湖南省长沙市2024年高三数学模拟预测卷含答案

湖南省长沙市2024年高三数学模拟预测卷一、单选题1．“数列和都是等比数列”是“数列是等比数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．设在复平面内对应的点为，则在复平面内对应的点为（

）A． B．C． D．3．若集合，集合，则的子集个数为（

）A．16 B．15 C．32 D．314．已知，则等于（）A．10 B． C．3 D．5．已知函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，且，则（

）A．4 B．2 C． D．6．在下列关于概率的命题中，正确的有（

）A．若三个事件、满足，则、为对立事件B．若三个事件、、两两独立，则C．若事件、满足，，，则、相互独立D．若事件与是互斥事件，则与也是互斥事件7．已知函数，其导函数为且，在区间上恰有4个不同的实数，使得对任意都满足，且对任意角在区间上均不是单调函数，则的取值范围是（

）A． B．C． D．8．已知椭圆上有一异于顶点的点P，A，B分别是椭圆C的左、右顶点，且两直线PA，PB的斜率的乘积为，则椭圆C的离心率e为（

）．A． B． C． D．二、多选题9．已知数列的前项和为，且，则下列结论正确的有（

）A．若，则为等差数列B．若，则为递增数列C．若，则当且仅当时取得最小值D．“”是“数列为递增数列”的充要条件10．对于两条不同直线和两个不同平面，则下列说法中正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则11．已知双曲线的左､右焦点分别为为坐标原点，直线与双曲线的渐近线交于点（在第二象限，在第一象限），下列结论正确的是（

）A．B．C．若的面积为2，则双曲线的焦距的最小值为4D．若的面积为2，则双曲线的焦距的最小值为8三、填空题12．“圆排列”亦称“循环排列”“环排列”，最早出现在中国《易经》的四象八卦组合.当A，B，C三位同学围成一个圆时，其中一个排列“ABC”与该排列旋转一个或几个位置得到的排列“BCA”或“CAB”是同一个排列，现有六位同学围成一个圆做游戏，其排列总数为.（用数字作答）13．已知函数，则．14．在中，点D满足，过点D的直线交线段AB于点M、交线段AC的延长线于点N，记，，则的最小值为.四、解答题15．甲、乙两台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲、乙两台机床加工的零件都是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品且甲机床加工的零件不是一等品的概率是.(1)分别求甲、乙两台机床各自加工的零件是一等品的概率；(2)从甲加工的零件中取两个，从乙加工的零件中取一个检验，求至少有一个一等品的概率.16．在各项都为正数的等比数列中，，(1)求数列的通项公式：(2)记，求数列的前项和．17．在如图所示的五面体中，共面，是正三角形，四边形为菱形，平面，点为中点．

(1)证明：平面；(2)已知，求平面与平面所成二面角的正弦值．18．已知函数，曲线在处的切线方程为．(1)求，的值；(2)求的单调区间，并证明在上没有零点．19．已知抛物线的焦点到准线的距离为.(1)求抛物线的标准方程；(2)过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，分别过两点作准线的垂线，垂足分别为、两点，以线段为直径的圆过点，求圆的方程．参考答案：1．A【分析】根据等比数列的定义和通项公式可证明充分性成立，举例说明可证明必要性不成立，即可求解.【详解】若数列都是等比数列，设其公比分别为为常数)，则，所以当时，，为常数，由等比数列的定义知，数列是以为首项，以为公比的等比数列，故充分性成立；若数列是等比数列，设，当，时，满足，但都不是等比数列，故必要性不成立.所以“数列、都是等比数列”是“数列为等比数列”的充分不必要条件.故选：A2．C【分析】利用复数运算法则化简即可求解.【详解】依题意得，所以，则在复平面内对应的点为．故选：C3．A【分析】解对数不等式和一元二次不等式可得集合，利用交集运算计算，进而可得子集个数.【详解】对于集合可得，解得，所以，对于集合可得，解得，所以，所以，故的子集个数为.故选:A.4．B【分析】根据题意，利用向量的数量积的坐标运算公式，准确计算即可求解.【详解】由向量，可得，所以.故选：B.5．C【分析】根据条件得出函数的周期为，再利用，即可求出结果.【详解】因为为奇函数，所以，又为偶函数，得到，由，得到，所以，即有，所以，故函数的周期为，又，所以，故选：C.6．C【分析】取特例可判断AB选项；利用独立事件的定义可判断C选项；取事件与对立，可判断D选项.【详解】对于A选项，若事件、不互斥，但是恰好，满足，但是、不是对立事件．故A错误；对于B选项，设样本空间含有等可能的样本点，且，，，可求得，，，所以，，，即、、两两独立，但，所以，故B错误；对于C选项，因为事件、满足，，，所以，所以、相互独立，故C正确；对于D选项，若事件与是互斥事件，不妨设与对立，则，此时，与是同一事件，故D错误．故选：C.7．B【分析】根据导数满足的条件可得的解析式，根据对称性及正弦函数的零点、单调性可得的取值范围.【详解】因为，故，故，而，故，故，故.由可得的图象关于点对称，，即，其中.当时，，因函数在上的前5个零点依次为，可得，解得，又在上不是单调函数，，解得，综上.故选：B.【点睛】方法点睛：正弦型函数的零点问题，应该利用整体法先求出整体的范围，再结合正弦函数的性质可得整体的性质.8．B【分析】由题意可知，，设，，利用线PA，PB的斜率的乘积为计算即可.【详解】由题意可知，，设，，则，于是所以，所以，故选：B9．ACD【分析】先求出，当时，，再逐项判断选项.【详解】由，当时，，当时，，若，则，符合，故为等差数列，A正确；若，则，，所以不是递增数列，B错误；若，则，当时，，为公差为2的等差数列，且，所以当且仅当时取得最小值，C正确；当时，，故数列为递增数列等价于，即，可得，故D正确.故选：ACD10．BCD【分析】根据空间中平面与直线的位置关系即可结合选项逐一求解.【详解】对于A，由于没有说明是否相交，故不一定平行,A错误，对于B，若，则（面面垂直的性质定理），故B正确，对于C，若，则，C正确，对于D，若，则，D正确，故选：BCD11．AC【分析】根据即可判断A,根据两直线的斜率即可判断B，根据面积关系，结合不等式即可求解CD.【详解】由于双曲线的渐近线方程为，所以，,故，点在以为圆心，为半径的圆上，所以，A正确.，直线的斜率为，直线的斜率为由于与不一定相等，所以直线与直线不一定平行，B错误.的面积为，双曲线的焦距为，当且仅当时，等号成立，所以双曲线的焦距的最小值为正确，错误.故选：AC

