24.1.2 垂直于弦的直径 人教版九年级数学上册课件

24.1.2垂直于弦的直径第二十四章

圆圆是轴对称图形吗？新课导入1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形．2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题．3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题．什么是轴对称图形？我们学过哪些轴对称图形？回顾知识点1圆的轴对称性

如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形．线段角等腰三角形矩形菱形等腰梯形正方形圆用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？和同伴交流.发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．圆有无数条对称轴，每一条对称轴都是直径所在的直线.圆有哪些对称轴？O如何来证明圆是轴对称图形呢？BOACDE大胆猜想已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．满足什么条件才能证明圆是轴对称图形呢？是轴对称图形．思考：左图是轴对称图形吗？证明：连接OA、OB.则OA＝OB．又∵CD⊥AB，∴直径CD所在的直线是AB的垂直平分线.∴对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线CD的对称点，即⊙O关于直线CD对称.BOACDE

圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.知识点2

垂径定理及其推论显然，由上面的证明可知，如果⊙O的直径CD垂直于弦AB,垂足为E，那么点A、B是关于CD所在直线的对称点，则AE=BE.把⊙O沿CD对折时，AD与BD重合，即AD=BD.⌒⌒⌒⌒BOACDE垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理BOACDE下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？DOCAEBDOCAEB图1图2图3图4DOCAEBOAEB推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．AE＝BEAC＝BCAD＝BD⌒⌒⌒⌒CD是直径，AB是弦，CD⊥AB①过圆心②垂直于弦③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧题设结论DOABEC垂径定理NOABMCD为什么强调这里的弦不是直径？一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直.因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立．根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说.如果具备：（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任意

个条件都可以推出其他

个结论.两三条件结论命题①③②④⑤①④②③⑤①⑤②③④②③①④⑤②④①③⑤②⑤①③④③④①②⑤③⑤①②④④⑤①②③平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧．平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．

弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧．垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧．平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦．垂径定理的推论垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形d+h=rdhar有哪些等量关系？

在a，d，r，h中，已知其中任意两个量，可以求出其它两个量．例

赵州桥是我国隋代建造的石拱桥,距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位).ACBDO377.2318.5RR-7.23解：设赵洲桥主桥拱的半径为R.

则R2=18.52+(R-7.23)2

解得：R≈27.3

因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.ACBDO377.2318.5RR-7.231.

在⊙O中，若CD

AB于M，AB为直径，则下列结论不正确的是()A.B.C.AM

OM

D.CM

DMMAOCDBC2.

已知⊙O的直径AB10，弦CD

AB于M，OM3，则CD

.MAOCDB85343.

在⊙O中，弦CD

AB于M，AB为直径，若CD10，AM1，则⊙O的半径为

.MBOCDAr15r1(r1)252

r2134.⊙O的半径为13cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离.MAOCDBN解：过点O向AB，CD作垂线，垂足分别为M，N，连接OB，OD.由垂径定理可得：

BM

AB12cm，DN

CD5cm

又∵OB

OD13cm

在Rt△OBM，Rt△ODN中，

由勾股定理得：OM5cm，ON12cm

∴AB和CD之间的距离MN

OM

ON7cm

或MN

OM

ON