浙江省杭州市学军中学2024年新高一分班考试数学试题

学军中学新高一分班考数学卷一、选择题：本大题有8个小题，每小题3分，共24分.1.下列四个命题：①平分弦的直径垂直于弦；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；③三角形有且只有一个外接圆；④垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧.其中真命题的个数有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【解析】【分析】根据圆周角定理、确定圆的条件、垂径定理，分别判断即可.【详解】①平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故①错误；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，故②错误；③三角形有且只有一个外接圆，是真命题；④垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，是真命题，所以③④是真命题.故选：B.2.如图，在2014年的体育中考中，某校6名学生的体育成绩统计如图，则这组数据的众数、中位数、方差依次是（）A.28，28，1 B.28，27.5，3 C.28，28，3 D.28，27.5，1【答案】A【解析】【分析】根据统计图，列出这组数据，利用众数、中位数、方差的定义和计算公式即得.【详解】由统计图可知，这组数据27,27,28,28,2830，显然众数为28，中位数为，平均数为：，则方差为：.故选：A.3.已知方程组的解满足，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，用表示出即可列出不等式求解得结果.【详解】由方程组，得，即，而，因此，解得，所以a的取值范围是.故选：A4.如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使BD=2DC，连接AC，，则的值是（）A. B. C. D.15【答案】D【解析】【分析】过点作交的延长线于点，由tanB=，即，设，则，可得，进而求得，则求得的值.【详解】如图，过点作交的延长线于点，因为tanB=，即，设，则，因为，所以，所以，所以，所以.故选：D.5.如图，在中，，四边形均为正方形，点在上，点在上，为边的中点，则的长为（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】设，由勾股定理可得，利用三角形相似可求得，，又，可得的方程，求解即可.【详解】设，因为中，，所以，因为四边形均为正方形，所以，所以，所以，因为为边的中点，所以，所以，又所以，所以，解得.故选：C.6.如图，正方形OABC的一个顶点O是平面直角坐标系的原点，顶点A，C分别在y轴和x轴上，P为边OC上的一个动点，且，，当点P从点C运动到点O时，可知点Q始终在某函数图象上运动，则其函数图象是（）A.线段 B.圆弧 C.抛物线的一部分 D.不同于以上的不规则曲线【答案】A【解析】【分析】首先设正方形的边长是a，则点B的坐标是，设点Q的坐标是，点P的坐标是;然后根据，，推得，再根据，可得，所以其函数图象是线段.【详解】设正方形的边长是，则点的坐标是，设点的坐标是，点的坐标是，，，①，，，②，把①代入②，可得，整理,可得，，，，，，∴点Q在某函数图象上运动，则其函数图象是线段.故选:A.7.如图，以点为圆心，为半径的圆与轴交于A，B两点，P是☉M上异于A，B的一动点，直线，分别交轴于点，，以为直径的☉N与轴交于点E，F则EF的长为（）A. B. C.6 D.随P点位置而变化【答案】C【解析】【分析】通过证明相似三角形的方法，结合圆的几何性质求得.【详解】连接，设圆的半径为，，则，，依题意，，，对顶角，所以，所以，所以，由垂径定理得，所以.故选：C8.已知二次函数图象的对称轴为，且过点与，则下列说法中正确的是（）①当时，函数有最大值2；②当时，函数有最小值；③P是第一象限内抛物线上的一个动点，则面积的最大值为；④对于非零实数m，当时，y都随着x的增大而减小.A.①② B.①②③ C.①②④ D.②③④【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，求出二次函数解析式，再利用二次函数的图象、性质逐一判断即可.