高考数学二轮复习讲义(新高考版)专题2培优点10平面向量“奔驰定理”(学生版+解析)

培优点10平面向量“奔驰定理”【方法总结】定理：如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·eq\o(PA,\s\up6(→))＋S△PAC·eq\o(PB,\s\up6(→))＋S△PAB·eq\o(PC,\s\up6(→))＝0.由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用．【典例】(1)已知点A，B，C，P在同一平面内，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(QR,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(QB,\s\up6(→))，eq\o(RP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(RC,\s\up6(→))，则S△ABC∶S△PBC等于()A．14∶3B．19∶4C．24∶5D．29∶6(2)已知点P，Q在△ABC内，eq\o(PA,\s\up6(→))＋2eq\o(PB,\s\up6(→))＋3eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(QA,\s\up6(→))＋3eq\o(QB,\s\up6(→))＋5eq\o(QC,\s\up6(→))＝0，则eq\f(|P\o(Q,\s\up6(→))|,|A\o(B,\s\up6(→))|)等于()A.eq\f(1,30)B.eq\f(1,31)C.eq\f(1,32)D.eq\f(1,33)(3)过△ABC重心O的直线PQ交AC于点P，交BC于点Q，eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(QC,\s\up6(→))＝neq\o(BC,\s\up6(→))，则n的值为________．INCLUDEPICTURE"E:\\周飞燕\\2020\\二轮\\跟踪演练.tif"INETINCLUDEPICTURE"E:\\周飞燕\\2020\\二轮\\数学\\word\\跟踪演练.tif"INETINCLUDEPICTURE"E:\\周飞燕\\2020\\二轮\\数学\\word\\跟踪演练.tif"INETINCLUDEPICTURE"\\\\周飞燕\\e\\周飞燕\\2020\\二轮\\数学\\word\\跟踪演练.tif"INETINCLUDEPICTURE"\\\\周飞燕\\e\\周飞燕\\2020\\二轮\\数学\\word\\跟踪演练.tif"INETINCLUDEPICTURE"\\\\周飞燕\\e\\周飞燕\\2020\\二轮\\数学\\word\\专题二\\跟踪演练.tif"INETINCLUDEPICTURE"E:\\周飞燕\\2020\\二轮\\数学\\word\\专题二\\跟踪演练.tif"INET【拓展训练】1．点P在△ABC内部，满足eq\o(PA,\s\up6(→))＋2eq\o(PB,\s\up6(→))＋3eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，则S△ABC∶S△APC为()A．2∶1B．3∶2C．3∶1D．5∶32．点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设eq\o(AO,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，则实数λ和μ的值分别为()A.eq\f(2,9)，eq\f(4,9)B.eq\f(4,9)，eq\f(2,9)C.eq\f(1,9)，eq\f(2,9)D.eq\f(2,9)，eq\f(1,9)3.设点P在△ABC内且为△ABC的外心，∠BAC＝30°，如图．若△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为eq\f(1,2)，x，y，则x＋y的最大值是________．培优点10平面向量“奔驰定理”【方法总结】定理：如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·eq\o(PA,\s\up6(→))＋S△PAC·eq\o(PB,\s\up6(→))＋S△PAB·eq\o(PC,\s\up6(→))＝0.由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用．【典例】(1)已知点A，B，C，P在同一平面内，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(QR,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(QB,\s\up6(→))，eq\o(RP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(RC,\s\up6(→))，则S△ABC∶S△PBC等于()A．14∶3B．19∶4C．24∶5D．29∶6【答案】B【解析】由eq\o(QR,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(QB,\s\up6(→))，得eq\o(PR,\s\up6(→))－eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PQ,\s\up6(→)))，整理得eq\o(PR,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(2,9)eq\o(PA,\s\up6(→))，由eq\o(RP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(RC,\s\up6(→))，得eq\o(RP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PR,\s\up6(→)))，整理得eq\o(PR,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up6(→))，∴－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(2,9)eq\o(PA,\s\up6(→))，整理得4eq\o(PA,\s\up6(→))＋6eq\o(PB,\s\up6(→))＋9eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，∴S△ABC∶S△PBC＝(4＋6＋9)∶4＝19∶4.