2024-2025学年湖北省武汉市汉阳一中、江夏一中高二（上）8月月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖北省武汉市汉阳一中、江夏一中高二（上）8月月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在空间直角坐标系中，a=(1,2,1)为直线l的一个方向向量，n=(2,t,4)为平面α的一个法向量，且l//α，则t=(

)A.3 B.−3 C.1 D.−12.已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β的充分条件是(

)A.a//α，b//β，a⊥b B.α⊥γ，β⊥γ

C.a//α，a⊥β D.α∩β=a，a⊥b，b⊂β3.已知事件A，B互斥，它们都不发生的概率为13，且P(A)=2P(B)，则P(A−A.13 B.49 C.594.已知甲袋中有4个白球、x个红球，乙袋中有2个白球、4个红球，各个球的大小与质地相同．现从甲、乙两袋中依次不放回地各取2个球，若从甲袋中取出的2个球的颜色不相同与从乙袋中取出的2个球的颜色不相同的概率相等，则x=(

)A.2 B.4 C.6或2 D.8或45.水平放置的△ABC，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的△A′B′C′，其中O′A′=O′B′=2，O′C′=3，则△ABC绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为(

)A.83π C.(83+3)π6.已知矩形ABCD中，AB=1,BC=2,E是边BC的中点.AE和BD交于点M，将△ABE沿AE折起，在翻折过程中当AB与MD垂直时，异面直线BA和CD所成角的余弦值为A.16 B.14 C.5127.已知EF是棱长为8的正方体的一条体对角线，空间一点M满足ME⋅MF=−40，AB是正方体的一条棱，则AM⋅A.16(2−4) B.16(2−2)8.在四棱锥P−ABCD中，AD=2，AB=BC=CD=1，AD//BC，且PA=PC，PB=PD，则直线PA与平面PBD所成角的正弦值的最大值为(

)A.13 B.45 C.23二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设A，B为古典概率模型中的两个随机事件，以下命题正确的为(

)A.若P(A)=13，P(B)=12，则当且仅当P(A+B)=56时，A、B是互斥事件

B.若P(A)=13，P(B)=23，则A+B是必然事件

C.若P(A)=13，P(B)=23，则P(A+B)=79时A10.从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50∼350KW⋅ℎ之间，进行适当分组后(每组为左闭右开区间)，画出频率分布直方图如图所示，记直方图中六个小矩形的面积从左到右依次为si(i=1,2,⋯,6)，则(

)

A.x的值为0.0044

B.这100户居民该月用电量的中位数为175

C.用电量落在区间[150,350)内的户数为75

D.这100户居民该月的平均用电量为i=111.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点P满足BP=λBC+μBB1，其中λ∈[0,1]A.当λ=1时，△AB1P的面积为定值

B.当λ+μ=12时，三棱锥P−C1EF的体积为定值

C.存在0<μ<λ<1使得A1D与平面ABP所成的角为45三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.一组数据：1，2，3，4，5，5，5，6，6，7，8，9，9，10的众数为a，第三四分位数为b，则a+b=______．13.11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10：10后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为23，乙发球时乙得分的概率为12，各球的结果相互独立.在某局打成10：10后，甲先发球，则甲以13：11获胜的概率为______．14.已知三棱锥S−ABC中，顶点S在底面的射影恰好是△ABC内切圆的圆心，底面△ABC的最短边长为6.若三个侧面面积分别为329,429,529，429，四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为34，乙每轮猜对的概率为23.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.求：

(1)甲在两轮活动中恰好猜对一个成语的概率；

(2)“星队”在两轮活动中猜对16.(本小题12分)

如图，AE⊥平面ABCD，CF//AE，AD//BC，AD⊥AB，AB=AD=1，AE=BC=2，CF=87．

(1)求证：BF//平面ADE；

(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；

(3)求二面角E−BD−F的正弦值．17.(本小题12分)

某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，⋯，[90,100]得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中a的值；

(2)求样本成绩的第80百分位数；

(3)已知落在[50,60)的平均成绩是51，方差是7，落在[60,70)的平均成绩为63，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差．18.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，△PAD是正三角形，E为线段AD的中点．

