB

证明：分别取4。、BC中点、N、M,A

连结NB、NM、NC（过程略）/\

BZ---------------------

规律33.有角平分线时，常过角平分线上的点向角两边做垂线，利用角平分线上的点到角两边距离

相等证题.

例：已知，如图，Z1=Z2,P为BN上一点,且8c于。，AB+BC=2BD,

求证：ZBAP+ZBCP=\^°

证明：过尸作PELBA于E

'：PDLBC,Zl=Z2

：.PE=PD

在Rt/XBPE和RtABPD中

BP=BP/

PE=PD

B

DC

：.BE=BD

'：AB+BC=2BD,BC=CD+BD,AB=BE~AE

：.AE=CD

'：PE±BE,PD1BC

NPEB=NPDC=90°

在APEA和△P£）C中

PE=PD

ZPEB=ZPDC

AE=CD

：.丛PEA学4PDC

：.NPCB=NEAP

'：ZBAP+AEAP=\^°

:.NB4P+NBCP=180°

练习：1.已知，如图，PA.PC分别是△N8C外角NK4C与/NC/的平分线，它们交于P,

PDLBM于M,PFLBN于■F,求证：8P为的平分线

2.已知，如图，在△/8C中，ZABC=\Q0°,ZACB=20°,CE是/NCB的平分线，。是4c

上一点，若NCBD=20",求/CEO的度数。

规律34.有等腰三角形时常用的辅助线

⑴作顶角的平分线，底边中线，底边高线

例：已知，如图，AB=AC,BD14c于D,

求证：NBAC=2NDBC

证明：（方法一）作N8ZC的平分线NE,交.BC于E,则Nl=/2=-ZBAC

2

5L'：AB=AC

：.AE±BC

：.Z2+ZACB=90"

'：BDLAC

：.ZDBC+ZACB=90"

，Z2=ZDBC

：.ZBAC=2ZDBC

（方法二）过4作ZELBC于E（过程略）

（方法三）取8c中点E,连结NE（过程略）

⑵有底边中点时，常作底边中线

例：已知，如图，△48C中，AB=AC,D为BC中点、,DELAB于E,DFLACF,

求证：DE=DF

证明：连结/D

•.,。为8c中点，

：.BD=CD

又；AB=AC

：.AD平分/84C

\"DELAB,DFA.AC

：.DE=DF

⑶将腰延长一倍，构造直角三角形解题

例：已知，如图，△Z8C中，AB=AC,在比1延长线和AC上各取一点E、F,使NEAF,求

证：EFLBC

证明：延长8E到N,使=连结CN,则/8=/N=/C

NB=NACB,NACN=ZANC

,//8+ZACB+ZACN+ZANC=180°

：.2ZBCA+2ZACN=180°

：.ZBCA+ZACN=90°

即/8CN=90"

.".NCLBC

'：AE=AF

：.NAEF=ZAFE

又•/ZBAC=ZAEF+ZAFE

NBAC=NACN+ZANC

：.ZBAC=2ZAEF=2ZANC

：.NAEF=ZANC

J.EF//NC

：.EF±BC

⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线

例：已知，如图，在△/BC中，AB=AC,。在上，E在ZC延长线上，且BD=CE,连结DE

交BC于尸

求证：DF=EF

证明：（证法一）过。作DN//AE,交8c于N,则ZDNB=ZACB,NNDE=NE,

'：AB=AC,

：.NB=NACB

：.ZB=ZDNB

：.BD=DN

又YBD=CE

：.DN=EC

在△£）*和△ECF中

Z1=Z2

ZNDF=ZE

DN=EC

，△DNF9/\ECF

：.DF=EF

（证法二）过E作EA/〃/8交8C延长线于M则（过程略）

⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线

攸||：已知，如图，ZX/BC中，AB=AC,E在/C上，。在氏4延长线上，S.AD=AE,连结

求证：DELBC

证明：（证法一）过点E作EF〃BC交4B于F,贝ijN-/D

NAFE=NBXt'

