2024-2025学年安徽省六校教育研究会高三（上）入学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年安徽省六校教育研究会高三（上）入学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|(x−1)(x−2)≤0}，B={−1,0,1,2,3}，则A∩B=(

)A.{−1,0,3} B.{−1,0,1} C.{1,2} D.{2,3}2.设复数z满足(z−1)i=−1，则z−=(

)A.1+i B.1−i C.−1+i D.−1−i3.设公差d≠0的等差数列{an}中，a2，a5，aA.1011 B.1110 C.344.已知sin(α+β)=−35,1A.−310 B.15 C.−5.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，AD=4，则该四棱锥外接球的体积为(

)A.24π

B.26π

C.20π6.已知函数f(x)=2sinx+cosx−5x，若a=f(lg2)，b=f(ln3)，c=f((−1)0)，则a，bA.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>b>a7.若当x∈[0,2π]时，函数y=sinx2与y=2sin(ωx−π4)(ω>0)的图象有且仅有4A.[98,138) B.(8.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+2)+f(x)=f(12)，f(−3x+1)为奇函数，且f(12)=12A.−11 B.−12 C.212二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若随机变量X∼N(5,σ2)且P(X<m)=P(X>n)，则下列选项正确的是A.E(2X+1)=7

B.m2+n2的最小值为50

C.P(X≥3+σ)>P(X≤3−σ)

D.10.1694年瑞士数学家雅各布⋅伯努利描述了如图的曲线，我们将其称为伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系xOy中，把到定点F1(−a,0)，F2(a,0)距离之积等于a2(a>0)的点的轨迹称为双纽线，已知点P(x0,A.双纽线C的方程为(x2+y2)2=2(x2−y2)

B.−11.已知函数f(x)=ex，g(x)=lnx，则下列说法正确的是(

)A.函数f(x)的图像与函数y=x2的图像有且仅有一个公共点

B.函数f(x)的图像与函数g(x)的图像没有公切线

C.函数φ(x)=g(x)f(x)，则φ(x)有极大值，且极大值点x0∈(1,2)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.平面四边形ABCD中，AB=3，BC=5，CD=6，DA=7，则AC⋅BD=13.倾斜角为锐角的直线l经过双曲线C：x23m2−y2m2=1(m>0)的左焦点F1，分别交双曲线的两条渐近线于A，14.我国河流旅游资源非常丰富，夏季到景点漂流是很多家庭的最佳避暑选择某家庭共6个人，包括4个大人，2个小孩，计划去贵州漂流.景点现有3只不同的船只可供他们选择使用，每船最多可乘3人，为了安全起见，小孩必须要大人陪同，则不同的乘船方式共有______种.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,ccosC=2a−bcosB．

(1)求角C；

(2)若△ABC的面积S=23，若16.(本小题15分)

如图，在三棱台ABC−A1B1C1中，上、下底面是边长分别为4和6的等边三角形，AA1⊥平面ABC，设平面AB1C1∩平面ABC=l，点E，F分别在直线l和直线BB1上，且满足EF⊥l，EF⊥BB1．17.(本小题15分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右顶点分别为A、B，R是椭圆C上异于A、B的动点，满足kRA⋅kRB=−14，当R为上顶点时，△ABR的面积为8．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点M(−6,−2)的直线与椭圆C交于不同的两点D，E(D,E与A、B18.(本小题17分)

已知函数f(x)=−xsinx+mx2+n．

(1)当m=1时，求证：函数f(x)有唯一极值点；

(2)当m=0,n=32时，求f(x)在区间[0,π]上的零点个数；

(3)两函数图像在公共点处的公切线称为“合一切线”.若曲线y=f(x)与曲线y=−cosx存在两条互相垂直的“合一切线”，求19.(本小题17分)

若数列{an}满足|ai|<1(i=1,2,⋯,n)，则称该数列为边界为1的数列.对于边界为1的有穷数列{an}，从该数列中任意去掉两项ai，aj(i≠j)，同时添加ai+aj1+aiaj作为该数列的末项，可以得到一个项数为n−1项的新数列，称此过程为对数列{an}实施一次“降维”.规定这种“降维”只能实施于边界为1的数列.如果数列{an}经过若干次“降维”后成为只有一项的数列，即得到一个实数，则称该实数为数列{an}的一个“坍缩数”．

