湖南省岳阳市岳阳县第一中学2022-2023学年高三上学期第一次月考数学试题含答案

2023届高三数学第一次月考试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.若复数，则（）A.2 B. C.4 D.53.已知，则等于（）A. B. C. D.4.某地区教研部门为了落实义务教育阶段双减政策，拟出台作业指导方案.在出台方案之前作一个调查，了解本地区义务教育阶段学生中抄袭过作业的学生比例，对随机抽出的2000名学生进行了调查，因问题涉及隐私，调查中使用了两个问题：问题1：你的阳历生日日期是不是偶数？问题2：你是否抄袭过作业？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有除颜色外完全一样的50个白球和50个红球的不透明袋子，每个被调查者随机从袋中摸取1个球，摸出的球看到颜色后放回袋中，只有摸球者自己才能看到摸出球的颜色，要求摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，答案为“是”的人从盒子外的小石子堆中拿一个石子放在盒子中，回答“否”的人什么都不要做。由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案.调查结果为2000人中共有612人回答“是”，则本地区义务教育阶段学生中抄袭过作业的学生所占百分比最接近（）（提示：假设一年为365天，其中日期为偶数的天数为179天）A.10.7% B.12.2% C.24.4% D.30.6%5.曲线在点处的切线方程为（）A. B. C. D.6.的展开式中，的系数为（）A.80 B.40 C. D.7.设抛物线的焦点为F，过点的直线与E相交于A，B两点，与E的准线相交于点C，点B在线段上，，则与的面积之比（）A. B. C. D.8.已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一枚骰子出现的点数小于3”为事件A，“第二枚骰子出现的点数不小于3”为事件B，则下列结论中正确的是（）A.事件A与事件B互为对立事件 B.事件A与事件B相互独立C. D.10.已知直线与圆，则（）A.直线l与圆C相离B.直线l与圆C相交C.圆C上到直线l的距离为1的点共有2个D.圆C上到直线l的距离为1的点共有3个l1.已知，，函数，则下列选项正确的是（）A.函数的值域为B.将函数图像上各点横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图像向左平移个单位长度，可得函数图像C.函数是奇函数D.函数在区间内所有零点之和为12.已知函数，若关于x的方程恰有两个不同解，，则的取值可能是（）A. B. C.0 D.2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，是两个单位向量，，且，则______.14.抛物线上一点与焦点F的距离，则M到坐标原点的距离为______.15.函数的所有零点之和为______.16.设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）若，边上的中线，求的面积.18.已知数列为等差数列，数列为等比数列，，且.（1）求与的通项公式；（2）设等差数列的前n项和为，求数列的前n项和.19.甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局，三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军，已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立.（1）求甲学校获得冠军的概率；（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.20.已知四棱锥中，平面平面，底面为矩形，点E在上，且，，O为的中点，，.（1）证明：；（2）求点E到平面的距离.21.已知双曲线方程为，，为双曲线的左、右焦点，离心率为2，点P为双曲线在第一象限上的一点，且满足，.（1）求双曲线的标准方程；（2）过点作直l交双曲线于A、B两点，则在x轴上是否存在定点使得为定值，若存在，请求出m的值和该定值，若不存在，请说明理由.22.已知函数.（1）若，求的单调区间；（2）若，，证明：.2023届高三数学第一次月考试卷答案一、选择题（每题5分）1.C2.B3.A4.B5.A6.D7.C8.B二、多选题（每题5分）9.BCD10.BD11.ABD12.BC三、填空题（每题5分）13.14.15.916.四、解答题（共6小题）17.（10分）解：（1）中，，由正弦定理得，，∴，∴，又，∴，，∴，又，∴；（2）∵，边上的中线，∴可得，两边平方，可得，∴，整理可得，解得或（舍去），∴的面积为.18.（12分）（1）解：因为，当时，，由，解得，又由，当时，可得，两式相减得，，当时，适合上式，所以，因为为等差数列，为等比数列，所以的公比为2，所以，所以.（2）解：由，可得数列的前n项和为，又由，可得数列的前n项和，则，所以数列的前项n和为，所以数列的前n项和.19，（12分）解：（1）甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，可以得到两个学校每场比赛获胜的概率如下表：第一场比赛第二场比赛第三场比赛甲学校获胜概率0.50.40.8乙学校获胜概率0.50.60.2甲学校要获得冠军，需要在3场比赛中至少获胜2场，①甲学校3场全胜，概率为：，②甲学校3场获胜2场败1场，概率为：，所以甲学校获得冠军的概率为：；（2）乙学校的总得分X的可能取值为：0，10，20，30，其概率分别为：，，，，则X的分布列为：X0102030P0.160.440.340.06X的期望.20.（12分）解，（1）证明：如图，连接，∵平面平面，，O为的中点，∴，∴平面，.∵四边形为矩形，，∴，，，，，∴，∴.又，，∴平面.∵平面，∴.（2）方法一设，点E到平面的距离为x，由（1）知平面，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，即点E到平面的距离为.方法二由（1）知平面，平面平面，又平面平面，如图，过点E作的垂线，交于点F，根据面面垂直性质定理知，平面，即为点E到平面的距离.根据面积相等知，∴.21.（12分）解：（1）双曲线的方程为：；（2）由（1）可得，当直线l的斜率为0时，，此时，，由，则.当l的斜率不为0时，设，，，联立，整理可得：，因为，，，因为，要使为定值，则，解得，所以.定值为0.22.（12分）解