NAEF=NC/\

"：AB=AC

：.NB=NC

：.NAFE=NAEF

'：AD=AE

：.NAED=NADE

又'：ZAFE+ZAEF+ZAED+ZADE=180°

：.2ZAEF+2ZAED=90°

即NFED=90"

：.DELFE

又,：EF//BC

：.DE1BC

（证法二）过点。作。N〃8c交C4的延长线于N,（过程略）

（证法三）过点/作8c交OE于（过程略）

⑹常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形……等边三角形

例：已知，如图，△48C中，/8=4C,ABAC=800『为形内一点，若NPBC=l（fNPCB

=30"求的度数.

解法一：以为一边作等边三角形，连结CE

贝|JNA4E=//8E=6O"

AE=AB=BE

'：AB=AC

：.AE=ACNABC=NACB

：.NAEC=NACE

,?NEAC=NBAC-NBAE

=80°-60°=20°

AZACE=1(1800-Z£/iQ=80o

,/ZACB=1(180"-NBAQ=50"

ZBCE=ZACE-NACB

=80°—50"=30"E

ZPCB=30°

ZPCB=NBCE

,：ZABC=NACB=50°,ZABE=60°

ZEBC=ZABE-ZABC=60P-50°=10°

"：ZPBC=10°

4PBe=NEBC

在△PBC和△EBC中

ZPBC=NEBC

BC=BC

NPCB=/BCE

：.APBCQAEBC

:.BP=BE

•:AB=BE

：.AB=BP

：.ZBAP=ZBRA

•//ABP=ZABC-NPBC=50°—10°=40°

AZPAB=；(180°—/48尸尸70"

解法二：以4C为•边作等边三角形，证法同一。

解法三：以8C为一边作等边三角形△8CE,连结力瓦则

EB=EC=BC,ZBEC=ZEBC=60°

■:EB=EC

・•・£在8C的中垂线上

E

同理/在8c的中垂线上

：.EA所在的直线是BC的中垂线

：.EA±BC/\

NAEB=|NBEC=30°=ZPCB——P

由解法一知:ZABC=50°

：.N4BE=ZEBC-ZABC=10°=NPBC

,：/ABE=/PBC,BE=BC/AEB=ZPCB

：.AABE迫/\PBC

：.AB=BP

NBAP=NBR4

,/ZABP=ZABC~ZPBC=50"—100=40"

ZPAB=；(180°—NN8P)=；(180°—40°尸70°

规律35.有二倍角时常用的辅助线

⑴构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角

例：已知，如图,在△48C中,Zl=Z2,ZABC=2ZC,

求证：AB+BD=AC

证明：延长到E,使BE=BD,连结。E

则/8OE

,/ZABD=ZE+ZBDE

：./ABC=2NE

,：ZABC=2ZC

：.ZE=ZCL

在和CD中/'Vx

NE=ZCBc

/\D、i

Z1=Z2

AD=ADE

:.AAED出AACD

：.AC=AE

,:AE=AB+BE

：.AC=AB+BE

即AB+BD=AC

⑵平分二倍角

例：已知，如图，在△4BC中，8O_b4C于Q,/BAC=2/DBC

求证：NABC=NACB

证明：作/8/C的平分线交8c于E,则ZCAE=ZDBC

'JBDLAC

：.Z.CBD+NC=90"

：.ZCAE+ZC=90°

,/Z.AEC=180°—NCAE—ZC=90"

：.AE1,BC

ZABC+ZBAE=90°

,：ZCAE+ZC=90°

ZBAE=ZCAE

：.ZABC=ZACB

⑶加倍小角

例:已知,如图，在△NBC中，BDUC于D,ZBAC=2ZDBC

求证：ZABC=ZACB

证明：作/FBD=/DBC,BF交AC于F(过程略)

规律36.有垂直平分线时常把垂直平分线上的点与线段两端点连结起来.

