角平分线的判定课件 2023-2024学年人教版数学八年级上册

新知一览全等三角形角平分线的性质全等三角形三角形全等的判定“边边边”“斜边、直角边”“角边角”“角角边”“边角边”角平分线的判定角平分线的性质第2课时角平分线的判定3角的平分线的性质标题标题第十二章全等三角形新课导入

如图，要在

S

区建一个风筝主题公园，使它到公路和铁路的距离相等，这个风筝主题公园应建于何处？S垂线段的长

实际问题几何问题AOB

在∠AOB内是否存在点

P

，过点

P作

OA、OB

的垂线并交

OA、OB

于点

D、E，使得

DP=EP？AOB角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.猜想：探究新知知识点1：角平分线的判定

P

DE这个点是否就在角的平分线上呢？

DP=EP证一证

已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是

D、E，PD=PE.求证：点

P在∠AOB的平分线上.证明：作射线

OP.∴点

P在∠AOB

的平分线上.在Rt△PDO和Rt△PEO

中，OP=OP(公共边)，PD=PE(已知)，BADOPE∵

PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.∴Rt△PDO≌Rt△PEO(HL).∴∠AOP=∠BOP(全等三角形的对应角相等).定义总结

判定定理：

角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.PAOBCDE应用格式：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴点

P在∠AOB的平分线上.位置关系数量关系回顾导入

如图，要在

S

区建一个风筝主题公园，使它到公路和铁路的距离相等，并且离公路与铁路交叉处距离为

500

m，这个风筝主题公园应建在何处？DCS解：作夹角的角平分线

OC，在射线OC上截取

OD=500m，则点

D即为所求.O总结定理的作用：

判断点是否在角的平分线上.变式1：如图，

S

区内有两条公路和一条铁路，它们两两相交，交点分别为点

A，B，C，如果要在△ABC

区域内建一个风筝主题公园，使它到三条路的距离相等，这个风筝主题公园应建在何处？AB

C

分析：由上题可知到

AB，AC距离相等的点在∠BAC

的角平分线上，则到

BA，BC距离相等的点在∠ABC

的角平分线上

，它们交于一点

P.P

那么这一点

P是否到三边的距离都想相等呢？证一证已知：如图，△ABC的角平分线

BM，CN相交于点

P.求证：点

P到三边

AB，BC，CA

的距离相等.证明：过点

P作

PD，PE，PF分别垂直于

AB，BC，CA，垂足分别为

D，E，F.∵BM是△ABC

的角平分线，

点

P

在

BM

上，∴PD=PE.同理，PE=PF.∴PD=PE=PF.即点

P到三边

AB，BC，CA的距离相等.D

E

F

A

B

C

P

N

M

想一想：点

P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？点

P在∠A的平分线上.总结三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等D

F

A

B

C

P

N

M

变式2：如图，

S

区内有两条公路和一条铁路，它们两两相交，交点分别为点

A，B，C，如果要在△ABC

区域内建一个风筝主题公园，使它到三条路的距离相等，这个风筝主题公园应建在何处？AB

C

P

△ABC

的三条内角平分线交点处.

若将题目条件换成△ABC

区域外，那么风筝主题公园应建在何处？变式3：如果要在△ABC

区域外建一个风筝主题公园，使它到三条路的距离相等，这个风筝主题公园应建在何处？(画出所有点)AB

C

P1

P2

P3

归纳总结AB

C

P4

P2

P3

P1

到△ABC

三边所在的直线距离相等的点有____个.4典例精析例1如图，∠ABC

的平分线与∠ACB

的外角平分线相交于点

D，连接

AD.

求证：AD

是∠BAC

的外角平分线.BACD分析：求证：AD

是∠BAC

的外角平分线.求证：D

到

BA，AC

的距离相等.则根据题目条件，可过点

D

作

BA，AC，BC

边上的辅助线.证明：作

DE⊥BA

交

BA

的延长线于点

E，DF⊥AC于点

F，DG⊥BC交

BC

的延长线于点

G，∵DB平分∠ABC，DC

平分∠ACH，∴DE=DG，DF=DG.∴DE=DF.又∵DE⊥BA，DF⊥AC，∴AD是∠BAC

的外角平分线.BACDEFG练一练1.

(西安阶段)如图，O

是△ABC

内一点，且点

O

到三边

AB，AC，BC

的距离相等，即

OF

=

OE

=

OD，若∠BAC

=

100°，则∠BOC

的度数是

(

)A.140°

B.130°C.120°

D.110°A图形已知条件结论PCPCOP

平分∠AOBPD⊥OA

于DPE⊥OB

于

EPD=PEOP平分∠AOBPD=PEPD⊥OA于

DPE⊥OB

于

E角的平分线的判定角的平分线的性质练一练当堂小结角平分线的判定定理内容角的内部到角两边距离相等的点在这个角的_______上作用判断一个点是否在角的平分线上相关结论三角形的角平分线相交于内部一点，该点到三角形三边的距离_____

平分线相等1.(西安期中)如图，若∠ABC

的平分线与△ABC

的外角∠ACD

的平分线相交于点

P，若∠BAC

=

62°，∠PAC

等于_______°.当堂练习59BACDP2.(泰州校考)如图，电信部门要在

S

区修建一座发射塔

P.按照设计要求，发射塔

P

到两个城镇

A、B

的距离必须相等，到两条高速公路

m

和

n

的距离也必须相等，发射塔

P

应建在什么位置?

在图上标出它的位置.(尺规作图：只保留作图痕迹，不写作图过程).BAOSP解：如右图所示.3.(河源校考)如图，AD

=

BD，∠CAD

+

∠CBD

=

180°，求证：CD

平分∠ACB.证明：∵

过点

D

作

DE⊥CA

交

CA的延长线于点

E，作DF⊥CB于点

F，如图所示：∴∠AED

=

∠BFD

=90°.∵∠CAD

+∠CBD

=

180°，∠CAD

+∠EAD

=

180°，∴∠CBD

=∠EA