安徽省合肥七中合肥十中2025届高三数学下学期6月联考试题理含解析

PAGE20-安徽省合肥七中、合肥十中2025届高三数学下学期6月联考试题理（含解析）一、选择题（共12小题）.1.已知集合,则A. B. C. D.【答案】B【解析】，，所以，故.选B.2.设△ABC的内角A，B，C所对边为a，b，c，若b＝3，c，B，则角C＝（）A. B. C.或 D.【答案】B【解析】【分析】先利用正弦定理求出sinC，再结合大边对大角推断角C的范围，即可得到角C的值．【详解】解：由正弦定理得：，∴，∴sinC，∵b＞c，∴B＞C，又∵C∈(0，π)，∴C，故选：B．【点睛】本题考查正弦定理，由正弦求三角形内角时，需确定角的范围．3.若，，，则实数，，之间的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】推断三个数a、b、c与0，1的大小，即可得到结果．【详解】∵，∴a=20.3＞20=1，∵,∴b=，又，即0<c<1，所以．故选B．【点睛】本题考查指对幂函数的单调性的应用及指对互化的运算，属于基础题．4.下列说法正确的个数是（）①“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件；②f（x）是其定义域上的可导函数，“f'（x0）＝0”是“y＝f（x）在x0处有极值”的充要条件；③命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；④若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】利用充要条件推断①；函数的极值的概念推断②；否命题概念推断③；复合命题的真假推断④．【详解】解：①“x＞2”⇒“x＞1”，反之不成立，所以“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，①错；②f（x）是其定义域上的可导函数，“f'（x0）＝0”不能说明“y＝f（x）在x0处有极值”，如，，但0不是极值点，反之成立，所以f（x）是其定义域上的可导函数，“f'（x0）＝0”是“y＝f（x）在x0处有极值”的必要条件，②错；③命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；满意否命题的条件，③正确；④若“p且q”为假命题，则p、q至少一个是假命题，所以原推断不成立，④错．故选：A．【点睛】本题考查命题真假的推断，解决此类问题必需对每个命题进行推断要求驾驭相应的学问方法，简单选择错误，属于中档题．5.已知函数，则不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题首先依据以及得出函数是奇函数且在上单调递增，然后依据奇函数以及增函数的性质将转化为，最终通过计算即可得出结果.【详解】因为，所以函数奇函数，因为恒成立，所以函数在上单调递增，故即，所以，，解得或，的取值范围为，故选：C．【点睛】本题考查奇函数以及增函数的相关性质，考查函数奇偶性的推断，考查依据函数的导函数的性质推断函数单调性，考查推理实力与计算实力，是中档题.6.函数，的部分图象如图，且，则的值为（）A.﹣1 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由周期求出，由五点法作图求出的值，由函数的特别值求出，可得函数的解析式，从而求得的值．【详解】依据函数的部分图象，可得：，解得：．由图可得：，可得：，因为，所以.故：.由于：，可得：A，可得.则.故选：A【点睛】本题主要考查依据的部分图像确定其解析式，并求函数值，娴熟驾驭正弦函数的五点作图为解题的关键，属于中档题.7.由曲线与直线，所围成的封闭图形的面积为A. B.C.2 D.【答案】D【解析】依据题意作出所围成的封闭图形，如图所示，图中从左至右三个交点坐标分别为，所以题中所求封闭图形的面积为，故选D.8.已知f（x）是定义在R上的奇函数，且对随意x∈R都有f（x+2）＝f（2﹣x）+3f（2），且f（5）＝﹣3，则f（2024）的值为（）A.6 B.﹣3 C.0 D.3【答案】D【解析】【分析】依据题意，在f（x+2）＝f（2﹣x）+3f（2）中，令x＝0变形可得f（2）＝0，即可得f（x+2）＝f（2﹣x），结合函数奇偶性可得f（x+4）＝﹣f（x），进而可得函数f（x）是周期为8的周期函数，据此结合f（5）＝﹣3求解.【详解】因为对于随意x∈R都有f（x+2）＝f（2﹣x）+3f（2），令x＝0可得：f（2）＝f（2）+3f（2），解得f（2）＝0；则f（x+2）＝f（2﹣x），解得f（﹣x）＝f（4+x），又因为f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），则有f（x+4）＝﹣f（x），所以f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x），即函数f（x）是周期为8的周期函数，所以f（2024）＝f（3+252×8）＝f（3）＝﹣f（﹣3）＝﹣f（5）＝3；故选：D．【点睛】本题主要考查函数奇偶性和周期性的综合应用，还考查了转化求解问题的实力，属于中档题.9.已知函数（）的图象向右平移个单位后关于轴对称，则在区间上的最小值为A. B. C. D.【答案】D【解析】函数，（）的图象向右平移个单位后，可得的图象，再依据所得图象关于轴对称，可得，故，，在区间上，，，故f（x）的最小值为，

