2024-2025学年广东省深圳市福田区华富中学九年级（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省深圳市福田区华富中学九年级（上）开学数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是(

)A. B. C. D.2.已知a<b，下列式子一定成立的是(

)A.a−1>b−1 B.ac<bc C.a3<b3.等腰三角形的一个角是80°，它的底角度数为(

)A.100° B.50° C.100°或50° D.80°或50°4.若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是(    )边形．A.三 B.四 C.五 D.六5.下列命题中，假命题的是(

)A.矩形的对角线相等 B.平行四边形的对角线互相平分

C.对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D.对角线相等且互相垂直的四边形是正方形6.某农场开挖一条长480米的渠道，开工后每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么下列方程中正确的是(

)A.480x−20−480x=4 B.480x7.如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，如：因为16=52−32，所以16就是一个“智慧数”，下面A.2021 B.2022 C.2023 D.20248.已知，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD为边AB上的中线，若E是线段CA上

任意一点，DF⊥DE，交直线BC于F点.G为EF的中点，连接CG并延长交直线AB于点H.若AE=6，CH=10，则CE的长为(

)A.7B.8 C.9 D.10二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。9.因式分解：ax2+4ax+4a=10.如图，已知一次函数y=kx+3和y=−x+b的图象交于点P(2,4)，则关于x的不等式kx+3>−x+b的解是______．11.如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠EPF=140°，则∠EFP的度数是______．12.如图，在▱ABCD中，小平行四边形沿对角线AC平移两次就到了图中的位置(阴影部分)，若小平行四边形的面积是2，则▱ABCD面积是______．13.如图在△ABC中，∠B=∠C，∠BAC=52°，点D为AB的中点，且OD⊥AB，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC的度数是______．三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。14.(本小题8分)

计算

(1)解不等式组：2x−1>x①x−13≤1②．

(2)解分式方程：x15.(本小题6分)

化简：(x+2x2−2x−x−1x2−4x+416.(本小题8分)

如图，在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形)，△ABC和△A1B1C1关于点D成中心对称．

(1)画出对称中心D，并写出点D的坐标；

(2)画出△A1B1C1绕点O逆时针旋转90°后的△17.(本小题8分)

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，E、F分别是BC、AC的中点，延长BA到点D，使AB=2AD，连接DE、DF、AE、EF，AF与DE交于点O．

(1)试说明AF与DE互相平分；

(2)若AB=8，BC=12，求DO的长．18.(本小题8分)

某校在商场购进A、B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元．

(1)问购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？

(2)该校决定再次购进A、B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？19.(本小题11分)

定义：若分式A与分式B的和等于它们的积，即A+B=AB，则称分式A与分式B互为“等和积分式”.如21+x与21−x，因为21+x+21−x=4(1+x)(1−x)=21+x⋅21−x.所以21+x与21−x互为“等和积分式”，其中一个分式是另外一个分式的“等和积分式”.又如求1a的等和积分式，可设其为B，由定义有1a+B=1a⋅B，去分母得1+a⋅B=B，解得B=11−a.解答以下问题：

(1)判断分式2aa+120.(本小题12分)

【课本再现】

(1)如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形OEBF为两个正方形重叠部分，正方形A1B1C1O可绕点O转动.则下列结论正确的是______(填序号即可)．

①△AEO≌△BFO；

②OE=OF；

③四边形OEBF的面积总等于14；

④连接EF，总有AE2+CF2=EF2．

【类比迁移】

(2)如图2，矩形ABCD的中心O是矩形A1B1C1O的一个顶点，A1O与边AB相交于点E，C1O与边CB相交于点F，连接EF，矩形A1B1C1O可绕着点O旋转，猜想AE，CF，EF之间的数量关系，并进行证明；

【拓展应用】

(3)如图3，在Rt△ACB参考答案1.A

2.C

3.D

4.B

5.D

6.C

7.B

8.B

9.a(x+2)10.x>2

11.20°

12.18

13.104°

14.解：(1)2x−1>x①x−13≤1②，

解不等式①得：x>1，

解不等式②得：x≤4，

∴原不等式组的解集为：1<x≤4；

(2)x2x−5+55−2x=1，

方程两边同乘2x−5，得：x−5=2x−5，

解得：x=0，15.解：原式=[x+2x(x−2)−x−1(x−2)2]⋅x(x+4)(x+4)(x−4)

=x2−4−x(x−1)x(x−2)2⋅xx−4

=x−4x(x−2)2⋅x16.解：(1)D点坐标(−3,−1)

(2)如图，画出△A2B2C2；

17.解：(1)∵E、F分别是BC、AC的中点，

∴EF是△ABC的中位线，

∴EF//AB且EF=12AB．

又AB=2AD，即AD=12AB，

∴AD//EF，AD=EF，

∴四边形AEFD是平行四边形，

∴AF与DE互相平分；

(2)∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，BC=12，

∴由勾股定理得AC=BC2−AB2=122−82=45

又由(1)知，OA=OF，且18.解：(1)设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需(x+30)元，

由题意得：2500x=2×2000x+30，

解得：x=50，

经检验，x=50是原方程的解，且符合题意，

则x+30=80．

答：购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元．

(2)设该校此次可购买a个B品牌篮球，则购进A品牌篮球(50−a)个，

由题意得：50×(1+8%)(50−a)+80×0.9a≤3060，

解得：a≤20，

答：该校此次最多可购买2019.bb−a【解析】解：(1)是；

∵2aa+1+2aa−1=2a(a−1)+2a(a+1)(a+1)(a−1)=2a⋅2a(a+1)(a−1)=2aa+1⋅2aa−1，

∴分式2aa+1与分式2aa−1是“等和积分式”；

(2)设分式xx−3y的“等和积分式”为A，

则xx−3y+A=xx−3y⋅A，

∴xx−3y=(xx−3y−1)A，

∴A=xx−3y÷(xx−3y−1)=xx−3y⋅x−3y3y=x3y，

即分式xx−3y的“等和积分式”为x3y；

(3)①分式ba的“等和积分式”为bb−a，理由如下：设分式ba的“等和积分式”为M，

则ba+M=ba⋅M，

∴ba=(ba−1)⋅M，

∴M=ba÷(ba−1)=bb−a；

②由规律可得m−1nx+2x的“等和积分式”为m−1m−1−nx−2x，

m−1nx+2x与n+12m−mx互为“等和积分式”，

∴m−1−nx−2x=2m−mx,m−1=n+1，

由m−1=n+1得：n=m−2，

将n=m−2代入m−1−nx−2x=2m−mx，

得：m−1−(m−2)x−2x=2m−mx，

解得m=−1，

∴n=−1−2=−3．

20.(1)①②③④；