单元教学设计导数与其应用

课题名称《导数及其应用》单元教学设计

设计者姓名冯德福______________

设计者单位酒泉市试验中学___________

联系电话_________________

《导数及其应用》单元教学设计

(冯德福酒泉市试验中学)

一、教学要素分析

1、数学分析

(1)该单元在整个中学数学中的地位和作用

导数的概念是高校数学微积分的核心概念之一，是中学数学中特殊重要的

内容，在中学数学及高等数学之间起着承前启后的连接作用.导数以不同的形式

渗透到中学数学的好多方面，及中学数学的许多内容都有密切的联系.

导数是探讨函数性质、探求函数的极值最值、求曲线的斜率、证明不等式

等的利器，为解决中学数学问题供应了新的视野。在中学数学中的应用涉及到

函数、三角、数列、不等式、向量、解析几何、立体几何等方面.应用导数

可以特殊便利地处理中学数学问题.同时导数也是解决一些物理、化学问题等

其他实际问题等的有力工具。

(2)导数在实际生活中的应用

导数在物理、化学、生物、天文、地理、经济等领域都有着特殊广泛和主

要的应用.

为了突出导数概念的实际背景，教材选用了两个物理问题作为典型实例，

从平均变更率到瞬时变更率的过程，引出导数概念,揭示导数的本质--导数就

是瞬时变更率。这也是导数的物理意义。

现实生活中经常遇到求利润最大、用料最省和效率最高等优化问题，这些

问题常转化为数学中求函数的最值问题，而导数是求函数最值的强有力工具，

因此我们利用导数解决生活中的优化问题就自然而然地用到导数了。

物理方面，学习了导数及其应用以后，学生可以很简洁地依据做变速直线

运动物体的运动方程：s=s(t),算出物体的瞬时速度，瞬时加速度；对非稳恒

电流，就可以算出其瞬时电流强度；

化学及数学紧密相关。化学中的反应速度、冷却速度等都可以通过微积分

的方法来解决。

(3)该单元的蕴含的基本数学思想和方法，以及数学文化价值

在学问传授上，接受从特殊到一般，从猜想到探究，由感性上升到理性的思

路，让学生充分感受数学学问产生过程，学会进行数学推理和探究方法.

同时，借助函数图象的直观性，即函数的平均变更率就是曲线割线所在直

线的斜率，再利用无限靠近的数学思想得到曲线的切线和导数的关系一一导数

的几何意义，充分体现了数形结合思想和“无限靠近”的极限思想。现实生活

中的优化问题都转化为数学中求函数的最值问题，进一步体现了等价转化思

想。

微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展及其广泛应用开创了向近代

数学过渡的新时期,它为探讨变量及函数供应了重要的方法和手段。教材在多处

介绍了微积分的发展史.例如，在引言中介绍了及微积分紧密相关的“四大问题”,

阐述了微积分在人类科学发展史上的地位，对微积分的意义和作用也作了介绍；

通过拓展性栏目，给学生介绍牛顿法，展示导数在科学探讨中的作用；通过实习

作业，让学生收集微积分创立和发展的有关材料，让学生体会微积分在数学和科

学思想史上价值，关注微积分的文化价值，领悟数学文化，从而进一步树立辩证

唯物主义和历史唯物主义世界观.

2、课程标准视角分析

《一般中学数学课程标准（试验）》（以下简称为《标准》）将《导数及其

应用》这部分内容支配在选修1一1的第三章和选修2—2的第一章。虽然是选修

内容，但它照旧是中学数学中相当重要的一块内容。在选修2—2中还增加了定

积分及微积分基本定理的内容，对运算的要求也略有提高，主要缘由是文科要

求较低,理科对数学的要求更高.

（1）留意导数概念和几何意义

教材让学生从平均变更率起先，通过瞬时变更率引入导数的概念，强化了

对导数本质的相识，同时增加学生对导数几何意义的相识和理解.

