高二数学人教A版2019选择性必修第一册同步单元测试AB卷(新高考)专题4.9数学归纳法(A)专项练习(原卷版+解析)

专题4.9数学归纳法(A）第I卷选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2022·北京八中高二期末）一个关于自然数n的命题，已经验证知时命题成立，并在假设（k为正整数）时命题成立的基础上，证明了当时命题成立，那么综上可知，该命题对于（

）A．一切自然数成立 B．一切正整数成立C．一切正奇数成立 D．一切正偶数成立2．（2022·上海市进才中学高三阶段练习）用数学归纳法证明能被31整除时，从k到添加的项数共有（

）项A．7 B．6 C．5 D．43．（2022·全国·高二课时练习）已知是关于正整数n的命题．小明证明了命题，，均成立，并对任意的正整数k，在假设成立的前提下，证明了成立，其中m为某个固定的整数，若要用上述证明说明对一切正整数n均成立，则m的最大值为（

）．A．1 B．2 C．3 D．44．（2022·全国·高二课时练习）已知一个命题，这里，当，2，…，999时，成立，并且当时它也成立，下列命题中正确的是（

）A．对于成立 B．对于每一个自然数成立C．对于每一个偶数成立 D．对于某些偶数可能不成立5．（2022·河南商丘·高二期末（理））用数学归纳法证明：，，当时，左端应在的基础上加上（

）A． B．C． D．6．（2022·四川眉山·高二期末（理））用数学归纳法证明时，由到，左边需要添加的项数为（

）A．1 B．k C． D．7．（2022·全国·高一课时练习）用数学归纳法证明（，n为正整数）的过程中，从递推到时，不等式左边为（

）．A．． B．．C．． D．．8．（2022·上海市延安中学高一阶段练习）用数学归纳法证明等式，其中，，从到时，等式左边需要增乘的代数式为（

）A． B． C． D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．（2021·全国·高二课时练习）下列说法正确的是（

）A．与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法B．数学归纳法的第一步的初始值一定为1C．数学归纳法的两个步骤缺一不可D．用数学归纳法证明命题时，归纳假设一定要用上10．（2022·全国·高二专题练习）已知一个命题p(k)，k＝2n(n∈N*)，若当n＝1，2，…，1000时，p(k)成立，且当n＝1001时也成立，则下列判断中正确的是（

）A．p(k)对k＝528成立B．p(k)对每一个自然数k都成立C．p(k)对每一个正偶数k都成立D．p(k)对某些偶数可能不成立11．（2022·全国·高二课时练习）下列结论能用数学归纳法证明的是（

）A．B．C．D．12．（2021·江苏·高二课时练习）对于不等式，某同学用数学归纳法证明的过程如下：①当时，，不等式成立；②假设当时，不等式成立，即，则当时，.故当时，不等式成立.则下列说法错误的是（

）A．过程全部正确 B．的验证不正确C．的归纳假设不正确 D．从到的推理不正确第II卷非选择题部分（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明（为正整数）时，第一步应验证的等式是______．14．（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明，第一步应验证______时是否成立．15．（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明“对于正奇数，都能被整除”，在假设时结论成立，进一步要对于______时，验证结论也成立．16．（2022·全国·高二课时练习）已知，则______，______，______，______，猜想______．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2021·全国·高二专题练习）设数列的前项和为，并且满足．猜想的通项公式，并用数学归纳法加以证明．18．（2021·全国·高二课时练习（理））已知数列满足，.（1）求、；（2）猜想数列通项公式，并用数学归纳法给出证明.19．（2021·浙江·高二课时练习）在证明，由到的变化过程中，左边增加的部分是什么，右边增加的部分是什么？20．（2022·陕西·武功县普集高级中学高二阶段练习（理））用数学归纳法证明：对任意正整数能被9整除．21．（2022·江西省信丰中学高二阶段练习（理））已知数列满足，，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明．22．（2022·甘肃武威·高二期中（理））用数学归纳法证明：如果是一个公差为d的等差数列，那么对任何都成立．专题4.9数学归纳法(A）第I卷选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2022·北京八中高二期末）一个关于自然数n的命题，已经验证知时命题成立，并在假设（k为正整数）时命题成立的基础上，证明了当时命题成立，那么综上可知，该命题对于（