例：已知，如图，△Z8C中，AB=AC,ZBAC=120°,E尸为的垂直平分线，EF交BC于F,

交AB于E

求证：BF=-FC

2

证明：连结/尸，则/尸=8尸

NB=ZE4B

'：AB=AC

:./B=NC

'：NBAC=120"

ZB=NCNB4c=g(180"-ZBAC)=30"

，NE4B=30°

NE4C=NBAC—ZE4B=1200-30"=90"

又：NC=30°

：.AF=-FC

2

1

：.BF=-FC

2

练习：已知，如图，在△/18C中，/C48的平分线/。与8c的垂直平分线OE交于点。，DMA.AB

于M,£W_L4c延长线于N

求证：BM=CN

规律37.有垂直时常构造垂直平分线.

例：已知，如图，在△ZBC中，Z5=2ZC,/D_L8C于。

求证：CD=AB+BD

证明：（一）在C。上截取。E=连结/E,贝lJ/8=ZE

NB=NAEB

■:4B=2乙C

：.NAEB=2NC

又：NAEB=ZC+ZEAC

：.ZC=ZEAC

:.AE=CE

又：CD=DE+CE

：.CD=BD+AB

(—)延长C8到F,使=连结AF贝ljAF

=AC（过程略）

规律38.有中点时常构造垂直平分线.

例：已知，如图，在△NBC中，BC=2AB,ZABC=2ZC,BD=CD

求证：△N8C为直角三角形

证明：过。作£>£_L8C,交,AC于E,连结2E,则8E=C£,

：.ZC=ZEBC

'：ZABC=2AC

ZABE=ZEBC

•：BC=2AB,BD=CD

：.BD=AB±

在/\ABE和IXDBE中/\

AB=BD/\

NABE=NEBCc^—.............L----------\B

D

BE=BE

：.AABE会/\DBE

：.ZBAE=ZBDE

NBDE=90"

ZBAE=90°

即△Z8C为直角三角形

规律39.当涉及到线段平方的关系式时常构造直角三角形，利用勾股定理证题.

例：已知，如图，在△Z8C中，ZJ=90°,OE为5c的垂直平分线

求证：BE^AE^AC2

证明：连结CE,贝ljBE=CE

•/NA=90"

:.AE2+AC2=EC2

BE2

:.BE2-AE2=AC2

练习：已知，如图，在△48C中，/A4c=90°,AB=AC,P为BC上一点

求证：PBAPC^ZPA?

规律40.条件中出现特殊角时常作高把特殊角放在直角三角形中.

例：已知，如图,在△4BC中,ZB=45°,ZC=30°,AB=6，求NC的长.

解：过工作ZD_LBC于£>

ZB+ZBAD=90",

VZB=45°,NB=NBAD=45°,

：.AD=BD

'：ABL=AD1+BEr,AB=6

：.AD=1

VZC=30°,ADA.BC

：.AC=2AD=2

四边形.部分

规律41.平行四边形的两邻边之和等于平行四边形周长的一半.

例：已知,的周长为60cm对角线/C、8。相交于点。，△/OB的周长比△8OC的周长多

8cm,求这个四边形各边长.

解：；四边形488为平行四边形

：.AB=CD,AD=CB,AO=CO

,/JS+C£>+£>J+C5=60

AO+AB+OB~[OB+BC+OC）=8

，/8+8C=30,AB-BC=8

：.AB=CD=19,BC=AD=11

答：这个四边形各边长分别为19cm、11cm、19。机、11cm.

规律42.平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差.

