2023年高考数学总复习：计数原理（附答案解析）

2023年高考数学总复习：计数原理

一.选择题（共8小题）

1.（2021春•韩城市期末）公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式

有（）种.

A.从5B.「5C.105D.510

A10b10

2.（2021春•赣榆区校级期末）如图，湖面上有4个相邻的小岛A,&C,D,现要建3座

桥梁，将这4个小岛连接起来共有机种不同的方案，则机的值为（）

A.4B.8C.12D.16

等

333于

C+C

3.(2021春•扬州期末)熄+C459

A.120B.210C.126D.240

4.(2020春•湖北期末)满足条件A2>C3的自然数〃有()

nn

A.7个B.6个C.5个D.4个

5.（2021春•济宁期末）2名老师和4名学生共6人参加两项不同的活动，每人参加一项活

动，每项活动至少有2人参加，但2名老师不能参加同一项活动，则不同的参加方式的

种数为（）

A.20B.28C.40D.50

6.（2021春•道里区校级期末）用0,1,2,3,4,5,6构成无重复数字的三位偶数共有（）

个

A.75B.90C.105D.120

7.(2021春•抚州期末)已知(JT-1)(2x-1)7=ao+t/i(x-1)+ai(x-1)，…+。9(x-1)

9,则〃2+«4+期+。8=()

A.10935B.5546C.5465D.5468

8.（2021春•朝阳区校级期末）（人工）11的展开式的二项式系数之和为256,则展开式中

的含人项的系数是（）

A.112B.-112C.60D.-60

二.填空题（共4小题）

9.（2021•金华模拟）如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,O,E,广，G,H八个点

涂色，要求每个点涂一种颜色.且图中每条线段上的点颜色不同，则不同的涂色方法有

种.

10.（2014•浙江）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分

配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有种（用数字作答）.

11.（202。•新课标n）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只夫1个小区,

每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有种.

12.（2020秋•海淀区校级期末）四根绳子上共挂有10只气球，绳子上的球数依次为1,2,

3,4,每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气

球都打破的不同打法数是.（用数字表示）

O000

-

6-

00

--

0

0

0

三.解答题（共4小题）

13.（2020•南通模拟）已知（1+x）2n=ao+aiA+«2X2+,•,+a2,»x2z,.

（1）求0+42+03+…+〃2”的值；

（2）求工-工+工-_L+-+—L--，的值.

ala2a3a4a2kla2n

14.（2021春•十堰期末）有3名易生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总

数.

（1）选5人排成一排;

（2）排成前后两排，前排4人，后排3人；

（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾：

（4）全体排成i排，女生必须站在一起；

（5）全体排成一排，男生互不相邻.

15.（2021春•泗阳县校级期末）将四个编号为1,2,3,4的小球放入四个编号为1,2,3,

4的盒子中.

（1）若每盒至多一球，则有多少种放法？

（2）若恰好有一个空盒，则有多少种放法？

（3）若每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则有多少种放

法？

16.（2013•西湖区校级模拟）男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5

人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？

（1）男运动员3名，女运动员2名；

（2）至少有1名女运动员；

（3）队长中至少有1人参加；

（4）既要有队长，又要有女运动员.

2023年高考数学总复习：计数原理

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

1.（2021春•韩城市期末）公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式

有（）种.

A.A5B.「5C.105D.510

A10L10

【考点】计数原理的应用.

【专题】计算题；转化思想；定义法；排列组合；数学运算.

【分析】根据题意，分析可得每个乘客有5种下车的方式，由分步计数原理计算可得答

案.

【解答】解：公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，每位乘客下车的方法有5种，乘

客下车的可能方式有夕°种，

故选：£）.

【点评】本题考查了分步计数原理，属于基础题.

2.（2021春•赣榆区校级期末）如图，湖面上有4个相邻的小岛4,8,C,D,现要建3座

桥梁，将这4个小岛连接起来共有种不同的方案，则的值为（）

♦

A.4B.8C.12D.16

【考点】计数原理的应用.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；数学运算.

【分析】根据题意，利用排除法分析：首先分析在4个小岛之间建造桥梁的全部数目，

再排除其中不能把4个小岛连接起来的情况，分析可得答案.

【解答】解：根据题意，4个小岛之间共有6个位置可以建设桥梁，在其中任选3个建造

桥梁，有。63=20种结果，

其中有4种不能把4个小岛连接起来，则符合题意的建造方法有20-4=16种；

故选：。.

【点评】木题考查组合数公式的应用，注意利用排除法分析，属于基础题.