（2）运算方面要求略有降低

《标准》对本部分的要求是:能利用导数定义求常见的6个函数的导数；能

利用导数探讨函数的单调性；会求不超过三次的多项式函数的单调区间；会用

导数求不超过三次的多项式函数的极大值、微小值，以及闭区间上不超过三次的

多项式函数最大值、最小值。选修1-1不要求对复合函数求导，就是选修2-2

也仅限于求一些简洁的复合函数的导数。

（3）强化了应用图像探讨函数的方法

新教材中通过图象理解导数概念,强化了函数图象的作用，以图像为主体设

计了“思索”、“探究”、“视察”、例题和练习，把学生从抽象的极限定义中

解放出来，让学生体验到导数探讨函数的优越性。

（4）突出导数的实际应用

导数是探讨函数增减、变更快慢、最大（小）值等问题最一般，最有效的工

具。《标准》对导数的运用有较高的要求。从导数概念的引入，到导数的应用举

例都用到了大量的实例。这些实例，让学生理解从“平均变更到瞬时变更”，

从“有限到无限”的思想，相识和理解这种特殊的极限，提高学生的思维实力.利

用导数可以解决许多实际问题，诸如利润最大、用料最省、效率最高等优化问

题，以及运动速度、物种繁殖、绿化面积增长率等实际问题。定积分部分还有

求曲边梯形的面积和便利做功等.

（5）关注数学文化

要求师生一起收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行

沟通;体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。

3、教材比较分析（新教材为人教A版选修2—2）

教材大纲版新人教版

内容其次章导数（选修1）选修2—2第一章

比较

2.1导数的背景3课时lo1变更率及导数4课时

2O2导数的概念2课时1.2导数的计算3课时

2o3多项式函数的导数2课时lo3导数在探讨函数中的应用4课

2.4函数的单调性及极值2课时时

2o5函数的最大值及最小值3课时1.4生活中的优化问题举例3课时

2.6微积分建立的时代背景和历史1.5定积分的概念4课时

意义1课时lo6微积分基本定理2课时

探讨性学习课题：杨辉三角3课1。7定积分的简洁应用2课时

时实习作业1课时

小结及复习2课时小结1课时

教学导数概念学习的起点是极限，即从平均速度-一平均变更率一一平均变更

流程数列的极限，到函数的极限，再到率的变更趋势一一平均变更率趋近于

比较导数.这种概念建立方式具有严密一个常数-一瞬时速度一一过曲线上一

的逻辑性和系统性，但学生很难理点的切线的斜率.通过列表计算、直观

解极限的形式化定义，因此也影响地把握函数变更趋势（蕴涵着极限的描

了对导数本质的理解。述性定义），学生更易于理解。

K了解导数概念的某些实际背景1。通过对大量实例的分析，阅历由平均

变更率过渡到瞬时变更率的过程，了解

（如瞬时速度、加速度、光滑曲线导数概念的实际背景，知道瞬时变更率

切线的斜率等），驾驭函数在一点处就是导数，体会导数的思想及其内涵;

通过函数图象直观地理解导数的几何

的导数的定义和导数的几何意义，意义.

理解导函数的概念.2。能依据导数定义,求函数

I_■，国区|,国

20熟记基本导数公式，驾驭两个函

数和、差、积、商的求导法则和复的导数（文科只要求求函数

合函数的求导法则，会求某些简洁，0的导数）；能

课标

利用给出的基本初等函数的导数公式

要求函数的导数。

及导数的四则运算法则求简洁函数的

比较

3.了解函数在一点处的微分是函数导数，能求简洁的复合函数（仅限于形

增量的线性近似值，会求某些简洁如日的导数（文科数学不做要

函数的微分。求）；会运用导数公式表.

4.会从几何直观了解可导函数的单3。结合实例，借助几何直观探究并了解

函数的单调性及导数的关系；能利用导

调性及其导数的关系，了解可导函数探讨函数的单调性，会求不超过三次

数在某点取得极值的必要条件和充的多项式函数的单调区间.

