2024-2025学年北京市西城区第三十五中学高三上学期开学检测数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市西城区第三十五中学高三上学期开学检测数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A=−1,0,1，B=xx2−x<2A.−1,0,1 B.−1,0 C.0,1 D.−1,12.设z=−2+3i，则在复平面内z对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.在1−2x3的展开式中，x的系数为(

)A.−2 B.2 C.−6 D.64.某地区居民血型的分布为O型49%,A型19%,B型25%,AB型7%.已知同种血型的人可以互相输血，O型血的人可以给任何一种血型的人输血，AB型血的人可以接受任何一种血型的血，其他不同血型的人不能互相输血.现有一血型为A型的病人需要输血，若在该地区任选一人，则能为该病人输血的概率为(

)A.19% B.26% C.68% D.75%5.下列函数中，在区间0,+∞上为增函数的是(

)A.y=−x B.y=x2−2x C.6.函数fx是定义在R上的奇函数，当x>0时，fx=log2A.12 B.2 C.−127.若a=2log32,b=log14A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a8.已知a>0且a≠1，则“a>12且a≠1”是“logaA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9.已知函数fx=ln1+xA.fx在−1,1上是减函数，且曲线y=fx存在对称轴

B.fx在−1,1上是减函数，且曲线y=fx存在对称中心

C.fx在−1,1上是增函数，且曲线y=fx存在对称轴

D.10.已知函数fx=log2x,x>02x+1,x≤0，实数a,b,m满足a≤m≤b.若对任意的mA.83 B.103 C.4 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.函数fx=ln2+x+12.已知函数fx=2log2x−log2x−1，则fx13.某学校有A，B两家餐厅，甲同学第一天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.6；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8.则甲同学第二天去A餐厅用餐的概率为

；14.已知等比数列an满足：an>0，a4+a6=5，a3a515.函数y=kx2+1ex的图象可能是三、解答题：本题共6小题，每小题5分，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.（14分）已知函数fx=x2(1)f′x=______，(2)fx(3)fx(4)画出函数fx(5)若方程fx=m恰好有2个解，则实数(6)若gx在R上单调，则实数a(7)若函数gx存在极值，则极值点的个数可能为______.(写出所有可能17.（13分）科学家发现某种特别物质的温度y(单位：摄氏度)随时间x(时间：分钟)的变化规律满足关系式：y=m⋅2(1)若m=2，求经过多少分钟，该物质的温度为5摄氏度；(2)如果该物质温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．18.（13分）为了解某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的(1)班∼(8)班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下(x轴表示对应的班号，y轴表示对应的优秀人数)：

(1)若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，试估计该生身体素质监测成绩达到优秀的概率；(2)若从高一(2)班抽测的10人中随机抽取2人，从高一(4)班抽测的10人中随机抽取1人，设X表示这3人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求X=2的概率；(3)假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“ξk=1”表示第k班抽到的这名同学身体素质优秀，“ξk=0”表示第k班抽到的这名同学身体素质不是优秀k=1,2,⋯,8.写出方差Dξ1，Dξ2，19.（15分）已知函数fx=x−a(1)若曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线为x轴，求a的值；(2)讨论fx在区间(1(3)若a=2，求证：fx存在两个零点x1,x20.（15分）已知函数fx=(1)当a=1时，求曲线y=fx在点1,f(2)当a>0时，求函数fx(3)当a<0时，若函数fx无零点，求a的取值范围．21.（15分）首项为0的无穷数列an同时满足下面两个条件：①an+1(1)请直接写出a4(2)记bn=a2n，若bn(3)对于给定的正整数k，求a1+a参考答案1.C

2.C

3.C

4.C

5.C

6.D

7.B

8.D

9.D

10.D

11.−2,0

12.(1,+∞)