等

333+C3于(

3.（2021春•扬州期末）3+C4*C59

A.120B.210C.126D.240

【考点】组合及组合数公式.

【专题】转化思想；定义法；排列组合；数学运算.

【分析】利用组合数的性质进吁求解即可.

【解答】解：由组合数的性质可得，

33334333

C+C+CC+C+

34+C594+C45+C9

-C4

9

=U1G

=10X9X8X7=210

4X3X2X1

故选：B.

【点评】本题考查了组合数性质的应用以及组合数公式的运用，考查了化简运算能力,

属于基础题.

4.（2020春•湖北期末）满足条件A2>C3的自然数〃有（）

nn

A.7个B.6个C.5个D.4个

【考点】排列及排列数公式；组合及组合数公式.

【专题】转化思想；综合法；排列组合；数学运算.

【分析】直接根据排列数以及组合数公式求解即可（注意范围的限制）.

【解答】解：:泡？〉。?=〃（n-1）>n（n-l）（n-2）^,2<6

nn3X2X1

・・・〃V8；

•・・〃23：

故〃可取：3,4,5,6,7；

即满足条件A2＞。3的自然数儿有5个.

nn

故选：C.

【点评】本题考查了排列数公式的应用问题，是基础题目.

5.（2021春•济宁期末）2名老师和4名学生共6人参加两项不同的活动，每人参加一项活

动，每项活动至少有2人参加，但2名老师不能参加同一项活动，则不同的参加方式的

种数为（）

A.20B.28C.40D.50

【考点】排列、组合及简单计数问题.

【专题】分类讨论；综合法；排列组合；数学运算.

【分析】由题意参加方式分为两类：一类是：1名老师+1名学生，1名老师+3名学生；

另一类是：1名老师+2名学生.1名老师+2名学生.利用排列与组合计算公式即可得出

结论.

【解答】解：由题意参加方式分为两类：

一类是：1名老师+1名学生，1名老师+3名学生；另一类是：1名老师+2名学生，1名

老师+2名学生.

・・・不同的参加方式的种数=A乳C；C：=28.

故选：B.

【点评】本题考查了排列与组合的计算公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能

力，属于基础题.

6.（2021春•道里区校级期末）用0,1,2,3,4,5,6构成无重复数字的三位偶数共有（）

个

A.75B.90C.105D.120

【考点】排列、组合及简单计数问题.

【专题】分类讨论；转化法；二项式定理；逻辑推理.

【分析】利用元素优先法，结合偶数的定义分别进行讨论求解即可.

【解答】解：若个位数字是0,则有A/=30个，

若个位数字是2,则先排首位有A1=5，

然后连同0在内再选一个排在十位有5种，此时共有5X5=25种,

若个位数是4或6和个位数是2方法相同，

则共有3(H25X3=105,

故选：C.

【点评】本题主要考查简单计算的求解，利用分类讨论的数学，以及元素优先法是解决

本题的关键，是基础题.

7.(2021春•抚州期末)已知(x2-1)(2x-1)1=ao+a\(x-1)+及(x-1)2+***+«9(x-1)

9»则。2+。4+«6+48=()

A.10935B.5546C.5465D.5468

【考点】二项式定理.

【专题】转化思想；转化法；二项式定理；数学运算.

【分析】利用换元法先进行转化，然后利用赋值法进行求解即可.

【解答】解：令x-1—,

则(t2+2t+2)(l+2t)aQ+a।t+a2t2+…+agt”

令r=0,则砌=2.

令1=1,则《0+〃|+°2+,+〃9=10935,

令1=-1,则曲・。1+堂+••--s=-1,

所以。0+。2+44+。6+。8=5467,所以。2+。4+。6+〃8=5465.

故选：C.

【点评】本题主要考多项式的应用，利用换元法以及赋值法是解没本题的关键，是中档

题.

8.(2021春•朝阳区校级期末)(4-2)n的展开式的二项式系数之和为256,则展开式中

的含人项的系数是()

A.112B.-112C.60D.-60

【考点】二项式定理.

【专题】方程思想；定义法；二项式定理；数学运算.

【分析】根据二项式系数和求出〃=8,然后求出通项公式，令x的次数为1,求出女的

值即可.

【解答】解:展开式的二项式系数之和为256,

则2〃=256,得〃=8,

则展开式的通项公式A+i=c/(Vx)8~k(­)k=C3b丁7(・2)幺

由史上7=1得女=2,

2

则x项的系数是C：(-2)2=112,

故选：A.

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，根据条件求出展开式的通项公式是解决本题

的关键，是中档题.

二,填空题(共4小题)

9.(2021•金华模拟)如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F,G,〃八个点

涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段上的点颜色不同，则不同的涂色方法有

168种.

