第四章数列全章总结提升课件高二上学期数学人教A版选择性

第四章数列全章总结提升人教A版

数学选择性必修第二册知识网络·整合构建重难探究·能力素养速提升专题突破·素养提升专题一等差与等比数列的基本运算1.数列的基本运算以小题居多,但也可作为解答题第一步命题,主要考查利用数列的通项公式及求和公式来求数列中的项、公差、公比及前n项和等,一般试题难度较小.2.通过等差、等比数列的基本运算,培养数学运算、逻辑推理等核心素养.【例1】

[2024安徽阜阳高二期末]已知数列{an}是等差数列,且a2=-25,2a3+a5=-50.(1)求{an}的通项公式;(2)若数列{an}的前n项和为Sn,求Sn的最小值及取得最小值时n的值.所以当n=6或n=7时,Sn取得最小值,最小值为-105.规律方法

等差数列或等比数列的通项公式an与前n项和公式Sn,共涉及五个量:a1,d,an,Sn,n或a1,q,an,Sn,n,其中a1,d,n或a1,q,n为基本量,“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1,d或q,an,Sn,n的方程组,利用方程的思想求出需要的量,当然在求解中若能运用等差(比)数列的性质会更好,这样可以化繁为简,减少运算量,同时还要注意整体代入思想方法的运用.变式训练1[2024全国甲,文17]已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=3an+1-3.(1)求{an}的通项公式;(2)求数列{Sn}的通项公式.解

(1)∵2Sn=3an+1-3,①∴当n≥2时,2Sn-1=3an-3.②专题二等差、等比数列的性质应用【例2】

(1)[2024新疆伊犁高二统考]记等差数列{an}的前n项和为Sn,若S11=33,则a4+a6+a8=(

)A.6 B.7

C.8

D.9D(2)[2024河南周口高二校联考]设等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,D规律方法

等差、等比数列的常用性质(1)如果数列{an}为等差(比)数列,那么数列an,an+k,an+2k,an+3k,…仍为等差(比)数列.(2)如果m+n=p+q,在等差数列{an}中,有am+an=ap+aq;在等比数列{an}中,有aman=apaq.(3)如果数列{an}为等差(比)数列的前n项和为Sn,那么数列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍为等差(比)数列.变式训练2[2024云南昆明高三模拟]已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若

A.8 B.9

C.16

D.17A专题三等差、等比数列的判定1.判断等差或等比数列是数列中的重点内容,经常在解答题中出现,对给定条件进行变形是解题的关键所在,经常利用此类方法构造等差或等比数列.2.通过等差、等比数列的判定与证明,培养逻辑推理、数学运算等核心素养.【例3】

[2024江苏连云港高二期末]若数列{an}满足:a1=2,a2=8,对任意的又由a1=2,a2=8,得a2-3a1=2≠0,规律方法

判断和证明数列是等差(比)数列的方法(1)定义法:对于n≥1的任意自然数,验证an+1-an(或

)为同一个常数.(2)中项公式法:①若2an=an-1+an+1(n∈N*,n≥2),则{an}为等差数列.②若

=an-1·an+1(n∈N*,n≥2且an≠0),则{an}为等比数列.(3)通项公式法:an=kn+b(k,b是常数)⇔{an}是等差数列;an=c·qn(c,q为非零常数)⇔{an}是等比数列.(4)前n项和公式法:Sn=An2+Bn(A,B为常数,n∈N*)⇔{an}是等差数列;Sn=Aqn-A(A,q为常数,且A≠0,q≠0,q≠1,n∈N*)⇔{an}是公比不为1的等比数列.(2)试问a1a2是否是数列{an}中的项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由.专题四数列求和1.数列求和一直是高考考查的热点,并且多以与不等式的证明或求解相结合的形式出现.一般数列的求和,主要是将其转化为等差数列或等比数列的求和问题.2.通过数列求和,培养数学运算、逻辑推理等核心素养.【例4】

[2024江西校级高二月考]已知数列{an}的首项a1=3,其前n项和为Sn,且

=3Sn+2n+3(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式an;(2)设bn=n(an+1),求数列{bn}的前n项和Tn.上式可化为an+1+1=3(an+1),所以{an+1}是首项为4,公比为3的等比数列,则an+1=4×3n-1,即an=4×3n-1-1.规律方法

数列求和的常用类型(1)错位相减法:适用于各项由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的数列.把Sn=a1+a2+…+an两边同乘以相应等比数列的公比q,得到qSn=a1q+a2q+…+anq,两式错位相减即可求出Sn.(2)裂项相消法:即将数列的通项分成两个式子的代数和的形式,然后通过累加抵消中间若干项的方法.(3)拆项分组法:把数列的每一项拆成两项(或多项),再重新组合成两个(或多个)简单的数列,最后分别求和.(4)并项求和法:与拆项分组相反,并项求和是把数列的两项(或多项)组合在一起,重新构成一个数列再求和,一般适用于正负相间排列的数列求和,注意对数列项数(是奇数还是偶数)的讨论.变式训练4[2024吉林高三校级模拟]在公差不为0的等差数列{an}中,a4=5,且a2,a3,a6成等比数列.(1)求{an}的通项公式和前n项和Sn;解

(1)由题知,等差数列{an}的公差d≠0,a4=5,又a2,a3,a6成等比数列,重难探究·能力素养速提升易错易混·衔接高考1234561.[人教B版教材习题改编]求和:1+4+7+…+(3n+1)=

.

1234562.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S9=3S3,则该数列的公比q=

.

1234563.已知等比数列{an}的前n项和Sn满足an+1=Sn+1(n∈N*),求首项a1的值及{an}的通项公式.解

当n≥2时,an=Sn-1+1,an+1=Sn+1,两式相减得an+1-an=Sn-Sn-1,即an+1=2an(n≥2),因为数列{an}是等比数列,所以公比为2,当n=1时,a2=a1+1,即2a1=a1+1,所以a1=1,且a2=2a1满足题意,所以{an}的通项公式为an=2n-1.1234564.[2023全国新高考卷Ⅰ,7]设Sn为数列{an}的前n项和,设甲:{an}为等差数列;乙:{}为等差数列,则(

)A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件C123456当n≥2时,an=Sn-Sn-1=A(2n-1)+B=2An-A+B.当n=1时也符合上式,故an=2An-A+B,故{an}为等差数列,则甲是乙的必要条件.综上,甲是乙的充要条件.故选C.1234565.[2023全国乙,理15]已知{an}为等比数列,a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,则a7=

.

-2解析(方法1)设等比数列{an}的公比为q,则由a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,(方法2)设{an}的公比为q.由a2a4a5=a3a6,可得a2=1.又因为a9a10=a2q7·a2q8=-8,即q15=-8,得q5=-2,则a7=a2·q5=-2.1234566.[2023全国新高考卷Ⅱ,18]已知{an}为等差数列,bn=记Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和,S4=32,T3=16.(1)求{an}的通项公式;(2)证明:当n>5时,Tn>Sn.123456123456当n为奇数时,Tn=a1-6+2a2+a3-6+2a4+a5-6+2a6+…+an-2-6+2an-1+an-6=(-1+14)+(3+22)+(7+30)+…+[(2n-7)+(4n+2)]+2n-3=[-1+3+…+(2n-7)+(2n-3)]+[14+22+…+(4n+2)]所以Tn>Sn.