空间中点、直线和平面的向量表示高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.4空间向量的应用1.4.1.1空间中点、直线和平面的向量表示平面向量空间向量代数运算推广建系思考1：空间向量解决了哪些几何问题？距离问题夹角问题平行、垂直问题利用空间向量解决立体几何问题关键是建立空间向量与几何要素的对应关系.本节我们进一步运用空间向量研究立体几何中有关直线、平面的位置关系和度量问题.问题引入点线面关系平行垂直距离两线夹角空间向量点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素.因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面.新知探究立体几何点线面空间向量？？？新知探究

平面空间

1.空间中点、直线和平面的向量表示

定原点（参照物）

回顾：直线的方向向量：换句话说，直线上的非零向量叫做直线的方向向量.

lA

新知探究点动成线•AP•lB

O

①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.新知探究

新知探究思考4：一个定点和两个定方向能否确定一个平面?如何用向量表示这个平面?（1）不共线的三点确定一个平面.（2）直线和直线外一点确定一个平面.（3）两条相交直线确定一个平面.（4）两条平行直线确定一个平面.立体几何

α•A•P

⟹推论

新知探究

进一步地,如右图示,取定空间任意一点O,可以得到,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式.由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.αPCOAB新知探究即一个定点和两个定方向能确定一个平面.αA•由此得到启发，我们可以利用点A和直线l的方向向量来确定平面.思考5：一个定点和一个定方向能否确定一个平面？l新知探究

αAl•mP•新知探究2.平面的法向量思考6：一个定点和一个定方向能确定一个平面，如何用向量表示这个平面？用向量表示平面上的任意一点.

一个平面的法向量有无数个，与平面垂直的非零向量都叫做平面的法向量.它们是共线向量，且均垂直于该平面内的任意一个向量.

(0,0,2)(0,0,1)(0,2,2)(0,1,1)C(2,2,0)D1(0,2,2)(-2,0,2)

D

练习巩固题型一：求直线的方向向量

ACDBC1D1B1A1M练习巩固题型二：求平面的法向量

直接法

ACDBC1D1B1A1M练习巩固题型二：求平面的法向量

待定系数法设法向量建系写点坐标写平面内两向量坐标列方程组赋非零值下结论

利用待定系数法求法向量的步骤设向量设平面法向量n=(x,y,z)列方程组选向量在平面内选取两个不共线向量AB,AC取x,y,z中一个为非零值(常取±1)赋值结论得到平面的一个法向量n·AB=0n·AC=0列出等式方法总结赋的值不同,所求平面的法向量就不同,但它们是共线向量.向量名称图示求法直线的方向向量平面的法向量直线的方向向量和平面的法向量的求法例题小结①设平面α的法向量；③列方程组；④解方程组，得出结论.①找到l⊥α；②l的方向向量即为平面的法向量.①取两点；②定向量.②求平面α内的不共线向量；方法总结

√×√练习巩固

xyz练习巩固

ACDBC1D1B1A1练习巩固1.空间中点、直