(1)设数列{an}的递推公式为a参考答案1.C

2.B

3.A

4.A

5.D

6.B

7.C

8.D

9.BC

10.ABD

11.ACD

12.29213.714.348

15.解：(1)由于ccosC=2a−bcosB，根据正弦定理得sinCcosC=2sinA−sinBcosB，

所以sinCcosB=2sinAcosC−sinBcosC，

所以sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosC，

则有sin(B+C)=sinA=2sinAcosC，

在△ABC中，sinA≠0，cosC=12，则C=π3．

(2)由(1)得S△ABC=12absinC=12ab×32=34ab=23，

故ab=8，又AD=2DB，且|CD|=2213，

所以CD=CB−DB=CB−13AB16.解：(1)证明：由三棱台ABC−A1B1C1知，B1C1/​/平面ABC，

因为B1C1⊂平面AB1C1，且平面AB1C1∩平面ABC=l，所以B1C1//l，

因为EF⊥l，所以EF⊥BC，又EF⊥BB1，BC∩BB1=B，BC，BB1⊂平面BCC1B1，

所以EF⊥平面BCC1B1；

(2)取BC中点M，连接AM，以A为原点，AM所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴，

过点A做x轴垂直于yOz平面，建立空间直角坐标系如图，设三棱台的高为ℎ，

则B(3,33,0),B1(2,23,ℎ),CB=(6,0,0),BB1=(−1,−3,ℎ)，17.解：(1)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右顶点分别为A、B，R是椭圆C上异于A、B的动点，

不妨设椭圆上顶点R0(0,b)，

此时kR0A⋅kR0B=ba⋅b−a=b2−a2=−14，

因为△ABR0的面积为8，

所以12×2ab=8，

联立解得a=4，b=2，

所以椭圆C的标准方程为x216+y24=1．

(2)依题意，直线DE的斜率存在，设斜率为k，

又点M(−6,−2)，则直线DE的方程为y=k(x+6)−2，设D(x1,18.(1)证明：函数φ(x)=x−sinx，有φ′(x)=1−cosx≥0，则φ(x)在R上单调递增，

当x>0时，有φ(x)>φ(0)=0，即x−sinx>0．

当m=1时，由f(x)=−xsinx+x2+n，得f′(x)=−sinx−xcosx+2x，且f′(0)=0．

当x>0时，f′(x)=x(1−cosx)+x−sinx．

因为1−cosx≥0，x−sinx>0，所以f′(x)>0．

因为f′(−x)=−f′(x)对任意x∈R恒成立，所以当x<0时，f′(x)<0．

则f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，

所以x=0是f(x)的唯一极值点．

(2)解：当m=0,n=32时，f(x)=−xsinx+32，f′(x)=−sinx−xcosx，

当x∈[0,π2]时，f′(x)≤0，所以f(x)在x∈[0,π2]上单调递减，

因为f(0)=32>0,f(π2)=3−π2<0，

所以由零点存在定理知f(x)在x∈[0,π2]上有且仅有一个零点．

当x∈[π2,π]时，令ℎ(x)=f′(x)=−sinx−xcosx，则ℎ′(x)=−2cosx+xsinx，

当x∈(π2,π)时，有ℎ′(x)>0，所以ℎ(x)在[π2,π]上单调递增，

又因为ℎ(π2)=−1〈0,ℎ(π)=π〉0，所以存在m∈(π2,π)使得ℎ(m)=0，

当x∈(π2,m)时，f′(x)=ℎ(x)<ℎ(m)=0，所以f(x)在(π2,m)上单调递减，

所以当x∈[π2,m]时f(x)≤f(π2)<0，故f(x)在[π2,m]上无零点，

当x∈(m,π)时，f′(x)=ℎ(x)>ℎ(m)=0，所以f(x)在(m,π)上单调递增，

又f(m)<f(π2)〈0,f(π)=32〉0，所以f(x)在(m,π)上有且仅有一个零点．

综上所述：f(x)在[0,π]上有且只有2个零点．

(3)解：设曲线y=f(x)与曲线y=−cosx的两条互相垂直的“合一切线”的切点的横坐标分别为x1，x2，19.解：(1)由题意，可得该数列第3项a3=12，

由递推公式an+1=2an2an−1(n∈N+)，可得a2=−12,a1=16，

经计算，无论降维过程如何进行，最终得到的坍缩数都是16．

(2)设−1<ai<1，−