【详解】由二次函数图象的对称轴为，且过点，得该图象还过点，设二次函数的解析式为，由图象过点，得，解得，因此二次函数的解析式为，对于①，当时，，取得最大值2，①正确；对于②，当时，，取得最小值，②正确；对于③，设直线方程为，由，得，即直线：，过点作直线轴交于，设，取，则，此时面积为，③错误；对于④，当时，，当时，y随着x的增大而增大，④错误，因此说法中正确的是①②.故选：A二、填空题：本大题有8个小题，每小题5分，共40分9.已知a是实数，且满足，则代数式的值是_______________.【答案】1【解析】【分析】由根式有意义，求出的范围，结合等式特点求出的值，代入所求式计算即得.详解】由有意义，可得，即，故，依题意，须使，即，此时，.故答案为：1.10.已知函数，下列说法：①方程必有实数根；②若移动函数图象使其经过原点，则只能将图象向右移动1个单位；③当时，抛物线顶点在第三象限；④若，则当时，y随着x的增大而增大，其中正确的序号是_______________.【答案】①③【解析】【分析】利用二次函数与轴的交点及二次函数的性质，逐一判断各个选项即得.【详解】二次函数与轴交于点，对于①，方程化为，解得x=0或，①正确；对于②，将函数图象向右移动1个单位或向右、向左平移个单位，所得函数图象都过原点，②错误；对于③，当时，，抛物线开口向上，对称轴，又与轴有两个交点，则抛物线顶点在第三象限，③正确；对于④，取，抛物线的开口向下，对称轴为，当时，y随着x的增大而减小，④错误，所以正确的序号是①③.故答案为：①③11.如图，是绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数为90°，则∠B的度数是_______.【答案】60°【解析】【分析】根据等腰三角形、直角三角形的知识求得正确答案.【详解】依题意得，而，所以由于，所以.故答案为：60°12.如图，在5×5的正方形网格中，△ABC为格点三角形（顶点都在格点上），则图中与△ABC相似的最小的三角形与最大的三角形的面积比值为______.【答案】##【解析】【分析】根据相似三角形的知识求的正确答案.【详解】不妨设小正方形的边长为，则，则最小的三角形（最短的边长为）边长分别为，如下图所示三角形，最大的三角形（最长的边长为）的边长分别为，如下图所示三角形.最小的三角形与最大的三角形的相似比为，所以面积比为.故答案为：13.如图，边长为2的等边的顶点A、B分别在的两边上滑动，当时，点O与点C的最大距离是________.【答案】【解析】【分析】取中点，确定取得最大值的条件，再结合直角三角形求解即得.【详解】取中点，连接，由是等边三角形，得，显然，当且三点共线时取等号，此时，在上取点，使，连接，则，在等腰中，由，得，则，于是，所以点O与点C的最大距离是.故答案为：14.如图，正方形ABCD的边长为4，点O是对角线AC，BD的交点，点E为边CD的中点，连接BE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连结OF，则OF的长为______.【答案】##【解析】【分析】在BE上截取，连接OG，证明≌，从而推出，继而求出相关线段长，在等腰直角三角形OGF中即可求得答案.【详解】在BE上截取，连接OG，四边形为边长为4的正方形，即，在中，，则，在中，，故≌，，故，故，又，故,由射影定理得，即，，又，故，则，在等腰直角三角形OGF中，，故答案为：15.如图，矩形ABCD为☉O的内接矩形，，点E为弧BC上一动点，把弓形沿AE折叠，使点O恰好落在弧AE上，则图中阴影部分的面积为________.【答案】【解析】【分析】根据题意推出为等边三角形，可得点B为弧AE所在圆的圆心，进而求出的长，结合扇形面积公式，即可求得答案.【详解】连接，则交于O点，由，得，，故为等边三角形，点B为弧AE所在圆的圆心；结合题意把弓形沿AE折叠，使点O恰好落在弧AE上，可知，，故阴影部分面积为，故答案为：16.已知A是双曲线在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限，已知点C的位置始终在一函数图象上运动，则这函数解析式是________.【答案】【解析】【分析】设，根据已知条件求得的关系式，从而求得正确答案.【详解】依题意，三角形是等边三角形，连接，则是线段垂直平分线，，设，则，，而，所以，过作轴于点，则，设，则，整理得，在直角三角形中，，即，将代入上式得，整理得，在第四象限，得，则，所以，则，所以这函数的解析式是.故答案为：三、解答题：本大题有5个小题，共56分.17.如图，已知∠A，请你仅用尺规，按下列要求作图和计算（保留作图痕迹，不写画法）：（1）选取适当的边长，在所给的∠A图形上画一个含∠A的直角三角形ABC，并标上字母，其中点C为直角顶点，点B为另一锐角顶点；（2）以AC为一边作等边△ACD；（3）若设∠A=30°，BC边长为a，则BD的长为__________________.