（例题如上）

规律43.有平行线时常作平行线构造平行四边形

例：已知，如图，Rt/\ABC,ZACB=90°,CD于。，ZE平分NC48交CD于尸，过F作FH〃/B

交BC于H

求证：CE=BH

证明：过F作FP〃BC交于P,则四边形FP8”为平行四

边形

:.NB=NFR4,BH=FP

,：Z.ACB=90",CDA.AB

.•./5+NCAB=45",ZB+ZCAB=90"

：.Z5=ZFPA

又YN1=Z2,AF=AF

：./\CAF^/\PAF

：.CF=FP

VZ4=Z1+Z5,Z3=Z2+Z5

Z3=Z4

：.CF=CE

：.CE=BH

练习：已知，如图，AB//EF//GH,BE=GC

求证：AB=EF+GH

规律44.有以平行四边形一边中点为端点的线段时常延长此线段.

例：已知，如图，在口/88中，AB=2BC,M为中点

求证：CM±DM

证明：延长OW、CB交于N

•.•四边形/BCD为平行四边形

：.AD=BC,AD//BC

,4=ZNBAZADN=NN

又,：AM=BM

,4AMD冬ABMN

A

MB

、

:.AD=BN

：.BN=BC

'：AB=2BC,AM=BM

：.BM=BC=BN

AZI=Z2,N3=NN

；/l+N2+/3+/N=180",

Z.Z1+Z3=90°

：.CM±DM

规律45.平行四边形对角线的交点到一组对边距离相等.

如图：OE=OF

规律46.平行四边形一边（或这边所在的直线）上的任意一点与对边的两个端点的连线所构成的三

角形的面积等于平行四边形面积的一半.

如图：S&BEC——SaABCD

2

规律47.平行四边形内任意一点与四个顶点的连线所构成的四个三角形中，不相邻的两个三角形的

面积之和等于平行四边形面积的一半.

如图：Si\AOB+Saooc==■—SaABCD

2

规律48.任意一点与同一平面内的矩形各点的连线中，不相邻的两条线段的平方和相等.

如图：AO2+OC2=BO2+DO2

规律49.平行四边形四个内角平分线所围成的四边形为矩形.

如图：四边形GH0N是矩形

（规律45〜规律49请同学们自己证明）

规律50.有垂直时可作垂线构造矩形或平行线.

例：已知I,如图，E为矩形/BCD的边力。上一点，且BE=ED,P为对角线5。上一点，PF±BE

于尸，PGL4D于G

求证：PF+PG=AB

证明：证法一：过P作尸于，,则四边形/，PG为矩形

：.AH=GPPH//AD

：.NADB=NHPB

,:BE=DE

/.NEBD=ZADB

ZHPB=NEBD

又NPFB=NBHP=90°

XPFB四丛BHP

：.HB=FP

J.AH+HB=PG+PF

即AB=PG+PF

证法二：延长GP交8c于N,则四边形N8NG为矩形，（证明略）

规律51.直角三角形常用辅助线方法：

⑴作斜边上的高

例：已知，如图，若从矩形48CQ的顶点C作对角线8。的垂线与NB/O的平分线交于点E

求证：AC=CE

证明：过/作垂足为F,则工厂〃EG

NE4E=ZAEG

•.•四边形为矩形

ZBAD=900OA=OD

：.Z.BDA=NCAD

"：AF1.BD

：.ZABD+ZADB=NABD+/BAF=

NBAF=NADB=NCAD

为/历i。的平分线

ZBAE=ZDAE

，ZBAE-ZBAF=ZDAE-NDAC

^ZE4E=ZCAE

:.NCAE=NAEG

：.AC=EC

⑵作斜边中线，当有下列情况时常作斜边中线：

①有斜边中点时

例：已知，如图，AD、BE是△NBC的高，F是£>£的中点，G是/B

的中点

求证：GFLDE

证明：连结G£、GD

•.】£）、8E是△ZSC的高，G是48的中点

:.GE=-AB,GD=-AB

22

：.GE=GD

是。E的中点

GFLDE

②有和斜边倍分关系的线段时

例：已知，如图，在△NBC中，。是5c延长线上一点，且D4J.84于AC=-BD

2

求证：NACB=2/B

证明：取8。中点E,连结4E；则力后二鸟后二-BD

2

；・/l=NB

1

9：AC=-BD

2A

：.AC=AE

.73/2/°\\

VZ2=Z1+ZB15EcD

：.Z2=2ZB

：.NACB=2NB

规律52.正方形一条对角线上一点到另一条对角线上的两端距离相等.

