2022-2023学年上海初二年级下册同步讲义第16讲 动点产生的面积问题解析版

第16讲动点产生的面积问题

运动变化题是随着图形的某一元素的运动变化，导致问题的结论改变或者保持不变的儿

何题，它揭示了“运动”与“静止”、“一般”与“特殊”的内在联系.解题的关键是分清几

何元素运动的方向和捷径，注意在运动过程中哪些是变量，哪些不是变量，通常要根据几何

元素所处的不同位置加以分类讨论，同时，综合运用勾股定理、方程和函数等知识，本节课

的内容涉及三角形、特殊的四边形的面积问题.

模块一：面积计算的问题

知识精讲

本节主要是在函数背景下求三角形或四边形的面积问题，较复杂的题目可以采取“割

补”的思想构造较简单的图形进行求解.

例题解析

例1.(2018•上海八年级期中)一次函数y=+m的图像经过点尸(-2,3),且与x轴、

＞轴分别交于点A、3,求△AO8的面积.

【答案】-

4

【详解】先将点。坐标代入函数解析式，可求出加值，再根据函数解析式求出/、6两点坐

标即可求出AAOB的面积.

解：将尸(―2,3)代入y=-2x+m得，

m=-1,

/.y=-2x-l.

当y=0时，x=-g,

・••点力坐标为(——,0),

2

当冗=0时，y=-l,

・•・点夕坐标为(0,-1),

/.OA=—,0B=1.

2

SACR—~,OA-OB=—x—xl.

-A°B2224

例2.（2020•上海市静安区实验中学八年级期中）一次函数＞=（〃?-2）/匕吁2+〃的图像

＞随x增大而减小，且经过点A（l,6）.

求（1）mn的值；

（2）求该直线与坐标轴围成的三角形的面积及坐标原点到直线的距离.

27

【答案】（1）加=-9;（2）该宜线与坐标轴围成的三角形的面积为一，坐标原点到直

2

线的距离为2厢.

10

【分析】（1）由一次函数的定义和性质列出方程和不等式求出m的值，代入A点坐标，可

求出n值；

（2）山解析式可得》轴截距与X轴截距，然后根据三角形面积公式求解；利用勾股定理求

出直线与坐标轴围成的三角形的斜边长，然后用等积法求解.

【详解】解：（1）•••y=（x-2）x""2"，-2+”是一次函数

nr—2m—2=1

即（加一3）（，〃+1）=0

解得班=3；㈣=-1.

又y随％增大而减小

m-2＜0

即机＜2

m--\

一次函数解析式为：y=-3x+〃

代入点A（l,6）得6=-3+〃

n=9

mn--9

（2）由（1）得：y=-3x+9

丁轴截距：b=9

b9

x轴截距：一7=--=3

k-3

，该直线与坐标轴围成的三角形的面积；5=-.&.-1=-x3x9=^

2k22

该直线与坐标轴围成的三角形的斜边长：+匕2=V32+92=3M

设坐标原点到直线的距离为/l.

WS=-x3V10x/7=—

22

h=—Vio

10

••・坐标原点到直线的距离为2屈.

10

【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上的点的坐标特征，熟

练掌握待定系数法是解本题的关键.

例3.（2019•上海市闵行区七宝第二中学八年级期中）在直角坐标平面内，。为原点，点

A的坐标为（1,。），点。的坐标为（。,4）,直线。/〃x轴.点5与点A关于原点对称，直

线y=x+6（〃为常数）经过点3,且与直线CM相交于点。.

（1）求6的值和点。的坐标；

（2）在％轴上有一点。，使的面积为8,求。点的坐标；

（3）在％轴的正半轴上是否存在一点P,使得APOO为等腰三角形，若存在，求出点P

的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)b=l,0(3,4)；(2)0(3,0)或&(-5,0).(3)存在.耳(5,0)或£(6,0)或

25

仁).