【考点】计数原理的应用；排列、组合及简单计数问题.

【专题】分类讨论；分类法；概率与统计；逻辑推理；数学运算.

【分析】分£F,G,〃涂4种，3种或2种颜色，先涂E,F,G,H,再涂A,B,C,

。，再分别计算涂色的方法种数.

【解答】解：①对E，F,G,以涂4种颜色，对于剩下的A,B,C,。各剩2种颜色，

且相领的都含有一种颜色是相同的，

即当某个点取一种颜色时，其它点的颜色是确定的，

则4,B,C,。共有2种情况，共有A：X2=48种；

②对E,F,G,“涂3种颜色，对于E,F,G,"从4种颜色中取3种，即

从这3种颜色中取1种来作重复的一种，即c；=3,

再对这4种颜色进行排列，重复的那种只能在对角，有2个对角，

再对其他不重复的2种进行排列，有A^=2,即2A2=4种，

对于剩下的A,B,C,D,同①一样，各剩2个颜色,

当其中一点取一种颜色时，其他点的颜色是确定的，共有2种L

故共有C；・C；・2A：・2—96种；

③E,F,G,”涂2种颜色，则选2种颜色，涂在对角位置，有c：X2=12种方法，

A,B,C,。共2种颜色，故共有c：X2X2=24种方法，

，一共有48+96+24=168种方法.

故答案为：168.

【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查运算求解能力，是中档题.

10.（2014•浙江）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分

配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有60种（用数字作答）.

【考点】排列、组合及简单计数问题.

【专题】排列组合.

【分析】分类讨论，一、二、三等奖，三个人获得；一、二、三等奖，有1人获得2张,

1人获得1张.

【解答】解：分类讨论，一、二、三等奖，三个人获得，共有A：=24种；

一、二、三等奖，有1人获得2张，1人获得1张，共有C：A：=36种，

共有24+36=60种.

故答案为：60.

【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题.

11.（2020•新课标11）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，

每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有36种.

【考点】排列、组合及简单计数问题.

【专题】计算题；对应思想；定义法；排列组合.

【分析】方法一：先从4人中选出2人作为一组有C42种方法，再与另外2人一起进行

排列有A3?种方法，相乘即可.

方法二：三个小区必有1个小区安排2人，剩下的2人安排其它2个小区，相乘可得.

【解答】解：方法一：因为有一小区有两人，则不同的安排方式共有C42A33=36种.

方法二：三个小区必有1个小区安排2人，剩下的2人安排其它2个小区，故有C3（42A2?

=36

故答案为：36.

【点评】木题考查排列组合及分步计数原理的运用，属于基础题.

12.（2020秋•海淀区校级期末）四根绳子上共挂有10只气球，绳子上的球数依次为1,2,

3,4,每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气

球都打破的不同打法数是一12600.（用数字表示）

O000

-

6-

00

--

0

0

0

【考点】排列、组合及简单计数问题.

【专题】计算题；方程思想；转化思想：排列组合.

【分析】根据题意，将10个气球进行编号1-10,分析可得原问题可以转化为将编号为

1-10的10个小球排列，其中2、3号、4、5、6号，7、8、9、10号小球必须是从左到

右的顺序，按小球从左到右的编号顺序击破小球即可，由倍分法计算可得答案.

【解答】解：根据题意，如图，将10个气球进行编号1-10,

原问题可以转化为将编号为1-10的10个小球排列，其中2、3号、4、5、6号，7、8、

9、10号小球必须是从左到右的顺序，

按小球从左到右的编号顺序击破小球即可，

A10

则有一。.=12600种排列方法，

A滋

则有12600种不同打法，

故答案为：12600.

©Q®

~^

©Y

©

【点评】本题考查排列、组合的实际应用，关键是将原问题转化，利用排列数公式分析.

三,解答题（共4小题）

13.（2020•南通模拟）已知（1+x）2/1=ao+aix+a2^+,,•+«2,»x2/,.

（1）求41+。2+。3+…+。2〃的值；

（2）求工--L+-L-工…'的值.

a

la2a3a4a2kla2n

【考点】二项式定理.

【专题】二项式定理.

【分析】（1）在所给的等式中，令X=0得，。0=1；令X=1得，。0+。1+〃2+々3+…+。2〃=

22，从而求得。|+。2+。3+…+。方的值.

（2）由题意可得以=cX，利用组合数的性质可得±=gn±L（.J।J）,可

出%2n+2%C需

得4------l-=2rr±（_J：-------A-）.要求的式子即空tL-

%c2n2n+2C器i2n+2

会T）,消项化简可得结果.

