湖南省邵东市创新学校2025届高三上学期第二次月考数学试题

邵东创新2024-2025学年高三上学期第二次月考数学试卷考试时间：120分钟试卷总分：150分命题老师：审题老师：一、单选题（本大题共8小题，共40分）1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．若，则“”是“”成立的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．以下函数满足的的是（）A. B.C. D.4．已知平面向量，，，且，则（

）A． B． C． D．5．如图是下列四个函数中的某个函数的大致图象，则该函数是（

）A． B．C． D．6．设满足，则=（）A. B. C. D.7．函数在上的零点个数为（）A.1 B.2 C.3 D.48．已知，，，则（）A. B.C. D.二、多选题（本大题共3小题，共18分）9．给出下列命题，其中正确的是（

）A．重心到顶点与对边中点的距离之比为1：2B．等腰三角形的内心，重心和外心同在底边的高线上C．直角三角形的外心是斜边的中点，垂心是直角的顶点D．中，若，I为的内心，则面积面积面积10．已知正实数，，满足，当取最小值时，下列说法正确的是A. B.C.的最大值为1 D.的最小值为11．函数的定义域为R，且在单调递减，，若函数的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（

）A．的图象关于直线对称 B．为偶函数C．，恒成立 D．的解集为三、填空题（本大题共3小题，共15分）12．函数的值域是_______.13．已知命题：，；命题：，，若p和q都是真命题，则实数的取值范围是；14．已知三角形中，BC=6，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为四、解答题（本大题共5小题，共77分）15．如图，在三角形ABC中，，，线段的垂直平分线交于点，连接.（1）若的面积为，求的长；（2）若，求角的大小.16．A，B，C，D四位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：先将四位同学平均分成两组，每组进行一场比赛决出胜负，获胜者进入胜者组，失败者进入败者组.胜者组和败者组中再各自进行一场比赛，胜者组中获胜者获得冠军，失败者获得亚军，败者组中获胜者获得季军.设每场比赛双方获胜的概率都为.(1)求同学A获得冠军的概率；(2)求A，B两人不能够在比赛中相遇的概率.17．已知函数.（1）当时，求在的单调区间及极值.（2）若恒成立，求的取值范围.18．已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为，离心率为，直线与椭圆交于两点（其中点在轴上方，点在轴下方）.（1）求椭圆的标准方程;（2）如图，将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面(平面)垂直.①若折叠后，求的值;②是否存在，使折叠后两点间的距离与折叠前两点间的距离之比为?在平面直角坐标系中，如果将函数y=f(x)的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”.（1）判断函数是否为“旋转函数”，并说明理由；（2）已知函数；（3）若函数是“旋转函数”，求的取值范围.参考答案：题号12345678910答案CBACDCCBBCDAC题号11答案BCD1．C【分析】根据指数不等式及无理不等式解法化简集合与，然后根据元素与集合的关系判断A、C，根据集合的关系判断B、D.【详解】因为，，所以，，与之间没有包含关系.故选：C.2．B【详解】试题分析：由得，所以，即或；而，只有同时成立才满足条件，所以“”是“”成立的必要不充分条件．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判定．3．【答案】A【解析】【分析】由可得A正确；由对数函数真数的范围可得B错误；代入无意义可得C错误；由可得D错误；【详解】对于A，，所以，故A正确；对于B，，因为原函数的定义域为，所以无意义，故B错误；对于C，当时，，而无意义，故C错误；对于D，，故D错误；故选：A.4．C【分析】利用向量垂直的坐标表示可直接构造方程求得结果.【详解】，，又，，即，解得：.故选：C.5．D【分析】先研究函数的奇偶性，排除AB，再根据当时，，排除C，经过判断，D选项正确.【详解】A选项，的定义域为，，故为偶函数，图象关于y轴对称，A错误；B选项，的定义域为，，故为偶函数，图象关于y轴对称，B错误；C选项，的定义域为，，故为奇函数，但当时，，不合要求，C错误；D选项，的定义域为，且，故为奇函数，当时，，当时，，满足要求.故选：D6．【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用辅助角公式，结合特殊角的三角函数值求出，再利用诱导公式计算即得.