高考总复习理数（北师大版）第8章第7节空间向量的应用

第七节空间向量的应用考点高考试题考查内容核心素养空间向量的应用2017·全国卷Ⅰ·T18·12分面面垂直的判定，二面角的计算直观想象逻辑推理数学运算2017·全国卷Ⅱ·T19·12分线面平行的判定，空间向量的应用，线面角、二面角2015·全国卷Ⅱ·T19·12分利用面面平行的性质作图，求线面角命题分析从近几年高考情况看，利用空间向量证明平行与垂直，以及求空间角(特别是二面角)是高考的热点，考查频率很高，主要考查向量的坐标运算及向量的平行、垂直、夹角问题，难度中等，多以解答题形式出现.1．空间位置关系(1)直线的方向向量与平面的法向量的确定①直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．②平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·a＝0，,n·b＝0.))(2)空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔m·n＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n·m＝02.空间角(1)直线间的夹角①两条直线的夹角当两条直线l1与l2共面时，我们把两条直线交角中，范围在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))内的角叫作两直线的夹角．②异面直线l1与l2的夹角当直线l1与l2是异面直线时，在直线l1上任取一点A作AB∥l2，我们把直线l1和直线AB的夹角叫作异面直线l1与l2的夹角．设s1，s2分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2的夹角θs1与s2的夹角〈s1，s2〉范围eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))(0，π)求法cosθ＝|cos〈s1，s2〉|＝eq\f(|s1·s2|,|s1||s2|)cos〈s1，s2〉＝eq\f(s1·s2,|s1||s2|)关系当0＜〈s1，s2〉≤eq\f(π,2)时，θ＝〈s1，s2〉；当eq\f(π,2)＜〈s1，s2〉＜π时，θ＝π－〈s1，s2〉(2)平面间的夹角如图所示，平面π1与π2相交于直线l，点R为直线l上任意一点，过点R，在平面π1上作直线l1⊥l，在平面π2上作直线l2⊥l，则l1∩l2＝R.我们把直线l1和直线l2的夹角叫作平面π1与π2的夹角．已知平面π1和π2的法向量分别为n1和n2，当0≤〈n1，n2〉≤eq\f(π,2)时，平面π1与π2的夹角等于〈n1，n2〉；当eq\f(π,2)＜〈n1，n2〉≤π时，平面π1与π2的夹角等于π－〈n1，n2〉.(3)直线与平面的夹角平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角．设直线l的方向向量为s，平面π的法向量为n，直线l与平面π的夹角为θ，则sinθ＝|cos〈s，n〉|＝eq\f(|s·n|,|s||n|).3．空间距离(1)点到直线的距离如图，AA′⊥l，垂足为A′，则点A到直线l的距离d等于线段AA′的长度，而向量eq\o(PA,\s\up6(→))在s上的投影的大小|eq\o(PA,\s\up6(→))·s0|(s0为与s方向相同的单位向量)等于线段PA′的长度，所以d＝eq\r(\a\vs4\al(|\o(PA,\s\up6(→))|2－|\o(PA,\s\up6(→))·s0|2)).(2)点到平面的距离如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离为|BO|＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·n|,|n|).提醒：1．平面的法向量的求法设出平面的一个法向量n＝(x，y，z)，利用其与该平面内的两个不共线向量垂直，即数量积为0，列出方程组，两个方程，三个未知数，此时给其中一个变量恰当赋值，求出该方程组的一个非零解，即得到这个法向量的坐标．注意，赋值不同得到法向量的坐标也不同，法向量的坐标不唯一．2．方向向量与法向量的作用利用直线的方向向量与平面的法向量证明线线、线面、面面的平行和垂直关系的关键就是把垂直与平行关系转化为向量的垂直与平行关系，然后利用向量的数量积解决．当然垂直与平行关系的判断与证明也可以不利用向量方法，而利用定理进行转化证明．两种方法都要熟练掌握．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两异面直线夹角的范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，直线与平面所成角的范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，二面角的范围是[0，π]．()(2)若两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为45°.()(3)已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量，法向量，若cos〈m，n〉＝－eq\f(1,2)，则l与α所成的角为15°.()答案：(1)√(2)×(3)×2．(教材习题改编)若直线l1，l2的方向向量a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，则()A．l1∥l2 B．l1⊥l2C．l1与l2相交但不垂直 D．以上均不正确解析：选B因为a·b＝(2,4，－4)·(－6,9,6)＝－12＋36－24＝0，所以a⊥b，所以l1⊥l2.3．(教材习题改编)如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a＝(1,0,1)，b＝(0,1,1)，那么这条斜线与平面所成的角是()A．90° B．30°C．45° D．60°解析：选D∵cos〈a，b〉＝eq\f(1,\r(2)×\r(2))＝eq\f(1,2)，又∵〈a，b〉∈[0°，180°]，∴〈a，b〉＝60°.4．在正方体A1B1C1D1－ABCD中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC夹角的余弦值为A．－eq\f(\r(10),10) B．－eq\f(1,20)C．eq\f(1,20) D．eq\f(\r(10),10)解析：选D如图建立直角坐标系D－xyz，设DA＝1，A(1,0,0)，C(0,1,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，1))，则eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，eq\o(D