(1)若PB中点为G，求证：EG//平面PCD；

(2)若平面PAD⊥平面ABCD，点F为面PCD上的动点．

①当点F恰为PC中点时，求异面直线PD与BF所成角的余弦值；

②若点H是平面PBE内的动点，求DH+FH的最小值．19.(本小题12分)随着科技的发展，互联网也随之成熟，网络安全也涉及到一个国家经济，金融，政治等安全.为提高中学生的网络安全意识和信息技术能力，某中学组织了一次信息技术创新比赛，参赛选手两人为一组，需要在规定时间内独自对两份不同的加密文件进行解密，每份文件只有一次解密机会.已知甲每次解开密码的概率为α(12≤α<1)，乙每次解开密码的概率为β(12≤β<1)，每次是否解开密码也互不影响.设A1={甲成功解密一份文件}，A2={(Ⅰ)已知概率P(A1)=(ⅰ)求α，β的值．(ⅱ)求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率．(Ⅱ)若1α+1参考答案1.B

2.C

3.C

4.C

5.B

6.D

7.D

8.C

9.ACD

10.AD

11.ACD

12.13

13.1614.5

101π

15.解：(1)根据题意，设A1表示甲两轮猜对1个成语的事件，

甲每轮猜对的概率为34，则猜错的概率为1−34=14，

则P(A1)=34×14+14×34=38．

(2)设A1，A2分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，B1，B2分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，

P(A1)=34×14+1416.解：(1)因为CF/​/AE，CF⊄平面ADE，AE⊂平面ADE，

所以CF/​/平面ADE，同理可知CB//平面ADE，

因为CF∩BC=C，所以平面BCF/​/平面ADE，

因为BF⊂平面BCF，

所以BF/​/平面ADE；

(2)建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，

则B(1,0,0)，D(0,1,0)，E(0,0,2)C(1,2,0),F(1,2,87)，

得BD=(−1,1,0)，BE=(−1,0,2)，BE=(−1,0,2),CE=(−1,−2,2),BF=(0,2,87)

设n−=(x,y,z)，

为平面BDE的法向量，则n⋅BD=−x+y=0n⋅BE=−x+2z=0，

不妨令z=1，则n=(2,2,1)，

设直线CE与平面BDE所成角为θ，

所以sinθ=|cos<CE,n>|=|CE⋅n||CE||n|=17.解：(1)∵每组小矩形的面积之和为1，

∴(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1，

∴a=0.030．

(2)成绩落在[40,80)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030)×10=0.65<0.8，

成绩落在[40,90)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030+0.025)×10=0.9>0.8，

∴第80百分位数落在[80,90)内，

设第80百分位数为m，则0.65+(m−80)×0.025=0.8，

解得m=86，

即第80百分位数为86．

(3)由图可知，成绩在[50,60)的人数为100×0.1=10，

成绩在[60,70)的人数为100×0.2=20，

故两组成绩的总平均数为10×51+20×6310+20=59，

总方差为118.解：(1)证明：取PC中点Q，连接QD，

∵E为线段AD的中点，∴GQ//BC，GQ=12BC，

∵DE/​/BC，DE=12BC，∴DE//GQ，DE=GQ，

∴四边形EGQD为平行四边形，

∴EG//DQ，∵EG⊄平面PCD，DQ⊂平面PCD，

∴EG/​/平面PCD．

(2)①取CD的中点M，连接BM，FM，

∵F为PC中点，∴MF//PD，MF=12PD=1，

∴∠BFM就是异面直线BF和PD所成的角或所成角的补角，

∵平面PAD⊥平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD=AD，PE⊥AD，ADC平面ABCD，

∴PE⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，

∴PE⊥BE，∵菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，

∴△PAD与△ABD、△BCD是全等的正三角形，

∵M、E分别为CD、AD的中点，

∴PE=BE=BM=3，

∴在Rt△PBE中，PB=PE2+BE2=6，

在Rt△PBC中，PC=PB2+BC2=10，

BF=PC2=102，

∴在△BMF中，cos∠BMF=MF2+BF2−BM22MF⋅BF=1+52−32×1×102=1020．

②∵AD⊥PE，AD⊥BE，PE∩BE=E，BE⊂平面PBE，

∴AD⊥19