(2)已知点P，Q在△ABC内，eq\o(PA,\s\up6(→))＋2eq\o(PB,\s\up6(→))＋3eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(QA,\s\up6(→))＋3eq\o(QB,\s\up6(→))＋5eq\o(QC,\s\up6(→))＝0，则eq\f(|P\o(Q,\s\up6(→))|,|A\o(B,\s\up6(→))|)等于()A.eq\f(1,30)B.eq\f(1,31)C.eq\f(1,32)D.eq\f(1,33)【答案】A【解析】根据奔驰定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3，S△QBC∶S△QAC∶S△QAB＝2∶3∶5，∴S△PAB＝S△QAB＝eq\f(1,2)S△ABC，∴PQ∥AB，又∵S△PBC＝eq\f(1,6)S△ABC，S△QBC＝eq\f(1,5)S△ABC，∴eq\f(|\o(PQ,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,5)－eq\f(1,6)＝eq\f(1,30).(3)过△ABC重心O的直线PQ交AC于点P，交BC于点Q，eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(QC,\s\up6(→))＝neq\o(BC,\s\up6(→))，则n的值为________．【答案】eq\f(3,5)【解析】因为O是重心，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，即eq\o(OA,\s\up6(→))＝－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))⇒eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))⇒eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\f(3,4)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(QC,\s\up6(→))＝neq\o(BC,\s\up6(→))⇒eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OQ,\s\up6(→))＝n(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))⇒eq\o(OQ,\s\up6(→))＝neq\o(OB,\s\up6(→))＋(1－n)eq\o(OC,\s\up6(→))，因为P，O，Q三点共线，所以eq\o(OP,\s\up6(→))∥eq\o(OQ,\s\up6(→))，所以－eq\f(3,4)(1－n)＝－eq\f(1,2)n，解得n＝eq\f(3,5).【方法总结】“奔驰定理”与三角形“四心”：已知点O在△ABC内部，有以下四个推论：(1)若O为△ABC的重心，则eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.(2)若O为△ABC的外心，则sin2A·eq\o(OA,\s\up6(→))＋sin2B·eq\o(OB,\s\up6(→))＋sin2C·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.(3)若O为△ABC的内心，则a·eq\o(OA,\s\up6(→))＋b·eq\o(OB,\s\up6(→))＋c·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.备注：若O为△ABC的内心，则sinA·eq\o(OA,\s\up6(→))＋sinB·eq\o(OB,\s\up6(→))＋sinC·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0也对．(4)若O为△ABC的垂心，则tanA·eq\o(OA,\s\up6(→))＋tanB·eq\o(OB,\s\up6(→))＋tanC·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.INCLUDEPICTURE"E:\\周飞燕\\2020\\二轮\\跟踪演练.tif"INETINCLUDEPICTURE"E:\\周飞燕\\2020\\二轮\\数学\\word\\跟踪演练.tif"INETINCLUDEPICTURE"E:\\周飞燕\\2020\\二轮\\数学\\word\\跟踪演练.tif"INETINCLUDEPICTURE"\\\\周飞燕\\e\\周飞燕\\2020\\二轮\\数学\\word\\跟踪演练.tif"INETINCLUDEPICTURE"\\\\周飞燕\\e\\周飞燕\\2020\\二轮\\数学\\word\\跟踪演练.tif"INETINCLUDEPICTURE"\\\\周飞燕\\e\\周飞燕\\2020\\二轮\\数学\\word\\专题二\\跟踪演练.tif"INETINCLUDEPICTURE"E:\\周飞燕\\2020\\二轮\\数学\\word\\专题二\\跟踪演练.tif"INET【拓展训练】1．点P在△ABC内部，满足eq\o(PA,\s\up6(→))＋2eq\o(PB,\s\up6(→))＋3eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，则S△ABC∶S△APC为()A．2∶1B．3∶2C．3∶1D．5∶3【答案】C【解析】根据奔驰定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3.∴S△ABC∶S△APC＝3∶1.2．点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设eq\o(AO,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，则实数λ和μ的值分别为()A.eq\f(2,9)，eq\f(4,9)B.eq\f(4,9)，eq\f(2,9)C.eq\f(1,9)，eq\f(2,9)D.eq\f(2,9)，eq\f(1,9)【答案】A【解析】根据奔驰定理，得3eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋4eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，即3eq\o(OA,\s\up6(→))＋2(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＋4(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，整理得eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,9)eq\o(AC,\s\up6(→))，故选A.3.设点P在△ABC内且为