【分析】（1）先求出点B的坐标，由直线过点B,把点B的坐标代入解析式，可求得b的

值；点D在直线CM上，其纵坐标为4,利用求得的解析式确定该点的横坐标即可；

(2)过点。作轴，根据三角形面积公式求出BQ的长，可得Q点坐标；

(3)aPOD为等腰三角形，有三种情况：OP=OD,PD=OD,PD=PO,故需分情况

讨论，要求点P的坐标，只要求出点P到原点。的距离即司一；

【详解】

解：(1)•••8与A(l,0)关于原点对称

5(-1,0)

•••y=x+b过点8

—14-Z?=0

b=\

y=x+l

当y=4时，x+l=4

x=3

0(3,4)

.・b=l,0(3,4).

(2)过点。作轴，垂足为£,则。E=4OE是在边BQ上的高.

S&J3QD=5BQ•DE=8

BQ=4

在x轴上存在两个。点满足条件.

即：9(3,0)或0(-5,0).

(3)存在.

0D=\IOC2+CD2=>/42+32=5

①当。尸=8时

；OP=OD=5,0(0,0)

6(5,0)

②当PO=OD时

•/PD=OD,DE±x

•••DE是OP边得中线

OE=PE

vDEA.X,OD=5,DE=4

OE=3

OP=6

£(6,0)

③当PD=PO时

设P(a,0)

•••PD=PO

：.PD=a

•••在RtAPED中,PD=a,PE=a-3,DE=4

ci~=(a—3)~+4"

25

解得：a=—.

6

25

,0)

6

25

综上所述:耳(5,0)或g(6,0)或居(3,0).

【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图像上点的坐标特征以及等腰三

角形的判定和性质，注意分情况讨论是解决本题的关键.

例4.（2020•上海市位育实验学校八年级月考）如图，直线/i的解析式为、=-3%+3,

且八与x轴交于点D,直线/2经过点A,B,两条直线交于点C,在直线心上存在一点P,使

得4ADP的面积是AADC面积的2倍，那么点P的坐标为

【答案】（8,6）或（0,-6）

【分析】已知L的解析式，令y=0求出D点坐标，设k的解析式为y=kx+b,由图联立

方程组求出k,b的值，联立方程组，求出交点C的坐标，继而可求出生领，

ADC底边都是AD,根据AADP的面积是aADC面积的2倍，可得点P的坐标.

【详解】由丫=~^+3,令y=0,得Tx+3=0,

x=1,

AD（1,0）；

设直线L的解析表达式为y=kx+b,

3

由图象知：x=4,y=0；x=3,y=—,代入表达式y=kx+b,

2

4k+b=0

3攵+Q_3

I2

2

b=-6

3

直线L的解析表达式为y=-x-6

2;

y=-3x+3

由，

y=—x-6

x=2

解得＜

y=-?>

：.C(2,T),

VAD=3,

19

SAABC―—X3X-3=一,

22

VAADP与△ADC底边都是AD,AADP的面积是4ADC面积的2倍，

/.△ADC高就是点C到直线AD的距离的2倍，

即C纵坐标的绝对值=6,则P到AD距离=6,

...点P纵坐标是±6,

3

Vy=—x-6,y=6,

2

3

A-x-6=6,

2

解得x=8,

.-.P.(8,6).

3

"."y—-x-6,y=6

2

.3。八

..-x-6--6,

2

解得x=0,

.\P，(0,-6)

综上所述,Pi(8,6)或R(0,-6).

故填：(8,6)或(0,-6).

【点睛】本题考查的是一次函数的性质，三角形面积的计算等有关知识，利用图象上点的

坐标得出解析式是解题关键.

例5.(2020•上海市南汇第四中学八年级月考)如图，直线L：y=—；x+3与x轴、＞

轴分别交于A、B两点，在V轴上有一点C(0,9),动点M从4点以每秒2个单位的速度

沿x轴向左移动.

(1)求A、B两点的坐标

(2)求VCOM的面积S与A7的移动时间f(秒)之间的函数关系式；

(3)当f何值时△COM也△AO8,并求此时“点的坐标.

(4)当/何值时VCQ0的面积是AAOB一半，并求此时〃点的坐标.