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）或【解析】【分析】（1）在一边上任取一点C，然后过点C作AC的垂线与另一边相交于点B，则即为所求作的三角形；（2）分别以A、C为圆心，以AC长为半径画弧，相交于点D，连接AD、CD则即为所求作等边三角形；（3）根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB的长度，再利用勾股定理求出AC的长度，然后分两种情况①点D在AC的下方时，作交BC的延长线于点E，求出DE、CE的长度，然后求出BE的长度，再利用勾股定理列式计算即可得解，②点D在AC的上方时，求出，根据等边三角形的性质可得，再根据对称性可得与关于AB成轴对称，根据轴对称的性质可得．【小问1详解】如图所示，为所求作的直角三角形（答案不唯一）；小问2详解】如图所示，为所求作的等边三角形，有点在的上方与下方两种情况；【小问3详解】、边长为，，根据勾股定理，，①点在的下方时，作交的延长线于点，则，，所以，，在中，；②点在的上方时，，，，，与关于成轴对称，，，；综上所述，的长度为或．18.如图，PB为的切线，B为切点，过B做OP的垂线BA，垂足为C，交于点A，连接PA、AO，并延长AO交于点E，与PB的延长线交于点D.（1）求证：PA是的切线；（2）若，且OC=4，求PA的长和tanD的值.【答案】（1）证明见解析；（2），.【解析】【分析】（1）连接，利用圆的性质及全等三角形性质证得即可推理得证.（2）由（1）的信息，利用勾股定理及相似三角形性质求出；连接，可得，再利用平行线推比例式求出，进而求出.【小问1详解】连接，由，得是弦的中点，即垂直平分线段，于是，而，则≌，因此，又切于点，则，即，所以PA是的切线.【小问2详解】由，，得，由（1）知，，又，则∽，因此，所以；由（1）得，，连接，由为的直径，得，则，于是，即，解得，在中，.19.已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm.点P从点B出发，方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动.连接PF，设运动时间为t（s）（）.解答下列问题：（1）当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？（2）设四边形APFE的面积为y（），求出y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）当时，四边形APFD是平行四边形（2）（3）存在，t=4【解析】【分析】（1）当时，四边形为平行四边形，用表示出，，列等式计算；（2）作高，利用面积相等求出的长，由图可知：四边形的面积四边形的面积的面积；代入求出与之间的函数关系式；（3）先计算菱形的面积，再将（2）得到的代入到式子中，解出即可．【小问1详解】四边形为菱形，，，，，由题意可知：，，则，，，，，，由勾股定理得：，，，当时，四边形为平行四边形，则，；所以当时，四边形是平行四边形；【小问2详解】过作于，则，，，，则；【小问3详解】存在，，，则，，解得：，（舍去），，符合题意，当时，．20.为控制H7N9病毒传播，某地关闭活禽交易，冷冻鸡肉销量上升.某公司在春节期间采购冷冻鸡肉60箱销往城市和乡镇.已知冷冻鸡肉在城市销售平均每箱的利润y1（百元）与销售数量x（箱）的关系为，在乡镇销售平均每箱的利润（百元）与销售数量t（箱）的关系为（1）t与x的关系是：将转化为以x为自变量的函数，则等于？（2）设春节期间售完冷冻鸡肉获得总利润W（百元）当在城市销售量x（箱）的范围是时，求W与x的关系式；（总利润=在城市销售利润+在乡镇销售利润）（3）经测算，在的范围内，可以获得最大总利润，并求出此时x的值.【答案】（1），；（2）；（3），最大382.5【解析】【分析】（1）将代入解析式可得；（2）根据自变量范围，选择相应解析式计算最大利润即可；（3）根据自变量范围，选择相应解析式表示出，然后由二次函数性质可得.【小问1详解】由题知，，则，即.【小问2详解】当在城市销售量x（箱）的范围是时，在乡镇销售量为，所以.【小问3详解】当时，，由二次函数性质知，函数开口向下且对称轴为，当时，最大值（百元）.21.如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，点B的坐标为（6,6），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段