电路基础（微课版）课件 第8章 非正弦周期交流电路

第8章

非正弦周期交流电路第8章非正弦周期交流电路本章介绍非正弦周期交流电路。首先介绍非正弦周期量的概念以及利用傅里叶级数将非正弦周期量分解为正弦量的方法；然后介绍非正弦周期量的有效值、平均值和平均功率；最后介绍非正弦周期交流电路的分析方法。2第8章非正弦周期交流电路8.1非正弦周期量8.2非正弦周期量的分解8.3有效值、平均值和平均功率8.4非正弦周期交流电路的分析38.1非正弦周期量前面讨论了正弦交流电路的分析计算方法，从中得出，在一个线性电路中有一个或多个同频率的正弦信号同时作用时，电路的稳态响应仍为同频率的正弦量。但是，在科学研究和生产实践中，除了正弦交流电外，还会经常遇到非正弦交流电。在电力工程中，交流发电机由于制造等方面的原因，其发出的电压波形实际上是一种近似的正弦波。晶体管交流放大器中的电压、电流是直流分量和交流分量的叠加。如图所示为晶体管交流放大器中的电流波形。48.1非正弦周期量在计算机、自动控制等技术领域内大量应用的脉冲电路中，电压和电流的波形也都是非正弦的。图（a）、（b）和（c）所示分别为周期脉冲电压、方波电压和锯齿波电压的波形图。另外，如电路中含有非线性元件，即使在正弦电压作用下，电路中也会出现非正弦电流，如图（d）所示为通过半波整流器得出的电压波形。58.1非正弦周期量上述电流和电压的波形虽然各不相同，但如果它们能按一定规律周而复始地变化，则称为非正弦周期电压或电流。分析非正弦周期交流电路，需要用傅立叶级数将非正弦周期电流或电压分解为一系列不同频率的正弦电流或电压之和，然后分别计算它们在电路中单独作用时产生的正弦电流或电压分量，最后再根据线性电路的叠加定理，把所有分量叠加起来就得到了电路中实际的稳态电流或电压。68.2非正弦周期量的分解对于给定的周期函数，当其满足狄里赫利条件，即（1）周期函数极值点的个数为有限个；（2）间断点的数目为有限个；（3）在一个周期内绝对可积，即78.2.1傅里叶级数它就可以分解为一个收敛的傅里叶级数，即8.2非正弦周期量的分解式中

，

项为偶函数，

项为奇函数，可按下列公式计算得到88.2.1傅里叶级数8.2非正弦周期量的分解上述表达式还可以利用三角函数公式合并成另一种形式98.2.1傅里叶级数其中8.2非正弦周期量的分解上述的无穷三角级数称为周期函数

的傅立叶级数，后一式中

称为

的直流分量，它是非正弦周期函数一周期内的平均值。

称为

的

k次谐波分量。

是

k次谐波分量的振幅，

是

k次谐波分量的初相位。特别的，

当

时，称为

的基波分量，其周期或频率与

相同。

的各项统称为高次谐波，它们的频率是基波频率的整数倍。108.2.1傅里叶级数8.2非正弦周期量的分解118.2.1傅里叶级数工程中常见的几种典型的非正弦周期函数的傅立叶级数。傅立叶级数一般收敛很快，较高次谐波的振幅很小实际工程中一般只需计算前几项就足够准确了。8.2非正弦周期量的分解在电工电子技术中，常见的非正弦周期函数常具有某种对称性，在对称周期函数的傅立叶级数中不一定包含全部项，它们有一定的规律可循，掌握这些规律可使得傅立叶级数系数的求解大大简化。下面讨论几种常见的对称周期函数。128.2.2周期函数的对称性8.2非正弦周期量的分解周期函数为偶函数138.2.2周期函数的对称性将偶函数展开为傅立叶级数时，有即偶函数的傅立叶级数无正弦谐波分量，只含有直流分量和余弦谐波分量。8.2非正弦周期量的分解周期函数为奇函数148.2.2周期函数的对称性将奇函数展开为傅立叶级数时，有即奇函数的傅立叶级数不含直流分量和余弦谐波分量。8.2非正弦周期量的分解周期函数为半波对称函数158.2.2周期函数的对称性将半波对称函数展开为傅立叶级数时，有即半波对称函数的傅立叶级数无直流分量，无偶次谐波分量，因此半波对称函数又称为了奇谐波函数。8.2非正弦周期量的分解解根据图示波形可写出函数的表达式16例题

求下图所示周期函数的傅立叶级数。函数关于原点对称，因此它是奇函数，根据对称性可知其傅立叶级数中只包含正弦谐波分量，其系数为将代入上式得8.2非正弦周期量的分解解因此可以得到傅立叶级数17例题