Q1

-9r+y(O<Z<4.5)

【答案】(1)A(9,0)；(2)B(0,3)；(2)S=<(3)当t=3,M(3,

嗔(，>4.5)

。)，当t=6,M(-3,。)；⑷当t寺，当(-I，。)

【分析】(1)对于L：y=-gx+3,令x=0可求出B点坐标，令y=0可求出A点坐标;

(2)分点M在原点左侧和右侧两种情况，根据三角形的面积公式解答即可；

(3)分点M在原点左侧和右侧两种情况，根据全等三角形的性质列式求出t的值，进而可

求出点M的坐标；

(4)根据三角形的面积公式列式求出0M的长，进而分点M在原点左侧和右侧两种情况，

可求出t的值及点M的坐标.

【详解】解：⑴当x=0时,y=3,

；.B(0,3).

当y=0时，0=--x+3,x=9,

3

AA(9,0)；

(2)9+2=4.5秒,

当点M在原点右侧时，即0WtW4.5时，由题意得，0M=9-2t,

|1Q1

：.S^-OMOC=-(9-2t)x9-9t+—.

22V'2

当点M在原点左侧时，即t>4.5时，由题意得，0M=2t-9,

11Q1

：.S=-OM-OC=-(2t-9}x99t--,

22V'2

Q1

-9/+y(O<r<4.5)

9?-y(r>4.5)

(3)当点M在原点右侧时，即0WtW4.5时,

AOM-OB,

A9-2t=3,

t=3,

/.0M=9-6=3,

AM(3,0)；

当点M在原点左侧时，即t>4.5时,

■:^COM^AAOB,

.\OM=OB,

.,.2t-9=3,

；.t=6,

；.0M=12-9=3,

AM(-3,0)；

综上可知，当t=3,M(3,0),当t=6,M(-3,0)；

1127

(4)SAAOB=—OA-OB=-x9x3=—,

222

11127

：.-OMOC=-OMx9=-x—

2222

3

2

当点M在原点右侧时,

3

9-21--,

2

.t_15

••I-,

4

3

此时M(一,0)；

2

当点M在原点左侧时,

3

2t-9=—,

2

.t_21

“了，

3

此时M(一一，0),

2

综上可知，当t=，，M(—,0)；当1=下，M(,0).

4242

【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积，全等三角形的性质，以及

分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键.

例6.(2019•上海嘉定区•上外附中八年级月考)如图，已知一次函数y=kx+3的图形经

过点A(1,in),与x轴、y轴分别相交于B、C两点，且NAB0=45°,设点D的坐标为

(3,0)

(1)求m的值；

(2)联结CD、AD,求4ACD的面积；

(3)设点E为x轴上一动点，当NADC=/ECD时，求点E的坐标.

3

【答案】(1)m=4；(2)S/。=3；(3)点E的坐标为(5,0)或(6,0).

【分析】(1)求出点B坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式即可解决问题；

(2)根据=SJBD-SRCD进行计算即可；

(3)分点E在点D左侧和点E在点D右侧两种情况，分别求出直线CEi和直线CE?的解析

式即可得到对应的点E的坐标.

【详解】解：(1)•••一次函数y=kx+3的图象与x轴、y轴分别相交于B、C两点，Z

AB0=45°,

.*.0B=0C=3,

AB(-3,0),

将B(-3,0)代入y=kx+3得：0=-3k+3,

解得：k=l,

工直线BC的解析式为：y=x+3,

当x=l时，y=x+3=4,

，m=4；

(2)VB(-3,0),C(0,3),D(3,0),A(1,4),

ABD=6,

sACO=S-S=，仓K4--^3=3；

t^ArKBisDu△BzjCczDy22

(3)如图所示，当点E在点D左侧时，

'.'ZADC=ZEICD,

AAD/ZCEi,

设直线AD的解析式为:y=kix+b(k#0),

(4=%+8

代入A(L4),D⑶。)得:二.解得:]k[=—2

b=6

工直线AD的解析式为：y=-2x+6,

故设直线CEi的解析式为：y=-2x+c,

代入C(0,3)得：c=3,

・・・直线CEi的解析式为：y=-2x+3,

3

当y=0时，解得：尢=一,

2

3

.'.E)(-,0)；

2

当点E在点D右侧时，AD与CEz交于点F,

VZADC=ZE2CD,

・・・FC=FD,

V0B=0D=3,ZAB0=45°,

AZCDB=45°,

AZACD=45°+45°=90°,即NACF+NFCD=90°,

VZCAF+ZFDC=90°,

.'.ZACF=ZCAF,

.\FC=FA,

・・・F为线段AD的中点,

••.点F的坐标为(2,2),

设直线CE?的解析式为：y=k2x+3,

代入F(2,2)得：2=2月+3,解得：&=一g，

直线C&的解析式为：y=—(x+3,

当y=0时，解得：x=6,

,•.E2(6,0),

3

综上所述，点E的坐标为(一，0)或(6,0).