例：已知，如图，过正方形对角线8。上一点尸，作PE_L8c于E,作P凡LCO于尸

求证：AP=EF

证明:连结NC、PC

•.•四边形Z8CA为正方形

垂直平分/C,ZBCD=90°

：.AP=CP

'：PE±BC,PFLCD,ZBCD=90°

四边形PECF为矩形

：.PC=EF

：.AP=EF

规律53.有正方形一边中点时常取另一边中点.

例：已知,如图，正方形/8CZ）中，M为N8的中点，MNLMD,BN平分NC8E并交MN于N

求证：A/D=A/N

1

证明：取的中点尸，连结则£>P=_R4=-AD

2

•.•四边形为正方形

：.AD=AB,ZA=ZABC=90°

Z1+ZAMD=90°,又DMLMN

：.Z2+ZAMD=90°

AZI=Z2

•••M为ZB中点

1

：.AM=MB=-AB

2

：.DP=MBAP=AM

，ZAPM=ZAMP=45°

：.ZDPM=\35°

":BN平分'/CBE

:.NCBN=4S

：.ZMBN=ZMBC+ZCBN=900+45°=135°

即NDPM=NMBN

：.小DPMq丛MBN

：.DM=MN

注意：把M改为上任一点，其它条件不变，结论仍然成立。

练习：已知，。为正方形/8CD的CD边的中点，P为CQ上一点，且/P=PC+8C

求证：NBAP=2NQAD

AB

规律54.利用正方形进行旋转变换

旋转变换就是当图形具有邻边相等这一特征时，可以把图形的某部分绕相等邻边的公共端

点旋转到另一位置的引辅助线方法.

旋转变换主要用途是把分散元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件.

旋转变换经常用于等腰三角形、等边三角形及正方形中.

例：已知，如图，在△/BC中，AB=AC,ZBAC=90",。为8C边上任一点

求证：2AD2=BD2+CD2

证明：把绕点A逆时针旋转90"得△/€■£■

:.BD=CENB=NACE

'：NBAC=90°

：.ZDAE=90°A

DE2=AD2+AE2=2AD2/E

YNB+ZACB=90°-------\

，ZDCE=90"

：.CD2+CE2=DE2

：.2AD2=BD2+CD2

注意：把△/£>(:绕点/顺时针旋转90°也可，方法同上。

练习：已知，如图，在正方形N8CQ中，E为4D上一点,BF平分/CBE交CD于F

求证：BE=CF+AE

A

B

规律55.有以正方形一边中点为端点的线段时，常把这条线段延长，构造全等三角形.

例：如图，在正方形/BCD中，E、F分别是。、ZX4的中点，BE与CF交于P点

求证：AP=AB

证明：延长C尸交8/的延长线于K

•.•四边形Z8CD为正方形

：.BC=AB=CD=DAZBCD=ZD=ZBAD=90°

；E、尸分别是C。、的中点

11

:.CE=-CDDF=AF=-AD

22

：.CE=DF

：.ABCE安/\CDF

：.ZCBE=ZDCF

ZBCF+ZDCF=90"

，NBCF+NCBE=90°

：.BEA.CF

又,：ND=/DAK=90"DF=AFZ1=Z2

:./\CD心AKAF

：.CD=KA

:.BA=KA

又〈BELCF

：.AP=AB

练习：如图，在正方形NBCD中，0在CD上，且。0=0C,尸在8c上，且NP=CD+CP

求证：“。平分NZMP

规律56.从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形.