故选D.10.已知函数，则函数的零点个数为（）A.1 B.3 C.4 D.6【答案】C【解析】【分析】令,可得,解方程,结合函数的图象,可求出答案.【详解】令,则,令,若,解得或,符合;若,解得,符合.作出函数的图象,如下图,时,;时,;时,.结合图象,若,有3个解;若,无解;若,有1个解.所以函数的零点个数为4个.故选:C.【点睛】本题考查分段函数的性质,考查了函数的零点,考查了学生的推理实力,属于中档题.11.已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是（）A. B. C.（﹣∞，3） D.【答案】B【解析】【分析】求出，然后由可得，即，然后利用导数求出的最大值即可.【详解】∵，，∴，∴，∵存在，使得，即∴，设，∴∴，当时，解得：，当时，即时，函数单调递增，当时，即时，函数单调递减，因为，所以∴，故选：B【点睛】本题考查的是导数的计算和利用导数解决存在性问题，考查了学生的转化实力和计算实力，属于中档题.12.若函数f（x）＝lnx与函数g（x）＝x2+2x+lna（x＜0）有公切线，则实数a的取值范围是（）A.（0，1） B. C.（1，+∞） D.【答案】D【解析】【分析】分别设出切点，求出切线，然后依据切线相等，得到g（x）的切点横坐标与a的关系式，转化为函数的值域问题，进而求出实数a的取值范围.【详解】解：设f（x）切点为（x1，lnx1），因为，所以切线为：y﹣lnx1，即，（x1＞0），设g（x）的切点为（x2，），因为g′（x）＝2x+2，故切线为：y（2x2+2）（x﹣x2）．即．（x2＜0），因为是公切线，所以，消去x1得，lna，令h（x），x∈（﹣1，0），因为，令得：或，所以当时，h′（x）＜0，h（x）在（﹣1，0）上单调递减，故h（x）＞h（0），即，所以．故.故选：D．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义等基础学问，考查了推理论证实力，运算实力，创新意识，考查了函数与方程，分类与整合，转化与化归等数学思想方法，属于难题.二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）.13.已知命题p：“∀x∈（0，+∞），3x＜4x”，则￢p为_____．【答案】∃x0∈（0，+∞），34．【解析】【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：“∀x∈（0，+∞），3x＜4x”，则￢p：∃x0∈（0，+∞），34．故答案为：∃x0∈（0，+∞），34．【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于基础题.14.若函数f（x）＝ex﹣lnx﹣mx在区间（1，+∞）上单调递增，则实数m的取值范围为_____．【答案】【解析】【分析】把函数在上恒成立，转化为在上恒成立，构造新函数，求得函数的单调性与最值，即可求解.详解】由题意，函数，可得，因为函数在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，设，则，所以函数在为单调递增函数，所以，即实数取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查依据函数的单调性求解参数的取值范围问题，其中解答中把函数的单调性转化为在上恒成立是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算实力.15.已知，则_____．【答案】【解析】【分析】由已知结合诱导公式及同角平方关系进行化简即可求解．【详解】因为，所以,又，所以，则＝,故答案为：．【点睛】本题考查诱导公式的综合运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解实力.16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知D为边BC上一点，，，且，则_____．【答案】【解析】【分析】由余弦定理可得，代入已知等式求出A，进而得到，在利用正弦定理结合已知条件得到，由化简即可得到的值．【详解】∵∴整理得：∴，，又∵，∴∵，∴，在中，有，又∵∴由得：，整理得：，故答案为：．【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理实力、运算求解实力.三、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17.已知等比数列的前项和为成等差数列，且．（1）求数列的通项公式；（2）若,证明：数列的前n项和．【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）设等比数列的公比为，运用等差数列的中项性质，结合等比数列的通项公式，可得首项和公比，即可得到答案；（2）由对数的运算性质，可得，，再由数列的裂项相消求和及不等式的性质，即可得证．【详解】解：（1）设等比数列的公比为，由成等差数列知，，即所以，即，又，所以，所以，所以等比数列的通项公式；（2）证明：由（1）知所以，所以数列的前n项和，由，可得．【点睛】本题考查等比数列通项公式、裂项相消法求和、不等式的证明，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理实力、运算求解实力.18.