2

【点睛】本题是一次函数与儿何综合题，考查了待定系数法求函数解析式，-次函数的图

象和性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积计算以及等腰三角形的判定和性质等知

识，熟练掌握待定系数法，灵活运用数形结合的思想是解答本题的关键.

例7..(2019•上海市市西初级中学八年级期中)如图，在平面直角坐标系中，点

4—6,0),8(-4,3),边A3上有一点P(m,2),点。，。分别在边Q4,OB上，联结

CD,CD//AB,联结PC,PD，BC.

(1)求直线AB的解析式及点P的坐标;

(2当CQ=8Q时，求出点。的坐标;

(3)在(2)的条件下，点R在射线上，SMB0=S&RBO,请直接写出点R的坐标.

314

【答案】(1)直线AB解析式为y=-x+9,P点坐标为(-一，2)(2)C点坐标为(-2,

23

0)(3)R(2,-6).

【分析】(1)由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得直线AB的解析式，再把P点坐

标代入直线解析式可求得P点坐标；

(2)由条件可证明△BPQ四△0)€),可证得四边形BDCP为平行四边形，由B、P的坐标可求

得BP的长，则可求得CD的长，利用平行线分线段成比例可求得0C的长，则可求得C的坐

标；

(3)由条件可知AR〃B0,故可先求出直线OB,BC的解析式，再根据直线平行求出AR的

解析式，联立直线AR、BC即可求出R点坐标.

【详解】(1)设直线AB解析式为y=kx+b,

\-4k+b=3k=-

把A、B两点坐标代入可得《〃，八，解得<2,

-6k+b=Q

b=9

3

直线AB解析式为y=-x+9,

2

,/P(九2)在直线AB上,

3-14

.'.2——m+9,解得m=---,

23

14

.•.P点坐标为(-一，2)；

3

(2)CD//AB.

.,.ZPBQ=ZDCQ,

在和aDCQ中

ZPBQ=NDCQ

<CQ=BQ

NPQB=ZDQC

.'.△PBQ^ADCQ(ASA),

ABP=CD,

・・・四边形BDCP为平行四边形，

14

・・・8(-4,3),(■—,2),

3

.\CD=BP=J(-4+y)2+(3-2)2=--,

VA(-6,0),

•••OA=6,AB=J(-4+6,+(3-0)2=岳,

；CD〃AB,

.'.△COD^AAOB

y/l3

•COCD

upco,解得co=2,

■AO~AB

6-V13

；.C点坐标为(-2,0)；

(3),•=S\RBO，

二点A和点R至IJBO的距离相等,

.,.BO//AR,

3

设直线BO的解析式为尸nx,把8(-4,3)代入得3=-如，解得n=—-x

4

3

・,・宜线BO的解析式为y二-一x,

4

3

・・・设直线AR的解析式为y=--x+e,

4

3

把A(-6,0)代入得0=--X(-6)+e

9

解得e=--

2

39

..•直线AR的解析式为y=--x--,

42

设直线BC解析式为y=px+q,

把C、B两点坐标代入可得《-^〜k+b,-3八，解得＜

一2人+8=0

b=-3

3

［线AB解析式为y=­x-3,

2

联立

y=--x-3

I2

x=2

解得《,

y=-6

AR（2,-6）.

【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的判定和性质、勾股

定理、平行四边形的判定和性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积等知识点，解

题的关键是熟知待定系数法求111函数解析式.

例8.（2020•上海嘉定区•八年级期末）在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数

4

y=-的图像与x轴、），轴分别相交于点A、B,且与两坐标轴所围成的三角形的

面积为6.