4.结合函数的图象，了解函数在某点取

分条件（导数在极值点两侧异号），得极值的必要条件和充分条件；会用导

会求一些实际问题（一般指单峰函数求不超过三次的多项式函数的极大

值、微小值，以及在给定区间上不超过

数）的最大值和最小值.三次的多项式函数的最大值、最小值.

5o通过使利润最大、用料最省、效率

最高等优化问题，体会导数在解决实际

问题中的作用。

6.通过实例（如求曲边梯形的面积、变

力做功等），从问题情境中了解定积分

的实际背景；借助几何直观体会定积分

的基本思想，初步了解定积分的概

念.（文科数学不做要求）

7o通过实例（如变速运动物体在某段时

间内的速度及路程的关系），直观了解

微积分基本定理的含义.（文科数学不

做要求）

8o体会微积分的建立在人类文化发展

中的意义和价值.

4、学情分析

学生在必修内容中对函数的单调性已经熟悉，简洁的单调性问题可以很简洁

解决，但是对于一些较为困难的函数单调性问题应用已有学问已经很难解决，

这就迫使学生希望有更好的方法和工具来解决这类问题。高二的学生,有猛烈求

知欲，宠爱探求真理，具有主动的学习看法。已经有很强的概括实力和抽象思

维实力。因此，学习导数这一主要内容有很好的学生基础。

5^重点难点分析

（1）教学重点：

①使学生知道瞬时变更率就是导数，体会导数的思想及其内涵,理解导数的几何

意义；

②四种常见函数的导数公式及应用；

③基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导方法；

④利用导数探讨函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间；

⑤驾驭求函数极值方法；；

⑥驾驭利用导数求函数的最大值和最小值的方法；

⑦驾驭利用导数解决优化问题的基本方法.

（2）教学难点：

①体会从平均变更率到瞬时变更率，从割线到切线的过程中接受的靠近思想；

②理解导数的概念,将导数多方面的意义联系起来；

③函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；

④依据实际问题建立适当的函数关系；

⑤利用导数解决优化问题的基本方法.

二、教学目标

1、学问及技能：

(1)通过对大量实例的分析，阅历由平均变更率过渡到瞬时变更率的过程，了解

导数概念的实际背景，知道瞬时变更率就是导数，体会导数的思想及其内涵；

(2)通过函数图象直观地理解导数的几何意义；

(3)能依据导数定义，求函数1—■，国回，国的导数(文

科只要求求函数r^i,0的导数)；

(4)能利用给出的基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简洁函数

的导数，能求简洁的复合函数(仅限于形如g的导数(文科数学不做要

求)；(5)会运用导数公式表；

(6)结合实例，借助几何直观探究并了解函数的单调性及导数的关系，能利用导

数探讨函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间；

(7)结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；

(8)会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、微小值，以及在给定区间

上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值；

(9)通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问

题中的作用；

(10)通过实例(如求曲边梯形的面积、变力做功等)，从问题情境中了解定积分

的实际背景，借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概

念.(文科数学不做要求)；

(11)通过实例(如变速运动物体在某段时间内的速度及路程的关系)，直观了解

微积分基本定理的含义.(文科数学不做要求)；

(12)体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值.

2、过程及方法：

(1)通过对大量的实例的分析，阅历由平均变更率过渡到瞬时变更率的过程，了解

导数概念的实际背景，知道瞬时变更率就是导数；

(2)通过动手计算培育学生视察、分析、比较和归纳实力；

(3)通过问题的探究体会靠近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思

想方法；

(4)通过学问的探究过程培育学生细心视察、细致分析、严密推理的良好思维

习惯,让学生感知从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程；

(5)通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法；

(6)在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对定积分几何意义的理解。

3、情感看法及价值观：

(1)通过对变更率及导数的学习，不断培育自主学习、合作沟通、擅长反思、

勤于总结的科学看法和锲而不舍的钻研精神，不断相识数形结合和等价转化的

数学思想，提高参及意识和合作精神；

(2)通过在教学过程中让学生多动手、多视察、勤思索、善总结，引导学生养成

自主学习的学习习惯；

(3)通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关

系，培育学生辩证唯物主义观点，提高理性思维实力。

三、单元教学流程：

lo教学阶段规划

(1)学问结构(以选修2-2第一章为例)