求下图所示周期函数的傅立叶级数。8.3有效值、平均值和平均功率在正弦交流电路中讨论过，任何周期量的有效值都定义为它的方均根值。以电流为例，其有效值为188.3.1有效值若

i的解析式已知，可直接由上式计算其有效值。若

i为非正弦周期电流，可将其分解为傅立叶级数，即8.3有效值、平均值和平均功率将该表达式代入有效值定义式中，得198.3.1有效值先将上式根号内的平方项展开，展开后有4项可分为两种类型，第一类是各次谐波的平方，有下面2项，它们在一个周期内的平均值分别为8.3有效值、平均值和平均功率所以，非正弦周期电流的有效值与它的各次谐波分量的有效值的关系为208.3.1有效值同理可得非正弦周期电压的有效值8.3有效值、平均值和平均功率解先求各谐波分量的有效值21例题求电压的有效值。根据前面结论可得整体有效值为8.3有效值、平均值和平均功率在实际工程中，除用到有效值外，还常用到平均值。仍以电流为例，其平均值定义为228.3.2平均值从上式可知，交流量的平均值实际上就是其傅立叶级数中的直流分量。对于那些直流分量为零的交流量，其平均值总是为零。为了便于测量与分析，常用交流量的绝对值在一个周期内的平均值来定义交流量的平均值，即上式有时也称为整流平均值。8.3有效值、平均值和平均功率对于正弦量有238.3.2平均值或即正弦波的有效值是其整流平均值的1.11倍。同样的，对于电压量有8.3有效值、平均值和平均功率用不同类型的仪表去测量同一个非正弦周期量，会得到不同的测量结果。例如磁电系仪表指针偏转角度正比于被测信号的直流分量，读数为直流量；电磁系仪表指针偏转角度正比于被测信号有效值的平方，读数为有效值；而整流系仪表指针偏转角度正比于被测信号的整流平均值，其标尺是按正弦量的有效值与整流平均值的关系换算成有效刻度的，只在测量正弦量时，测得的才确实是它的有效值，而测量非正弦量时就会有误差。因此，在测量非正弦周期量时要合理选择测量仪表。248.3.2平均值8.3有效值、平均值和平均功率非正弦周期电流电路的平均功率仍定义为其瞬时功率在一个周期内的平均值。设一个负载或者二端网络的电压、电流为258.3.3平均功率式中u、i

取关联参考方向，则负载或二端网路的瞬时功率为8.3有效值、平均值和平均功率代入平均功率的定义式，得平均功率为268.3.3平均功率上式右边项展开后将包含有两种类型的积分项：一种是同次谐波电压和电流的乘积，它们的平均值为8.3有效值、平均值和平均功率另一种是不同次谐波电压和电流的乘积，根据三角函数的正交性，它们的平均值为零。因此得到平均功率278.3.3平均功率上述讨论可知非正弦周期电流电路中，不同次（包括零次）谐波电压、电流虽然构成瞬时功率，但不构成平均功率；只有同次谐波电压、电流才构成平均功率；电路的平均功率等于各次谐波的平均功率之和（包括直流分量）。8.3有效值、平均值和平均功率非正弦周期电流电路的无功功率定义为各次谐波无功功率之和，即288.3.3平均功率非正弦周期电流电路中有时也用到视在功率，定义为显然，视在功率不等于各次谐波视在功率之和。功率因数定义为8.3有效值、平均值和平均功率29例题设某无源二端网络端口电压、电流为关联参考方向，并且已知求该二端网络的平均功率。解根据前面结论可得平均功率表达式8.4非正弦交流电路的分析30非正弦周期交流电路的分析通常采用谐波分析法，其步骤如下。（1）将给定的非正弦周期电源电压或电流分解为傅里叶级数，谐波取到第几项，由所需的计算精度来决定。（2）分别计算电路对直流分量和各次谐波分量单独作用时的响应。对直流分量，电感相当于短路，电容相当于开路，电路成为电阻性电路。对各次谐波，电路成为正弦交流电路。要注意的是：电感、电容对不同频率的谐波的感抗、容抗不同，谐波次数越高，感抗越大，容抗越小。（3）应用叠加定理，将步骤（2）所计算的结果化为瞬时值表达式后进行相加，最终求得电路的响应。这里要注意：因为不同谐波分量的角频率不同，其对应的相量直接相加是没有意义的。8.4非正弦交流电路的分析31例题如图（a）所示电路中，已知求各支路电流。8.4非正弦交流电路的分析32解由于非正弦周期电压源的傅立叶级数展开式已经给出，因此可直接计算电源电压各谐波分量单独作用于电路时的响应。（1）电压源的直流分量单独作用时的电路如图（b）所示，用下标“0”表示各直流分量（即零次谐波）。此时电感相当于短路，电容相当于开路，各支路电流为8.4非正弦交流电路的分析33（2）电压源的基波分量单独作用时的电路如图（c）所示，用下标“1”表示各基波分量（即一次谐波），此时感抗和容抗为8.4非正弦交流电路的分析34因此各支路电流相量为8.4非正弦交流电路的分析35（3）电压源的三次谐波分量

单独作用时的电路如图（d）所示，用下标“3”表示各三次谐波分量，此时感抗和容抗为8.4非正弦交流电路的分析36因此各支路电流相量为8.4非正弦交流电路的分析37（4）将上述计算所得的直流分量和各次谐波分量叠加在一起，得各支路电流为8.4非正弦交流电路的分析38例题如图所示电路中，已知求BC两点之间的电压及其有效值。8.4非正弦交流电路的分析39解（1）基波单独作用于电路时，由于，故此时所在支路发生串联谐振