（1）直接写出点A与点3的坐标（用含匕的代数式表示）；

（2）求2的值;

4

（3）如果一次函数y=—+8的图像经过第二、三、四象限，点C的坐标为（2,m）,

其中机＞0,试用含机的代数式表示△ABC的面积.

33

【答案】⑴A(-^O)；8(0,b)(2)±4(3)-m+10

4

【分析】(1)由一次函数y=-gx+8的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B,令y二。求

Hlx,得到A点坐标；令x=0,求出y,得到B点坐标；

4

(2)根据一次函数y=-］无+人的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为6列出方程,

即可求出b的值；

4

(3)根据一次函数y=--x+b的图象经过第二、三、四象限，得出b=-4,确定A(-3,

33

0),B(0,-4).利用待定系数法求出直线AC的解析式，再求出D(0,—m),那么BD二g

m+4,再根据SAABC^S△ABI)+SADBCf即可求解.

4

【详解】解：(1)•・•一次函数支--x+b的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B,

3

433

・••当y=0时，x+b=O,解得x=-b,则A(—b,0),

344

当x=0时,y=b,则B(0,b)；

故A(-b,O)；B(O,b)；

4

ii3

(2)-S^OB=-OA.OB=---h-\b\^6

b2=16»

h=±4；

(3)・・•函数图像经过二、三、四象限,

b=Y,

4)

；・y=­X—4.

3

.・・4—3,0),5(0,-4).

设直线AC的解析式为y=&+r,

0=—3k+1

将A、C坐标代入得＜

m=2k+t

解得《

3

设直线AC与y轴交于点D，则r＞（O,-/n）.

3

...BD^-m+4

5

133

•••^BC=--（-/n+4）.（3+2）=-/«+10.

【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数的性质，利

用待定系数法求一次函数的解析式.

例9.（2020•上海金山区•八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数

y=履（％W0）的图像经过点A（l,'，点B的坐标为（2,6）.

（1）求女的值；

（2）求△。钻的面积；

（3）若点C（不与点A重合）在此正比例函数丁=日（攵。0）图像上，且点C的横坐标为

a,求A4BC的面积.（用。的代数式表示）

【答案】⑴％=；：⑵SAOAB=1；(3)=54-5或SAABC=5。

【分析】（1）利用待定系数法求在的值;

（2）求直线切的解析式，从而求得〃点坐标，然后利用三角形面积公式求解；

（3）过点C做宙Ly轴，交46于点区求得宜线油的解析式，从而求得£1点坐标，然后

利用三角形面积公式求解

【详解】解：⑴将4L；）代入正比例函数）=区化彳0）中得：k=g

（2）设直线仍的解析式为y=如，将取2,6）代入，得：

2m=6,解得：m=3

直线您的解析式为：y=3x

过点/作4ax轴，交0B于点D

则〃点坐标为（1,3）

：.AD=3--=-

22

S/VMB=gx2A£>=?

（3）由题意可得：C点坐标为

过点C做血y轴，交仍于点E

设直线四的解析式为y=3+b,将A（l,；）,/，（2,6）代入，得:

\,1[,11

h+b=—"—

<2,解得：''2

2k]+h=6b=-5

直线力6的解析式为：y=-x-5

・"点坐标为（%射

I，一w

：.EC-

11111

111010

-------a------

41111

【点睛】本题考查一次函数与几何综合，掌握一次函数图像上点的坐标特点，利用数形结

合思想解题是关键.

3

例10.(2019•上海市西延安中学八年级期中)已知一次函数y=--x+6的图象与坐标轴交

4

于A、B点(如图)，AE平分NBA0,交x轴于点E.

(1)求点B的坐标；

(2)求直线AE的表达式；

(3)过点B作BFLAE,垂足为F,连接0F,试判断△OFB的形状，并求△OFB的面积.

【答案】(1)B(8,0)；(2)直线AE的表达式为y=-2x+6：(3)△OFB为等腰三角形，SA

(»产8.

