2024-2025学年湖南省长沙市望城一中高二（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省长沙市望城一中高二（上）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.22cos15°+A.32 B.12 C.−2.若集合A={x||2x−1|>3}，B={x|(2x+1)(x−3)<0}，则A∩B是(

)A.{x|−1<x<−12或2<x<3} B.{x|2<x<3}

C.3.已知函数f(x)的部分图象如如图所示，则f(x)的解析式可能是(

)A.f(x)=ex⋅ln|x|e2x−1

4.在四面体ABCD中，点M，N满足AB=2MB，CN=2ND，若MN=xA.−13 B.13 C.15.已知tan(α−π4)=14，A.322 B.1318 C.166.四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是(

)A.平均数为3，中位数为2 B.中位数为3，众数为2

C.平均数为2，方差为2.4 D.中位数为3，方差为2.87.在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AA1=2，设四棱柱的外接球的球心为O，动点P在正方形ABCD的边上，射线OP交球O的表面于点A.42π3 B.228.如图，边长为2的正方形ABCD中，P，Q分别为边BC，CD上的点，AP⋅AQ=2|PQ|A.1

B.52

C.3二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z1的虚部与z2的实部均为2，则下列说法正确的是(

)A.z1是虚数

B.若|z1|=|z2|=2，则z1=z2

C.若z1=10.一口袋中有大小和质地相同的5个红球和2个白球，则下列结论正确的是(

)A.从中任取3球，恰有一个红球的概率是17

B.从中有放回的取球3次，每次任取一球，恰好有两个白球的概率为20343

C.从中不放回的取球2次，每次任取1球，若第一次已取到了红球，则第二次再次取到红球的概率为23

D.从中有放回的取球11.已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1的棱长均为1，∠DAB=∠A1AB=∠A1AD=60°，EA.A1C=2

B.若AP=12PC1，则A1P/​/面EFC

C.若AP=3PC1，则A1C⊥面三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)=2x2,x<1,2x,x≥1,13.《中国居民膳食指南(2022)》数据显示，6岁至17岁儿童青少年超重肥胖率高达19.0%.为了解某地中学生的体重情况，某机构从该地中学生中随机抽取100名学生，测量他们的体重(单位：千克)，根据测量数据，按[40,45)，[45,50)，[50,55)，[55,60)，[60,65)，[65,70]分成六组，得到的频率分布直方图如图所示，根据调查的数据，估计该地中学生体重的50%分位数是______．14.已知一个圆台的侧面积为352π，下底面半径比上底面半径大1，母线与下底面所成角的正切值为7，则该圆台的外接球(圆台的上、下底面圆周上的点均在球面上)四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知X，Y两组各有5位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：

X组：10，11，12，13，14，Y组：12，13，15，14，a

假设所有病人的康复时间相互独立，从X，Y两组随机各选1人，X组选出的人记为甲，Y组选出的人记为乙．

(1)如果a=8，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；

(2)如果a=16，事件M：“甲康复时间为11天”，事件N：“甲乙康复时间之和为25天”，事件M，N是否相互独立？16.(本小题15分)

如图所示，已知CE⊥底面ABC，∠ABC=π2，AB=BC=2CE，AA1//=BB1//=2CE，D为BC的中点．

(1)若CE=1，求三棱锥E−17.(本小题15分)

已知函数f(x)=ln(e2x+1)−x．

(1)当x≥0时，函数g(x)=f(x)−x−a存在零点，求实数a的取值范围；

(2)设函数ℎ(x)=ln(m⋅18.(本小题17分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cosC=2sinB+sinCsinA．

(1)求角A；

(2)点P在边BC上，且AP⊥AB，AP=2，求△ABC19.(本小题17分)

已知正实数集A={a1,a2,⋯,an}，定义：A2={aiaj|ai,aj∈A}称为A的平方集.记n(A)为集合A中的元素个数．

(1)参考答案1.A

2.B

3.A

4.C

5.A

6.C

7.A

8.B

9.ABD

10.AC

11.ACD

12.0

13.53.75

14.500315.解：(1)当a=8时，从X，Y两组随机各选1人，

样本空间Ω={(x,y)|x∈{10，11，12，13，14}，y∈{12,13,15,14,8}}，共有25种，

甲的康复时间比乙的康复时间长的情况有{(10,8)，(11,8)，(12,8)，(13,12)，(13,8)，(14,12)，(14,13)，(14,8)}，共8种，

所以概率为825．

(2)当a=16时，P(M)=15，

事件N的情况有{(10,15)，(11,14)，(12,13)，(13,12)}，共4种，则P(N)=425

事件MN：“甲康复时间为11天且甲乙康复时间之和为25天”的情况为(11,14)，则P(MN)=125，

因此P(M)P(N)=116.解：(1)当CE=1时，根据题意可得，AB=BC=2CE=2，

∴VE−A1CD=VA1−ECD，

∵AA1//CE，∴AA1/​/平面CDE，

∴三棱锥E−A1DC的体积：

VE−A1CD=VA1−ECD=13×S△ECD×AB=13×12×1×1×2=13．

证明：(2)连接B1C，交DE于F，

∵CE⊥面ABC，AA1//BB1//CE，

∴BB1⊥BC，CE⊥BC，∴△B1BC和△ECD为直角三角形，

又BB17.解：(1)∵f(x)=ln(e2x+1)−x，当x≥0时，

函数g(x)=f(x)−x−a存在零点，

即a=ln(e2x+1)−2x在x∈[0,+∞)时有解，

设φ(x)=ln(e2x+1)−2x(x≥0)，

即φ(x)=ln(1e2x+1)，∵x≥0,1<1e2x+1≤2，∴φ(x)∈(0,ln2]，

即实数a的取值范围为(0,ln2]．

(2)若函数f(x)与ℎ(x)的图象只有一个公共点，

则关于x的方程ln(m⋅ex−2m)=ln(e2x+1)−x只有一解，

∴m⋅ex−2m=ex+e−x只有一解，令t=ex(t>0)，

得关于t的方程(m−1)t2−2mt−1=0有一正数解，

18.解：(1)由2cosC=2sinB+sinCsinA，根据正弦定理与余弦定理，可得2×a2+b2−c22ab=2b+ca，

整理得b2+c2−a2=−bc，所以cosA=b2+c2−a22bc=−12，结合0<A<π，可得A=2π3；

(2)设∠ABP=θ，则∠ACB=π−∠BAC−θ=π3−θ，

因为AB⊥AP，∠BAC=2π3，∠PAC=π6，结合AP=2，可得BP=APsinθ=2sinθ，

在△ACP19.解：(1)A2={1,2,3,4,6,8,9,12,16}，

n(A2)=9；

(2)∵n(A2)=2016，要使得n(A)最小，就得使ai