【解答】解⑴在(l+x)2n=ao+aix+a2X2+'t'+a2nX2n

令X=0得，00=1；令X=1得，00+。1+。2+。3+…+。＞=2叫

于是0+42+43+…+及”=22"-1.

(2)由题意可得次=c?，k=l,2,3,…，2〃，

首先考虑1_k!(2n+l-k)!+(k+1)!(2n-k)!

C黑i(2n+l)!(2n+l)

=k!(2n-k)!(2n+l-k+k+l)=k!(2n-k)!(2n+2)_2n+2

(2n+l)!(2n+l)l(2n+l)叱［

则（―(­^-：~_b卜—J—,）,

%2n+2%端

—1•1―.2।n+l,Vz,1‘-11

故1.1+1_1+...+11=2n+l(

ala2a3a4a2n-1

2nH02nH2nH

=2n±L（」--------）=2n+l（.L-i）=・」_.

2n+2%]C弱2n+22n+ln+1

【点评】本题主要考查二项式定理的应用、赋值法、组合数公式、组合数的性质.关于

组合数的倒数问题一直没有涉及过，注意关注一下，属于难题.

14.（2021春•十堰期末）有3名另生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总

数.

（1）选5人排成一排；

（2）排成前后两排，前排4人，后排3人；

（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；

（4）全体排成一排，女生必须站在一起；

（5）全体排成一排，男生互不相邻.

【考点】排列、组合及简单计数问题.

【专题】计算题；方程思想；转化思想：排列组合；数学运算.

【分析】（1）由排列数公式分析可得答案；

（2）根据题意，分2步分析前排、后排的排法，由分步计数原理计算可得答案；

（3）根据题意，先分析甲的排法，再分析剩下6人的排法，由分步计数原理计算可得答

案；

（4）根据题意，先将4名女生看成一个整体，再将这个整体与3名男生全排列，由分步

计数原理计算可得答案：

（5）根据题意，先排4名女生，排好后有5个空位，在5个人空位中任选3个，安排3

名男生，由分步计数原理计算可得答案.

【解答】解：（1）根据题意，有3名男生、4名女生，共7人，从中选出5人排成一排,

有由5=2520种排法；

（2）根据题意，前排4人，有A74种排法，后排3人，有A3?种排法，

43

则有A7XA3=5040种排法；

（3）根据题意，甲不站排头也不站排尾，有5种情况，

将剩下的6人全排列，有466种排法，

则有5X466=3600种排法；

（4）根据题意，将4名女生看成一个整体，有444种排法，

将这个整体与3名男生全排列，有A44种排法，

则有"X44=576种排法；

（5）根据题意，先排4名女生，有444种排法，

排好后有5个空位，在5个人空位中任选3个，安排3名男生，有A$3种排法，

43

则有/\4X45=1440种排法.

【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题.

15.（2021春•泗阳县校级期末）将四个编号为1,2,3,4的小球放入四个编号为1,2,3,

4的盒子中.

（I）若每盒至多一球，则有多少种放法？

（2）若恰好有一个空盒，则有多少种放法？

（3）若每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则有多少种放

法？

【考点】排列、组合及简单计数问题.

【专题】计算题；方程思想；转化思想：综合法；排列组合；数学运算.

【分析】（1）根据题意，原问题等价于每个盒子放入一个小球，由排列数公式计算可得

答案；

（2）根据题意，分2步进行分析：①将4个小球分为2-1-1的三组，②将4个小盒中

任选3个，放入三组小球，由分步计数原理计算可得答案；

（3）根据题意，分2步进行分析：①先选出1个小球，放到对应序号的盒子里，②列举

其他三个编号与盒子的编号不同的小球的放法，由分步计数原理计算可得答案.

【解答】解：（1）根据题意，若每盒至多一球，即每个盒子放入一个小球，

有｛4=24种情况；

（2）根据题意，分2步进行分析：

①，将4个小球分为3组，其中1组2个小球，另外2组各有1个小球，有C4?=6种分

组方法，

②，将4个小盒中任选3个，放入三组小球，有C43A33=24种情况，

则有6X24=144种不同的放法；

（3）根据题意，分2步进行分析：

①，先选出1个小球，放到对应序号的盒子里，有。/=4种情况，假设4号球放在4号

盒子里，

②，其余三个球的放法为（2,3,1）,（3,1,2）,共2种，

则有恰好有一个球的编号与盒子的编号相同放法有4X2=8种.

【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题.

16.（2013•西湖区校级模拟）男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5

人外出比赛，在