3

【分析】(1)对于一次函数y=--x+6,令y=0和x=0求出对应的x与y的值，确定出0A

4

及0B的长，即可确定出B的坐标；

(2)由(1)得出A的坐标，利用勾股定理求出AB的长，过E作EG垂直于AB,由AE为

角平分线，利用角平分线定理得到EO=EG,利用HL可得出直角三角形AOE与直角三角形

AGE全等，可得出AO=AG,设OE=EG=x,由OB-OE表示出EB,由AB-AG=AB-AO表示出BG,

在直角三角形BEG中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定

III0E的长,得出E的坐标，设直线AE的解析式为y=kx+b(kWO),将A和E的坐标代

入，得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值，即可得到直线AE的解析

式；

(3)延长BE与y轴交于K点，由AF为角平分线得到一对角相等，再由AF与BF垂直得到

一对直角相等，以及AF为公共边，利用ASA得出三角形AKF与三角形ABF全等，可得出

AK=AB,利用三线合一得到F为BK的中点，在直角三角形OBK中，利用斜边上的中线等于

斜边的一半得到OF为BK的一半，即OF=BF,过F作FH垂直于x轴于H点，利用三线合一

得到H为0B的中点，由0B的长求出0H的长，即为F的横坐标，将求出的横坐标代入直线

AE解析式中求出对应的纵坐标，即为HF的长，以0B为底，FH为高，利用三角形的面积公

式即可求出三角形BOF的面积；

3

【详解】(1)对于y=-：x+6,

4

当x=0时，y=6；当y=0时，x=8,

，0A=6,0B=8,

在RtZ\AOB中，根据勾股定理得：AB=1O,

则A(0,6),B(8,0)；

(2)过点E作EG_LAB,垂足为G

；AE平分NBAO,EO±AO,EG1AG,

；.EG=OE,

AE=AE

在RtZXAOE和RtZXAGE中，｛

EO=EG

.'.RtAAOE^RtAAGE(HL),

.\AG=AO,

设OE=EG=x,则有BE=8-x,BG=AB-AG=10-6=4,

在RtZ^BEG中，EG=x,BG=4,BE=8-x,

22

根据勾股定理得：X+4=(8-X)2,

解得：x=3,

Z.E(3,0),

设直线AE的表达式为尸kx+b(kWO),

b=67伏=—2

将A(0,6),E(3,0)代入y=kx+b得：｛”，/,解得9,

3k+b=2[b=6

则直线AE的表达式为y=-2x+6；

⑶延长BF交y轴于点K,

VAE平分NBAO,

/.ZKAF=ZBAF,

又BF_LAE,

ZAFK=ZAFB=90°

,?AF=AF

.,.△AFK^AAFB,

AFK=FB,即F为KB的中点，

又,••△BOK为直角三角形，

,•.0F=—BK=BF,

2

.,.△OFB为等腰三角形，

过点F作FH_LOB,垂足为H(如图所示)，

VOF=BF,FHXOB,

.,.0H=BH=4,

；.F点的横坐标为4,

设F(4,y),将F(4,y)代入y=-2x+6,得：y=-2,

FH=|-2|=2,

则SA。1产—OB«FH=—X8X2=8.

22

例11.如图，已知直线/：y=-2x+2与“轴、y轴分别交于点8、C,将直线y=x向上平移

1个单位长度得到直线用，点。是直线序与y轴的交点，求四边形图如的面积.

【难度】★★

【答案】--

6

【解析】由题意可得：直线处的解析式为y=x+l

二二］解得一

令

♦.•点。是直线四与y轴的交点，/.2(0,1).

♦.,宜线/：y=-2x+2与x轴、y轴分别交于点反C,

:.B(1,0),C(0,2).

••S四边形PQ04=S4COB_S&CPQ=_x2xl--xlx—

【总结】考察四边形面积的求法，不规则图形的面积用割补法来解决.

例12.如图，已知直线/氏y=x+2与直线以：y=交于点4与直线仍：y=3x交于

点夕两点.求△力如的面积.

【难度】★★

【答案】4.

y=x+2(3

【解析】令|y=L，解得：［一_；，则4(-3,-1).

令"3」解得：0=3'则吗)•

设宜线46与x轴相交于G则C(-2,0),

,•SaOAB=S^OAC+S&OCB=-x2x3+—x2xl=4.