(2)教材处理

①导数的概念是通过实际背景和具体应用的实例引入的。教学中，可以通过探

讨增长率、膨胀率、效率、密度、速度等反映导数应用的实例，引导学生阅历

由平均变更率到瞬时变更率的过程,知道瞬时变更率就是导数.通过感受导数在

探讨函数和解决实际问题中的作用，体会导数的思想及其内涵.这样处理的目的

是帮助学生直观理解导数的背景、思想和作用。

②在教学中，要防止将导数仅仅作为一些规则和步骤来学习，而忽视它的思

想和价值.应使学生相识到，任何事物的变更率都可以用导数来描述。

③应引导学生在解决具体问题的过程中，将探讨函数的导数方法及初等方法

作比较，以体会导数方法在探讨函数性质中的一般性和有效性。

(3)学习方式

以导学为主,课堂学生探讨通过激发学生学习数学的爱好、引导学生驾驭

正确的数学学习方法、变更数学课堂的教学模式，让学生成为学习的主子。

2o课时划分

选修1-1第三章，本章约须要16个课时，具体支配如下：

3.1变更率及导数约4课时

3。2导数的计算约3课时

3.3导数在探讨函数中的应用约3课时

3.4生活中的优化问题举例约4课时

实习作业约1课时

小结约1课时

选修2—2第一章，本章约须要24个课时，具体支配如下:

lo1变更率及导数约4课时

1。2导数的计算约3课时

lo3导数在探讨函数中的应用约4课时

1.4生活中的优化问题举例约3课时

1.5定积分的概念约4课时

U6微积分基本定理约2课时

1.7定积分的简洁应用约2课时

实习作业约1课时

小结约1课时

四、《导数的概念》的教学设计

(-)教学过程

导数概”导数的概念”是全章核心。不仅在于它自身具有特殊严谨的结构，更重要的

念在教是，导数运算是一种超群的数学思维，用导数的运算去处理函数的性质更具一

材的地般性，获得更为志向的结果;把运算对象作用于导数上，可使我们扩展学问面，

位和感悟变量，极限等思想,运用更高的观点和更为一般的方法解决或简化中学数学

作用中的不少问题；导数的方法是今后全面探讨微积分的重要方法和基本工具，在

在其它学科中同样具有特殊重要的作用；在物理学，经济学等其它学科和生

产、生活的各个领域都有广泛的应用.导数的出现推动了人类事业向前发展.

设计《导数的概念》分成四个部分绽开，即：“曲线的切线”，“瞬时速度”，“导

意图数的概念”，“导数的几何意义”，编者意图在哪里呢？用前两部分作为背景，

是为了引出导数的概念；介绍导数的几何意义，是为了加深对导数的理解.从而

充分借助直观来引出导数的概念；用极限思想抽象出导数；用函数思想拓展、

完善导数以及在应用中巩固、反思导数，教材的显著特点是从具体阅历动身，向

抽象和普遍发展，使探究学问的过程简洁、经济、有效。

学情lo有利因素:学生已较好地驾驭了函数的单调性等有关学问，对学习新的方法

分析

有确定爱好和主动性,这为本课的学习奠定了基础.

2.不利因素：导数概念建立在极限基础之上，超乎学生的直观阅历，抽象度

高；再者，本课内容思维量大，对类比归纳，抽象概括，联系及转化的思维实

力有较高的要求，学生学习起来有确定难度.

教学(1)学问及技能:①理解导数的概念。②驾驭用定义求导数的方法.

目标

(2)过程及方法：通过导数概念的形成过程,让学生驾驭从具体到抽象，特殊到

一般的思维方法；领悟极限思想和函数思想；提高类比归纳、抽象概括、联系

及转化的思维实力.

(3)情感、看法及价值观：

①通过合作及沟通，让学生感受探究的乐趣及成功的喜悦,体会数学的理性及严

谨，激发学生对数学学问的酷爱，养成实事求是的科学看法.