12．120【分析】由条件中所举的3个人的“环排列”，确定“环排列”的公式，即可求解.【详解】三位同学围成一个圆，“”“”或“”是同一排列，其中每一个圆排列可以拆成任意一位同学为首的直线排列3个.三位同学围成一个圆的排列总数为，由此可得六位同学围成一个圆的排列总数为.故答案为：13．【分析】由，从而可求解.【详解】由题意知当，，则，所以.故答案为：.14．【分析】先求出，再根据平面向量共线定理可得，再根据结合基本不等式即可得解.【详解】因为过点D的直线交线段AB于点M、交线段AC的延长线于点N，记，，所以，且，，由，得，又三点共线，所以，故，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：求出，再根据平面向量共线定理可得，是解决本题的关键.15．(1)(2)【分析】（1）记事件A：甲机床加工的零件是一等品，事件B：乙机床加工的零件是一等品，且A与B相互独立，根据，结合独立事件概率乘法公式及对立事件概率公式列方程组求解即可；（2）记事件C：从甲加工的零件中取两个都不是一等品，事件D：抽取的三个零件至少有一个一等品，根据独立事件概率乘法公式及对立事件概率公式求解即可.【详解】（1）记事件A：甲机床加工的零件是一等品，事件B：乙机床加工的零件是一等品，且A与B相互独立，由题意得，，所以，解得.（2）记事件C：从甲加工的零件中取两个都不是一等品，事件D：抽取的三个零件至少有一个一等品，则，所以.16．(1)(2)【分析】（1）设等比数列的公比为．可得，解出即可得出．（2）由（1）得：．再利用错位相减法即可得出．【详解】（1）设等比数列的公比为．则，解得，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，即．（2）由（1）得：．所以，，，．17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接交与点O，证明四边形为平行四边形，推出，根据线面平行的判定定理，即可证明结论；（2）取中点为N，连接，建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出平面和平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案.【详解】（1）证明：连接交与点O，连接，由于平面平面，平面平面，故，O为的中点，点为中点，故，，则四边形为平行四边形，则，而平面，平面，故平面；（2）由（1）知，取中点为N，连接，由题意知是边长为2的正三角形，在中，，则，故，是边长为2的正三角形，则，又平面，则平面，平面，故，，则为正三角形，故，而平面，故平面，以N为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，

则，则，设平面的法向量为，则，则，令，则；，设平面的法向量为，则，即，令，则，故，设平面与平面所成二面角为，故，故平面与平面所成二面角的正弦值为.18．(1)，(2)单调递增区间为，单调递减区间为，，证明见解析.【分析】（1）求出导函数，依题意可得，解得即可；（2）由（1）可得，求出函数的定义域与导函数，即可求出单调区间，结合函数的单调性说明在上没有零点.【详解】（1）因为，所以，由题意知，解得.（2）由（1）可得定义域为，又，因为，所以当时，当或时，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，；因为在上单调递增，在上单调递减，时，，在上没有