【总结】考察三角形面积的求法,不能直接求面积则用割补法来解决，注意交点坐标的求法.

例13.如图，已知直线y=x+3的图像与x轴、y轴分别交于4、3两点,直线/经过原

点，与线段48交于点G把△/纺的面积分为2：1两部分，求直线/的解析式.

【难度】★★

［答案］y=—2xsKy=—^x.

【解析】•.•直线y=x+3的图像与x轴、y轴分别交于4、6两点,

：.A(-3,0),B(0,3),

.19

；•5AOAB=-X3X3=--

2

当SAOBC=g时，

i79

则]x3xyc=]X],则y。=2，

・・•。点在直线4?上，."（一1,2）,

则直线，的解析式为：y=-2x：

当S&OBC=3S40BA时»

11Q

则耳x3x>c=1x5,则ye=1，

•・•。点在直线4?上，・・・「（一2,1）,

则直线7的解析式为：y^--x.

2

综上直线/的解析式为y=-2x或y=-；x.

【总结】考察面积的求法，本题中要注意分类讨论.

例14.如图，已知，在矩形4题中，4庐10,小12,四边形如67/的三个顶点反

F、〃分别在矩形加如边/氏BC、为上，AE=2.

（1）如图1,当四边形仍加为正方形时，求△斤C的面积；

（2）如图2,当四边形冰必为菱形，且ma时,求的面积.（用含。的代数式表

示）

H_n

B--3-------------R

FBF

图1图2

【难度】★★★

【解析】⑴过点。作Gk优于"

，二

b______H___________、D

BYM£V-----------------

FMC

图1图2

；四边形硒击为正方形时，ZAEH+ZBEF=90°

•••ZAEH+90°,ZAHE=ZBEF

VZAHE=ZBEF,ZA=ZB,EH=EF,

△A〃Fg/\REF

同理可知：AMFG^/XBEF

：.GM=BF=AE=2

：.FC=BC—BF=1Q,则S&GFC=1。；

(2)过点。作6月_及7于M,连接HF

'：AD//BC,：.ZAHF=ZMFH

:EH//FG,二NEHF=NGFH

ZAHE=ZMFG

VZAHE=ZMFG,ZA=AGMF,EH=GF,

：./XAHE^^MFG

：.GM=AE=2

：.S^CFC=-FC-GM=^(\2-a)x2^\2-a.

【总结】本题主要考察菱形、正方形的性质和全等三角形的判定和性质.

例15.如图1,正方形15(力的边长为2,点/(0,1)和点〃在y轴正半轴上，点6、C在第

一象限，一次函数尸而+2的图像/交4?、而分别于昆F.

(1)若△戚与△比尸的面积比为1：2,求A的值；

(2)联结班当座1平分/砌时，求A的值.

【难度】★★★

【答案】(1)々=1；(2)k=2.

【解析】(1),•,正方形能力的边长为2,点4(0,1)和点〃

在y轴正半轴上，点从C在第一象限,

.♦.6(2,1),<7(2,3),〃(0,3).

•••一次函数y=Ax+2的图像/交4?、必分别于反F,：.E(Q,2).

设尸(川，3),

与△比7的面积比为1：2,

1,

ml.

---------=—,解得：m=\>二6(1,3)

—x(2-/n)x22

VAd，3)在直线尸加+2上，,4=1；

(2)延长BE交切的延长线于H,

,:BE平分/FBA,:.ZFBE=ZABE

'：CD//AB,：.ZH=ZABE,/.ZH=ZFBE,:.FB=HF

'：AE=\,DEA,：.AE=DE

"：AE=DE,ZHDE=ZBAE,ZHED=ZBEA

:.HD=AB=2,：./K~2,3)

设F(n,3)

'：FB=HF,7(«-2)2+22=n+2,解得：〃=g,

：.H-,3)

2

VA-J--3)在直线尸Ax+2上，

2

k=2.

【总结】考察等腰三角形的性质和两点之间的距离公式的运用，注意点的坐标与解析式的关

系.

例16.如图，在平面直角坐标系中，函数尸2x+12的图像分别交》轴、y轴于4、8两

点，过点力的直线交y轴正半轴于点M且点材为线段仍的中点.