【详解】依题意，，则，于是，即，所以.故选：C7．【答案】C【解析】【分析】将函数在上的零点个数问题转化为函数的图象的交点的个数问题，数形结合，可得答案.【详解】由题意函数在上的零点，即为，即的根，也即函数的图象的交点的横坐标，作出的图象如图示：由图象可知在上两函数图像有3个交点，故函数在上的零点个数为3，故选：C8．【答案】B【解析】【分析】构造函数，利用其单调性可知，构造函数利用其单调性和可得.【详解】令，则，当时，f'x>0，所以在上单调递增，故f0.01>f0=0令，，则，令，，则，所以hx在上单调递增，故，即，故在上单调递增，故g0.01>g所以，故，令，，则r'x=故在上单调递增，故r0.01>r0=0故，即．综上可得．故选：B9．BCD【分析】根据三角形内心，重心，垂心，外心的定义即可逐项判断.【详解】解：对A，如图所示：为的重心，连接，易知，且，设,易知，，，，，故，即重心到顶点与对边中点的距离之比为，故A错误；对B，如图所示：等腰三角形底边中线，底边高,顶角角平分线，三线合一，故等腰三角形的内心、重心和外心同在底边的高线上,故B正确；对C，如图所示：由直角三角形斜边中线是斜边的一半知，直角三角形的外心是斜边的中点,又点是直角三角形三边高线的交点，直角三角形的垂心是直角的顶点.故C正确.对D，如下图所示，根据三角形内角和为和，可以得到，，，则三条边之比，，，，的高均为内切圆半径，所以面积比为三边之比，即为，故D正确；故选：BCD.10AC，当且仅当，即时等号成立，此时，故A正确，B错误；，当时，的最大值为1，C正确；无最小值，D错误.故选AC.11．BCD【分析】根据函数的图象关于直线对称，可得的图象关于轴对称，在单调递减得在单调递增，可判断ABC；再由可判断D.【详解】若函数的图象关于直线对称，则的图象关于轴对称，即为偶函数，故B正确；又在单调递减，所以在单调递增，故A错误；所以，恒成立，故C正确；因为，所以，所以的解集为，故D正确.故选：BCD.12．当时，满足，当时，由，所以函数的值域为.13【分析】若为真命题则可解出m的取值范围，若为真命题，则在(0,+∞)上有解，利用导数求出函数的值域即可求得m的范围，两取值范围的交集即为所求.【详解】若，，则，解得；若，，得在(0,+∞)上有解，设，则，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.所以当时，，，所以.若为真命题，则.故答案为：14．12法一：角平分线定理+角法二：角平分定理+边法三：角平分定理+阿波罗尼斯圆15．（1）；（2）.【解析】（1）由的面积可得的值，然后在中由余弦定理得；（2）由条件得，CD＝AD＝；在中，由正弦定理，得，利用二倍角公式即可得出结果.【详解】解：（1）由已知得＝BC·BD·sinB＝，又BC＝2，sinB＝，∴BD＝，cosB＝．在中，由余弦定理，得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cosB＝22＋－2×2××＝．∴CD＝．（2）∵CD＝AD＝，在中，由正弦定理，得，又∠BDC＝2A，得，，解得cosA＝，所以A＝．16．(1)(2)【分析】（1）结合概率的乘法公式即可求出结果；（2）结合概率的乘法公式以及加法公式即可求出结果.【详解】（1）同学A获得冠军的概率为.（2）A，B两人在第一轮相遇的概率为，A，B两人在败者组相遇的概率为，A，B两人在胜者组相遇的概率为，所以A，B两人不能够在比赛中相遇的概率为.17．【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值.（2）【解析】【分析】（1）根据题意，将代入，去掉绝对值符号后求导即可求解；（2）根据题意可得，构造函数，然后去掉绝对值符号利用导数求解函数的最小值即可得到结果.小问1详解】当，时，，则，令f'x>0令f'x<0所以的单调递减区间为，单调递增区间为1,+∞，所以在处取得极小值，无极大值.【小问2详解】依题意可得，对，恒成立，即，令，当时，，单调递减，当时，，则，令，解得，令，解得，综上所述，在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，则，所以，即，所以的取值范围为.18．【答案】（1）（2）①；②不存在【解析】【分析】（1）由焦距为，可得出c的值，再由离心率为和可得出a与b的值，从而求得椭圆的标准方程；（2）①联立直线方程与椭圆方程，由直线和椭圆有两个交点且两个交点在x轴两侧，利用韦达定理求出m范围，然后建立空间直角坐标系，根据条件，得出，即可得出m的值；②分别表示出折叠前间的距离和折叠后间的距离，根据题目中距离的比值列方程求解m，再判断其是否满足条件即可.【小问1详解】由题意，解得：，所以椭圆的标准方程为【小问2详解】折叠前设，联立可得由直线与椭圆交于不同两点，所以，解得，由韦达定理得：，因为位于轴两侧，所以，化简得，从而，以坐标原点，折叠后，分别以原轴负半轴，原轴，原轴正半轴所在直线为轴建立空间直角坐标系，则折叠后①折叠后，则，即，所以