）A．一切自然数成立 B．一切正整数成立C．一切正奇数成立 D．一切正偶数成立【答案】C【分析】依据数学归纳法的规则去判断即可解决【详解】已经验证知时命题成立，并在假设（k为正整数）时命题成立的基础上，证明了当时命题成立，那么综上可知，命题对成立即该命题对于一切正奇数成立故选：C2．（2022·上海市进才中学高三阶段练习）用数学归纳法证明能被31整除时，从k到添加的项数共有（

）项A．7 B．6 C．5 D．4【答案】C【分析】分别写出与时相应的代数式，对比观察求解.【详解】当时，则当时，则∴从k到添加的项数共有5项故选：C.3．（2022·全国·高二课时练习）已知是关于正整数n的命题．小明证明了命题，，均成立，并对任意的正整数k，在假设成立的前提下，证明了成立，其中m为某个固定的整数，若要用上述证明说明对一切正整数n均成立，则m的最大值为（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由归纳法的步骤知，我们由在假设成立的前提下，证明了成立，由此推得，对的任意整数均成立，结合小明证明了命题，，均成立，由此不难得到m的最大值．【详解】由题意可知，对都成立，假设成立的前提下，证明了成立，由此推得，对的任意整数均成立，因此m的最大值可以为：3．故选C．4．（2022·全国·高二课时练习）已知一个命题，这里，当，2，…，999时，成立，并且当时它也成立，下列命题中正确的是（

）A．对于成立 B．对于每一个自然数成立C．对于每一个偶数成立 D．对于某些偶数可能不成立【答案】D【分析】由题意得成立的条件，对选项逐一判断【详解】由题意在时命题成立，在其他情况下不确定是否成立故选：D5．（2022·河南商丘·高二期末（理））用数学归纳法证明：，，当时，左端应在的基础上加上（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分别确定和时等式左端的式子，由此可得结果.【详解】解：当时，等式左端为，当时，等式左端为，两式比较可知，增加的项为．故选：C．6．（2022·四川眉山·高二期末（理））用数学归纳法证明时，由到，左边需要添加的项数为（

）A．1 B．k C． D．【答案】D【分析】写出时和时等式左边式子，比较即可.【详解】当时，等式左端为，当时，等式左端为，所以共增加了项.故选：D.7．（2022·全国·高一课时练习）用数学归纳法证明（，n为正整数）的过程中，从递推到时，不等式左边为（

）．A．． B．．C．． D．．【答案】C【分析】根据的式子，即可比较求解.【详解】由，则，因此故选：C8．（2022·上海市延安中学高一阶段练习）用数学归纳法证明等式，其中，，从到时，等式左边需要增乘的代数式为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】按照数学归纳法类比题干条件逐项展开即可.【详解】当时,左边等于;当时,左边等于，即左边等于；所以左边增乘的项为；故选：D.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．（2021·全国·高二课时练习）下列说法正确的是（

）A．与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法B．数学归纳法的第一步的初始值一定为1C．数学归纳法的两个步骤缺一不可D．用数学归纳法证明命题时，归纳假设一定要用上【答案】CD【分析】根据数学归纳法的特点判断.【详解】与正整数n有关的数学命题的证明不一定只能用数学归纳法，如：证明时，可用数学归纳法，也可使用裂项相消法求和，故A错误；数学归纳法的第一步的初始值不一定为1，如：证明当为偶数时，能被整除.初始值为2，故B错误；数学归纳法的两个步骤缺一不可且用数学归纳法证明命题时，归纳假设一定要用上，故CD正确.故选：CD.10．（2022·全国·高二专题练习）已知一个命题p(k)，k＝2n(n∈N*)，若当n＝1，2，…，1000时，p(k)成立，且当n＝1001时也成立，则下列判断中正确的是（