(1)求直线4"的表达式；

(2)试在直线4(/上找一点只使得见敏=力，曲请求出点。的坐标；

(3)若点〃为坐标平面内任意一点，是否存在点〃，使以力、B、M、〃为顶点的四边

形

是等腰梯形?若存在，请直接写出点〃的坐标；若不存在，请说明理由.

【难度】★★★

【答案】(1)y=x+6；(2)P(6,12)或刀(一18,—12)；

(3)M-12,0)或〃(一6,⑻或//(——).

55

【解析】（1）•••函数y=2x+12的图像分别交A■轴、y轴于4、6两点,

."（一6,0）,BS,12）

•••点必为线段必的中点，/.MO,6）,

则直线4V的表达式为y=x+6-

（2）当点。在图/的延长线上时

：.OP//AB,则可知直线神的表达式为y=2x.

解得:x=6.、

在直线4材上，，令>=2x,・・・P(6,12)；

y=x+6y=12

当〃在川/的反向延长线上时，过尸点作外U仍，乖足为〃

设Pin,n+&)

•S^ABP=S&BPN一S&ABO-S梯形AONP，5k脉=

—(-/?-6*6—〃)一gx6xl2—gx(6—〃一6)x(—〃-6)=gx6xl2,解得:/?=—18>

则户(-18,-12).

（3）存在点〃，使以尔B、M、〃为顶点的四边形是等腰梯形.

若以4M为底，砌为腰，过点6作加/的平行线,当点〃（一120)时,以4、B、M、H

为顶点的四边形是等腰梯形;

若以网为底,可/为腰，过点力作冽/的平行线,当点//（一6,⑻时,以4、B、M、H

为顶点的四边形是等腰梯形;

当点〃（-自，1Q

若以初为底，掰为腰，过点”作四的平行线,匕）时，以力、B、M、

55

〃为顶点的四边形是等腰梯形.

【总结】本题综合性较强，本题一方面考察面积的确定，另一方面考察等腰梯形的性质和分

类讨论.

例17.如图1,已知直角坐标平面内点/(2,0),P是函数y=x(x>0)图像上一点，PQL

［尸交y轴正半轴于点Q.

(1)试证明：AP=PQ-,

(2)设点尸的横坐标为a,点0的纵坐标为b,那么8关于a的函数关系式是—

(3)当以.=上也门时，求点尸的坐标.

3

【难度】★★★

【答案】⑴见解析；(2)b=2a-2；

(3)P--»-----1或/^――f]

(22)(22J

【解析】(1)过尸作x轴、y轴的垂线，垂足分别为从T,

V是函数y=x(尤＞0)图像上一点

：.PH=PLPHX.PT

■:PQLAP,：.ZAPH=ZQPT

VZAPH=ZQPTfPH=PT,ZAHP=ZQTP

：.APHA^APTQ

：,AP=PQ；

(2)由(1)可得：AH=2-a=TQ

・・•OQ+TQ=OT=OH，

•*.b+2-a=a，

即。=勿—2；

(3)设P(a,a)，

1

:5谶00=]。4。。=2々-2，SAAPQ=-AP=a--2a+2,

2a—2=—(a2—2。+2),解得：a='-后.

3V72

，化印斗或在正,2T|.

[22)[22J

【总结】本题主要考察全等的运用，及三角形面枳的求法,注意利用面积公式确定点的坐标.

模块二：与面积相关的函数解析式

知识精讲

本节主要研究点在运动的背景下，产生的面积与动点之间的关系，关键点是找出决定这

个面积变化的几个量是怎样变化的，重点在于思维能力的培养，难度较大.

例题解析

例1.如图，矩形中，止1,力止2,"是切的中点，点夕在矩形的边上

沿Af3fCfM运动,试写出的面积y与点一经过的路程x之间的函数关系，

写出定义域，并画出函数图像.

【难度】★★

【解析】当〃在46上运动时，即0<x41,

y="APM=5AD-AP=x；

当一在火上运动时，即1<XV3,

•^^APM=S梯形ABGW—S&ABP~S^PCM>

._c_3x-13-x_x5

7

当P在©/上运动时，即3<x4,，

2

y=S