例：已知，如图，等腰梯形N8C。中，AD//BC,AD=3),AB=4,8c=7

求N8的度数

解：过N作N£〃8交8c于E,则四边形NECZ)为平行四边形

：.4D=EC,CD=AE

"：AB=CD=4,AD

AD=3,BC=1/\

：.BE=AE=AB=4/\

.,.△/BE为等边三角形B』-----------、、c

NB=60"

规律57.从梯形同一底的两端作另一底所在直线的垂线，把梯形转化成一个矩形和两个三角形.

例：已知，如图，在梯形N8CD中，AD//BC,AB=AC,NBAC=90",BD=BC,BD交AC于O

求证：8=CD

证明：过/、。分别作ZE_L8C,DF1,BC,垂足分别为£、尸则四边形/E尸。为矩形

：.AE=DF

'：AB=AC,AELBC,ZBAC=90°,

：.AE=BE=CE=-BC,ZACB=45。

2

,:BC=BD

1

:.AE=DF=-BD

2

XVDF15C

，ZZ)BC=30°

,:BD=BC

NBDC=ZBCD

=1(180°-ZDSC)

=75°

,?NDOC=NDBC+ZACB=300+45°=75°

ZBDC=ZDOC

：.CO=CD

规律58.从梯形的一个顶点作一条对角线的平行线，把梯形转化成平行四边形和三角形.

例：已知，如图，等腰梯形48co中，AD//BC,ACYBD,AD+BC=10,DELBC于E

求DE的长.

解：过。作。尸〃4C,交5c的延长线于凡则四边形/CFD为平行四边形

：.AC=DF,4D=CF

四边形ABCD为等腰梯形木水

：.AC=DB

：.BD=FD。//、、

15£----------------+.-p

^DELBC”"

1

：.BE=EF=-BF

2

=；(BC+CF)=g(BC+AD)

1

=-xl0=5

2

'：AC//DF,BD1.AC

:.BDLDF

"：BE=FE

1

:.DE=BE=EF=-BF=5

2

答:CE的长为5.

规律59.延长梯形两腰使它们交于一点，把梯形转化成三角形.

例：已知，如图，在四边形力5co中，^AB=DC,ZB=ZC,AD<BC

求证：四边形N8C。等腰梯形

证明：延长历1、CD,它们交于点E

Z5=ZC

：.EB=EC?

又,：AB=DC

：.AE=DE/\

ZEAD=ZEDA/\

・・•ZE+ZEAD+NEDA=180°---------\

ZB+ZC+NE=180"

/.ZEAD=ZB

C.AD//BC

■:AD丰BC,4B=/C

・•・四边形Z8C。等腰梯形

(此题还可以过一顶点作48或CO的平行线；也可以过/、。作8c的垂线)

规律60.有梯形一腰中点时，常过此中点作另一腰的平行线，把梯形转化成平行四边形.

例：已知,如图，梯形中，AD//BC,E为CD中点、,EFL4B于F

求证：S梯形ABCD=EFAB

证明：过E作MN〃AB,交2。的延长线于"，交BC于N,则四边形为平行四边形

'：EF\.AB

SoABNM=AB-EF

,:AD〃BC

：.ZM=ZMNC

又,：DE=CEZ1=Z2

：./\CEN^/\DEM

SdCEN=S&DEM

S梯形ABCD=S五边形ABNED+S4CEN=S五边形ABNED+S&DEM

=S梯形4BCD=EFAB

规律61.有梯形一腰中点时，也常把一底的端点与中点连结并延长与另一底的延长线相交，把梯形

转换成三角形.

例：已知,如图，直角梯形Z3CD中，AD//BC,ABLAD^A,DE=EC=BC

求证：NAEC=3/DAE

证明：连结8E并延长交的延长线于N

,:AD〃BC

：.Z3=NN

又,.・N1=Z2ED=EC

：.ADEN经4CEB

:・BE=ENDN=BC

\*AB±AD

：・AE=EN=BE