②培育学生正确相识量变及质变、运动及静止等辩证唯物主义观点，形成正确

的数学观.

教学重点：确定依据：教学大纲及学生的实际

重、导数的定义和用定义求导数的方法.难点突破:从瞬时速度、切线的斜率两

个具体模型动身，由特殊到一般、从具

难点

体到抽象，利用类比归纳的方法学习导

难点：对导数概念的理解.

数概念；把新知的核心“可导”和“导

数”两个问题结合起来,利用转化的思

想，将问题化归为考察一个关于自变量

区的函数|X1当日时极

限是否存在以及极限是什么的问题。

教法、引导发觉式教学法，确定依据：教学中遵循“学生为主体，

学法类比探究式学习法老师为主导,学问为主线，发展思维为

主旨”的"四主〃原则.以恰当的问题为

纽带，创设自主探究、合作沟通的空

间，指导学生类比探究形成导数概

念.引导学生阅历数学学问再发觉的过

程，让学生在参及中获得学问，发展思

维，感悟数学.

教学电子白板，几何画板,GGB等多媒体帮确定依据：通过多媒体弥补传统教学的

手段助教学不足，增加教学效果的直观性,帮助学

生更好地理解无限靠近思想，揭示导数

本质.

教学确定依据：为更好落实教学目标，把

环节复习引入类比探素引中拓展数学学问的“学术形态”转化为数学课

—►—0

提出问题形成概念发展概念堂的“教学形态”，，为学生创设探究

空间，让学生充分阅历、体验数学学问

再发觉的过程，从中获得学问，发展思

维，感受探究的乐趣.

练习反馈小结整理分层作业

—►

巩固概念形成系筑深化概念，

教学内容师生活动设计意图

环节

回顾1：当运动员从10米高台跳水学生沟通探讨针对新概念创设相应的

时，从腾空到进入水面的过程中，不瞬时速度和和问题情景，让学生从概

复习同时刻的速度是不同的.假设t秒后切线的斜率两念的现实原型，体验、

引入运动员相对地面的高度为：个问题，解决感受直观背景和概念间

方法上有什么的关系，为学生主动建

IB,问在2秒时

共同之处.构新知供应自然的生长

运动员的瞬时速度为多少？点。

提出

问题回顾2：已知曲线C是函数

1—■的图象，求

曲线上点P目处的切线斜率。

【思索】对瞬时速度和和切线的斜率

两个具体问题，解决方法上有什么共

同之处？

①归纳共性揭示本质

探讨本思

求解问题求解方法

类比对象质想

求平

探究而/*、一物体在日工攵冏极

物体也时求时间求位移均求瞬时速度速।

动规律,〃皿4、十因日增量建卢

的瞬时速增量E速及巴区1肃思

目ZFh(t)一3也想

具度

形成a

体

概念例求割

孑曲线上求横求纵坐求切线的斜绫描

曲线目坐标标线的

P率T限

y=M点处切线增量增量斜率J思

EH]想

的斜率aa目

函数在_

一求自求函求比求比值2

般函数.变量数值的极限更限

处的变更值

情尸人外.增量增量

率

形a习土

JX

【师生活动】将学生分成若干学习小组，以表格为载体为师生、生生互动搭起主

动沟通的探究平台。老师巡察，激励学生参及，对个别学有困难的小组加以指

导.探究后，共同归纳得出：两个问题的解决在方法、本质、思想上都有相同之

处.一个是“位移变更量刚好间变更量之比”的极限，一个是“纵坐标变更量及

横坐标变更量之比”的极限.假如舍去它们的具体含义，都可以概括为求平均变

更率的极限.

【设计意图】给学生创设探究的平台，分析瞬时速度和切线的斜率两个具体问

题，探讨解决这两个问题的方法、本质、思想上有什么共同之处，引导学生分

析、视察、归纳，打通揭示事物本质的思维通道.