；

；

；

；

；；2

13.0.7

14.2

；

；

；

；

；；115.①②③

16.(1)因为fx=x所以f′xg′x(2)又(1)f′x=x2−xex，令f′x当x>2时，f’(x)<0，函数当0<x<2时，f’(x)>0，函数当x<0时，f’(x)<0，函数所以当x=0时，函数fx取极小值，极小值为0所以函数fx的极小值点为0，极小值为0(3)由(2)当x=2时，函数fx取极大值，极大值为4所以函数fx的极大值点为2，极大值为4(4)由(2)函数fx的单调递减区间有2,+∞，−∞,0单调递增区间有(0,2)，f0由(3)f2因为fx所以当x=0时，fx=0，当x≠0时，当x→−∞时，fx→+∞，当x→+∞时，所以函数fx(5)由(4)可得当且仅当m=4e2时，方程f所以m=4(6)由(1)g′x=x2e所以g′x=x所以a≥−x2ex所以a的取值范围是0,+∞．(7)由(1)g′x当a≥0时，g′x>0，函数gx所以函数gx当−4e2设g′x=0的根为x1当x<x1时，g′x当x1<x<x2时，当x2<x<x3时，当x>x3时，g′x此时函数gx有3当a=−4e2时，方程设g′x=0的另一根为x4当x<x4时，g′x当x4<x<2时，g′x当x>2时，g′x<0，函数此时函数gx有1当a>−4e2设g′x=0的根为当x<x5时，g′x当x>x5时，g′x此时函数gx有1所以若函数gx存在极值，则极值点的个数可能为1，3

17.解：(1)由题意，当m=2，则2⋅2x+21−x=5，

解得x=1或x=−1；由0≤x≤4，∴x=1，

故经过1分钟，温度为5摄氏度．

(2)由题意得m2x+21−x≥2对0≤x≤4恒成立，

则由2x>0，得

m≥22x−2(2x)2，

令18.(1)由题意知从高一年级的(1)班∼(8)班了抽测共80人，其中身体素质监测成绩达到优秀的共有8+6+9+4+7+5+9+8=56，故估计该生身体素质监测成绩达到优秀的概率为5680(2)由题意可知高一(2)班抽测的10人中优秀的有6人，高一(4)班抽测的10人中优秀的有4人，则X=2表示抽测的3人中身体素质监测成绩达到优秀的有2人，则PX=2(3)由题意得Pξ由于ξk服从两点分布，则DPξ2=1Pξ3=1Pξ4=1故Dξ

19.(1)函数fx=x−aln因为函数y=f(x)在(1,0)处的切线为x轴，所以f′(1)=1−a=0，即(2)函数f(x)的导函数f′(x)=x−a若a≤1，当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0恒成立，函数f(x)在(1,+∞)上单调递增，即函数f(x)无极值点．若a>1，当x∈(1,a)时，f′(x)<0，函数f(x)在(1,a)上单调递减，当x∈a,+∞时，f′(x)>0，函数f(x)在a,+∞因此，x=a为f(x)的极值点，且f(x)无极大值点．所以当a≤1时，f(x)在(1,+∞)内极值点个数为0；当a>1时，f(x)在(1,+∞)内极值点个数为1．(3)当a=2时，导函数f′(x)=x−2当x∈(0,2)时，f′(x)<0，则f(x)在(0,2)单调递减，当x∈2,+∞时，f′(x)>0，则f(x)在2,+∞所以f(x)≥f(2)=1−2ln又因为f(2)=1−2ln当x→0时，f(x)→+∞，当x→+∞时，f(x)→+∞，所以函数f(x)存在两个零点x1设0<x1<2<x2又因为f(2)=1−2lnf(4)=4−2ln所以2<x所以x1

20.(1)当a=1，y=fx=x+2x−2lnx则曲线y=f(x)在点1,f(1)处的切线方程为y−3=0×(x−1)，即y=3．(2)f′当a>0时，则ax+2>0，令f′(x)>0则x>1故f(x)在0,1a2单调递减，1a2fx的极小值点为1(3)当a<0，ax−1<0,令f′(x)>0，则x>4a2，令故f(x)在4a2,+∞故当x=4最小值为f4且x→+∞,f(x)→+∞，且x→0,f(x)→+∞．若函数fx无零点，则fxmin=−4ln2+2ln由于a<0，则a<−2．所以a的取值范围为a<−2．

21.(1)a4的值可以取(2)因为bn=a2n，因为bn即数列an的偶数项a根据条件a2=−1，所以当a2n≥0对下面我们证明“数列{a假设数列{an}因为|a若ai+1−a若ai+1−ai=−i,所以假设错误，即数列{a此时a2n≥0对所以当n≥2时，a2n−1≤0,a所以a2na2n−1所以a2n即a2n−a即bn−b又b1=a所以bn是以b1=−1所以bn(3)记Sk由