已知函数．（1）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间；（2）在锐角△ABC的内角A，B，C所对边为a，b，c，已知f（A）＝﹣1，a＝2，求△ABC的面积的最大值．【答案】（1）单调递减区间为和．（2）．【解析】【分析】（1）先把函数f（x）化简成．再利用正弦函数的单调性求单调区间．（2）把f（A）＝﹣1代入函数解析式求出A，再有余弦定理列出b，c的方程，利用均值不等式求出bc的最大值，进而求△ABC的面积的最大值．【详解】解：（1）∴，∴（k∈Z）∴函数f（x）在[0，π]的单调递减区间为和．（2）∵△ABC为锐角三角形，∴，又，即．∵a2＝b2+c2﹣2bcosA＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，又a＝2，∴bc≤4，∴．当且仅当b＝c＝2时，△ABC的面积取得最大值．【点睛】本题考查求正弦型函数的单调性，考查余弦定理的应用，三角形面积公式，解题关键是化函数为标准型三角函数，即形式，然后结合正弦函数性质求解．19.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中点，现以AE为折痕将△DAE向上折起，D变为D'，使得平面D'AE⊥平面ABCE．（1）求证：平面ABD'⊥平面BD'E；（2）求直线CE与平面BCD'所成角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）．【解析】【分析】（1）证明AE⊥BE，BE⊥AD'，结合D′E⊥AD′，推出AD′⊥面BD′E，然后明面ABD′⊥面BD′E．（2）建立空间直角坐标系，求出平面BCD′的法向量，利用空间向量的数量积求解直线CE与平面BCD'所成角的正弦值即可．【详解】（1）证明：AE＝BE，AB＝4，∴AB2＝AE2+BE2，∴AE⊥BE，∵平面D′AE⊥平面ABCE，且交线为AE，∴BE⊥平面D'AE，又平面，∴BE⊥AD'，又D′E⊥AD′，AE∩D′E＝E，∴AD′⊥面BD′E，∵AD′⊂面ABD′，∴面ABD′⊥面BD′E．（2）解：取中点为，连接，因为，则，又平面D′AE⊥平面ABCE，且交线为AE，所以平面ABCE，如图建立空间直角坐标系，则A(4，2，0)、C(0，0，0)、B(0，2，0)、，E(2，0，0)，从而（2，0，0），，．设为平面BCD′的法向量，则，取，则，，所以．，故直线CE与平面所成角的正弦值为．【点睛】本题考查证明面面垂直，考查用空间向量法求线面角，驾驭面面垂直的判定定理是解题基础，建立空间直线坐标系是解题关键．20.已知F是抛物线C：x2＝4y的焦点，过E（0，﹣1）的直线l与抛物线分別交于A，B两点．（1）设直线AF，BF的斜率分別为k1，k2，证明：k1+k2＝0；（2）若的面积为，求直线l的方程．【答案】（1）见解析；（2）y＝±2x﹣1．【解析】【分析】（1）当直线l的斜率为不存在时，易得不合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx﹣1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，与x2＝4y联立，利用韦达定理以及斜率关系，化简即可得证；（2）由题意，解得k，然后求出直线l的方程，即可得解.【详解】（1）证明：当直线l的斜率为不存在时，l与抛物线只有一个交点，不合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx﹣1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，与x2＝4y联立得：x2﹣4kx+4＝0，，解得或，则x1+x2＝4k，x1x2＝4，抛物线C：x2＝4y的焦点，∴，得证；（2）由题意，解得k＝±2，∴直线l的方程为：y＝±2x﹣1．【点睛】本题考查了抛物线与直线的综合应用，考查了运算求解实力与逻辑推理实力，合理转化与细心计算是解题的关键，属于中档题.21.某蛋糕店制作并销售一款蛋糕，制作一个蛋糕成本4元，且以9元的价格出售，若当天卖不完，剩下的则无偿捐献给饲料加工厂．依据以往100天的资料统计，得到如表需求量表：需求量/个[100，110）[110，120）[120，130）[130，140）[140，150]天数1525302010该蛋糕店一天制作了这款蛋糕X（X∈N）个，以x（单位：个，100≤x≤150，x∈N）表示当天的市场需求量，T（单位：元）表示当天出售这款蛋糕获得的利润．（1）当x＝135时，若X＝130时获得的利润为T1，X＝140时获得的利润为T2，试比较T1和T2的大小；（2）当X＝130时，依据上表，从利润T不少于560元的天数中，按需求量分层抽样抽取6天．（i）求此时利润T关于市场需求量x的函数解析式，并求这6天中利润为650元的天数；（ii）再从这6天中抽取3天做进一步分析，设这3天中利润为650元的天数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．【答案】（1）T1＜T2．（2）（i），3（ii）见解析【解析】【分析】（1）X＝130时，求出T1，X＝140时，求出T2，推断即可．（2）（i）当X＝130时，利润，求出T≥560时的