教学内容师生活动设计意图

环节

引导学生利用求瞬时速度的具体到抽

②类比迁移形成概念

方法和思想类比探究，猜想象，特殊

类比到一般方

【思索】考虑求一般函数y=f（x）在得出函数在点因处的变更率

式，利用

点因到回+回之间的平均变更率的

探究瞬时速度

极限问题，也就是怎样计算函数在0进行类

比，引出

点目处的变更率？

形成1x-l函数在一

点处可导

概念和导数的

概念.由

引出导数定义后，回来问题情景，并对猜想的合理性进行分析具体到抽

反思概念的“原型”说明“切线的后，引出定义1:（函数在一点象再回到

斜率”、“物体的瞬时速度”的本处可导及其导数）具体的过

质。程，感性

上升到了

理性，强

化了对概

的理解。

引导学生

③剖析概念加深理解

组织学生阅读'导数”定以数学语

类比【探讨1］怎样推断函数在一点是否义，抓住定义q口的关键词言（文

“可导〃及“导?女”沟通探字、符

可导？推断函数在点区处

探究WJ讨,然后通过师生互动挖掘这号、图

是否可导，推断极限些概念之间白勺深层含义.形）的理

解概念的

形成1x|是内涵及外

延，提高

概念否存在?学生自主

【探讨2】导数是什么？学习的实

力，让学

描述角度本质生感受数

文字语言瞬时变更率学文化的

符号语言熏陶，了

a0分析导数的本质后，同时简解导数的

图形语言（切线斜率）提及导数产月三的时代背文化价

景。值、科学

价值和应

用价值。

教学内容师生活动设计意图

环节

让学生类比瞬时速度的问用定义法求导数

题，依据导数定义归纳出是本课的重点之

类比一.求导数的方法

【探讨3】求导数的方法是什么？求函数目在点日处

则是对导数概念

探究导数的方法步骤：的理解及应用.让

（1）求函数的增量；学生主动主动参

形成（2）求平均变更率；及，有利于重点

（3）取极限，得导数。学问的驾驭.

概念在学生建立起导

数概念，明确用

学生动手解答，老师强调

【例11求函数y=/在点H处的定义求导数的方

符号语言的规范运用，对

导数。法之后，进行强化

诸如3忘写括号的现训练，加深对导

数概念的理解，

象加以订正.

强化对重点学问

的巩固.

利用例1接着设问，函数在H处师生互动，共同探讨归纳通过层层绽开的

可导，那么目，日，口这探讨，激活学生的

函数在开区间a的每

引申些点也可导吗？从而引申拓展出定“最近发展区”，

拓展一点可导，每一点就有确引导学生主动将

义2：（函数在开区间a内可导）

定的唯一的导数。这样在新问题及函数的

【探讨1】函数在开区间内可导，那概念，自然引入

开区间a内构成一个

发展么对于每一个确定的值，都有唯一导函数概念。

概念确定的导数值及之相对应，这样在函数，我们把这个新函数

开区间内存在一个映射吗？

叫做a在开区间a

【探讨2】存在的这个映射是否构成

一个新的函数呢？若能，新函数的内的导函数。

定义域和对应法则分别是什么呢？

教学内容师生活动设计意图

环节

完成从函

开区间a，对应法则是对

【探讨3】怎样求新函数的解数在一点

析式？开区间内每一点求导.运用函可导回

数思想，只要把求一点处的导函数在开

区间内可

数目替换成回，就可以求出导

探讨后引出定义3:（函数导回函

函数的解析式。数在开区

日在开区间臼内的

动手“操作”，相互沟通。总间内的导

导函数）结出两小问的区分及联系，选函数的两

出代表沟通，形成共识：次拓展.

【区分】

【例2】已知六回，求

引申本例两问

（1）函数a在点a处的导

（1）/;（2）/|rf.都是求导

拓展数，但它

数，是在点区处的变更率，是

们有本质

一个常数；上的区

分，学生

（2）函数H的导数是对开区

简洁产生

混淆，通

间内随意点（3而言，是叵］在

发展过此题让

开区间内随意点目的变更率，学生辨清

概念是一个函数。“函数

【联系】一般而言，WJa在

一点处的

在a处的导数就是导函数