）A．p(k)对k＝528成立B．p(k)对每一个自然数k都成立C．p(k)对每一个正偶数k都成立D．p(k)对某些偶数可能不成立【答案】AD【分析】直接根据已知条件判断每一个选项的正确错误.【详解】由题意知p(k)对k＝2，4，6，…，2002成立，当k取其他值时不能确定p(k)是否成立，故选AD.故选：AD11．（2022·全国·高二课时练习）下列结论能用数学归纳法证明的是（

）A．B．C．D．【答案】BC【分析】根据数学归纳法的定义可得出结论.【详解】数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的一种方法，由此可知BC能用数学归纳法证明.故选：BC.12．（2021·江苏·高二课时练习）对于不等式，某同学用数学归纳法证明的过程如下：①当时，，不等式成立；②假设当时，不等式成立，即，则当时，.故当时，不等式成立.则下列说法错误的是（

）A．过程全部正确 B．的验证不正确C．的归纳假设不正确 D．从到的推理不正确【答案】ABC【分析】根据数学归纳法证明的基本过程可得出结论.【详解】在时，没有应用时的假设，即从到的推理不正确.故选：ABC.第II卷非选择题部分（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明（为正整数）时，第一步应验证的等式是______．【答案】【分析】根据数学归纳法的一般步骤，令即可得出结论.【详解】依题意，当时，，即，故答案为：.14．（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明，第一步应验证______时是否成立．【答案】【分析】根据数学归纳法的证明步骤，第一步验证使结论成立的最小正整数，由题意可得答案.【详解】的最小值为，所以第一步应验证时是否成立．故答案为：.15．（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明“对于正奇数，都能被整除”，在假设时结论成立，进一步要对于______时，验证结论也成立．【答案】【分析】利用为正奇数，得到下一个正奇数为.【详解】要证明的是对于正奇数，都能被整除，故的下一个正奇数为.故答案为：16．（2022·全国·高二课时练习）已知，则______，______，______，______，猜想______．【答案】

【分析】根据的表达式，即可代入值计算，进而通过观察规律即可得出猜想.【详解】当时，，当时，，当时，，当时，，由此猜想：,故答案为：；；；；四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2021·全国·高二专题练习）设数列的前项和为，并且满足．猜想的通项公式，并用数学归纳法加以证明．【答案】【详解】试题分析：分别令n=1，2，3，列出方程组，能够求出求；猜想：，由可知，当n≥2时，，所以，再用数学归纳法进行证明；试题解析：解：分别令，得，∵，∴，猜想：，由①可知，当时②①-②得，即当时∵，∴，（ii）假设当时，，那么当时，,∵，∴，∴，即当时也成立．∴，显然时，也成立，故对于一切，均有．考点：数列通项公式及数学归纳法证明18．（2021·全国·高二课时练习（理））已知数列满足，.（1）求、；（2）猜想数列通项公式，并用数学归纳法给出证明.【答案】（1），；（2）,证明见解析.【分析】（1）依据递推关系可求、.（2）根据（1）可猜测，按照数学归纳法的基本步骤证明即可.【详解】（1），；（2）猜想数列通项公式，证明如下：当时，，，所以成立；假设时成立，即，当时，，∴时，成立，综上，由①②得：.【点睛】由数列的前若干项和递推关系可猜测数列的通项，然后再用数学归纳法去证明，注意数学归纳法有三个部分即归纳的起点、归纳假设和归纳证明，注意归纳证明的推理过程必须用到归纳假设.19．（2021·浙江·高二课时练习）在证明，由到的变化过程中，左边增加的部分是什么，右边增加的部分是什么？【答案】；【分析】观察首项，末项，中间的变化规律，并写出当和时的式子，对比得到左边增加的部分，右边增加的部分.【详解】时，左边为，时，变为，故由到的变化过程中，左边增加的都分是；时，右边为，时，变为，右边增加的部分是.故答案为：；.【点睛】本题考查了数学归纳法