3模块培优.二次函数实际应用.尖子班.教师版

PAGE1二次函数实际应用二次函数实际应用知识互联网知识互联网模块一实际应用问题模块一实际应用问题知识导航知识导航实际应用问题主要考查涨降价、面积等问题，讲解时要明确等量关系．夯实基础夯实基础如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，则求DE长的最小值． 如图，连接DE．设则，∵△ACD和△BCE分别是等腰直角三角形，∴∠DCA＝45°，∠ECB＝45°，DC＝，CE＝，∴∠DCE＝90°，故，当时，取得最小值，DE也取得最小值，最小值为1．故答案为：1．能力提升能力提升(1)某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件。如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元）。设每件商品的售价上涨元（为整数），每个月的销售利润为元，①求与的函数关系式，并直接写出的取值范围；②每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？【解析】(1)①，即，其中；②当时（满足），每月可获得最大利润，即最大月利润是2250元. (2)小明爸爸经营的水果店出售一种优质热带水果，正在上初三的小明经过调查和计算，发现这种水果每月的销售量y(千克)与销售单价x（元）之间存在着一次函数关系：．下面是他们的一次对话：小明：“您要是告诉我咱家这种水果的进价是多少？我就能帮你预测好多信息呢！”爸爸：“咱家这种水果的进价是每千克20元”聪明的你，也来解答一下小明想要解决的三个问题：①若每月获得利润w(元）是销售单价x（元）的函数，求这个函数的解析式．②当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润？③如果想要每月从这种水果的销售中获利2000元，那么销售单价应该定为多少元？【解析】(2)①②，∴时，每月获得利润最大；③当时，∴解得，答：每月销售单价应定为30元或40元.某种产品的年产量不超过1000t，该产品的年产量与费用之间的函数图象是顶点在原点的抛物线的一部分（如图甲）；该产品的年销量与销售单价之间的函数图象是线段（如图乙），若生产的产品都能在当年销售完，问该产品年产量为多少吨时，所获得的毛利润最大．（毛利润=销售额-费用） 设年产量（t）与费用（万元）之间函数解析式为，由题意可得，解得：，即：.设年销量（t）与销售单价（万元/t）之间的函数解析式为，由题意，可得解得：，即：设毛利润为万元，由题意，可得（其中），因为，所以当时，随的增大而增大，因而在时，图象达到最高点，故当年产量为1000吨时，所获得的毛利润最大.模块二建系解决实际问题模块二建系解决实际问题知识导航知识导航建系解决实际问题主要考查足球、篮球、羽毛球等运动轨迹，拱桥、桥洞等形状类似于抛物线的实际问题，解题时，要合理建系，充分利用图象上的点坐标解题．夯实基础夯实基础(1)如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为．小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需秒．设在10秒时到达A点，在26秒时到达B，∵10秒时和26秒时拱梁的高度相同，∴A，B关于对称轴对称。则从A到B需要16秒，从A到D需要8秒。∴从O到D需要10+8=18秒。∴从O到C需要2×18=36秒。 (2)如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球 看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式. 已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离 为18m。①当时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）②当时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；③若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围。①把，及代入到，即；∴当时，y与x的关系式为 ②当时， ∵当时，，∴球能越过网。 ∵当时，即，解得(舍去)， ，∴球会过界。 ③把，代入到，得； 时，① 时，② 由①②解得； ∴若球一定能越过球网，又不出边界，的取值范围为。图中是抛物线形拱桥，当水面宽为4米时，拱顶距离水面2米；当水面高度下降1米时，水面宽度为多少米？ 如图所示，建立平面直角坐标系.设二次函数的解析式为.∵图象经过点，∴，.∴.当时，.答：当水面高度下降1米时，水面宽度为米.能力提升能力提升如图，小明在一次高尔夫球训练中，从山坡下P点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度BD为12米时，球移动的水平距离PD为9米．已知山坡PA与水平方向PC的夹角为30o，AC⊥PC于点C，P、A两点相距米．请你建立适当的平面直角坐标系解决下列问题.（1）求水平距离PC的长；（2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从P点直接打入球洞A．（1）PC的长为12m.（2）以P为原点，PC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，可知：顶点B(9，12),抛物线经过原点.∴设抛物线的解析式为.∴，求得.∴.（3）由（1）知C(12,0),易求得.∴.当x=12时，.∴小明不能一杆把高尔夫球从P点直接打入球洞A.

为迎接第四届世界太阳能大会，德州市把主要路段的路灯更换为太阳能路灯．已知太阳能路灯售价为5000元/个，目前两个商家有此产品．甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次购买100个以上，且购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3500元/个．乙店一律按原价的销售．现购买太阳能路灯个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为元.分别求出、与之间的函数关系式.由题意可知，当时，购买一个需元，故；当时，因为购买个数每增加一个，其价格减少元，但售价不得低于元/个，所以．即时，购买一个需元，故；当时，购买一个需元，故；所以，．忽略对x的取值范围进行讨论.第03讲精讲：二次函数应用题：建系原则探究二次函数应用题有一类实际问题，解决此类问题的关键是如何把它转化为数学问题，即“数学建模”．拱桥、秋千等生活常见模型都可近似看为抛物线形，所以可把这些图形抽象为抛物线．为此，建立直角坐标系．根据抛物线的有关知识和题目条件，来分析得出此类问题的答案．【变式1】如图，桥拱是抛物线形，其函数解析式为，当水位线在AB位置时，水面的宽为12米，这时水面离桥顶的高度h是多少？【解析】水面线AB离桥顶的高度h，就是抛物线上点B的纵坐标的绝对值．由图知，点B的横坐标为6，把x＝6代入，得，所以h＝．即水面到桥顶的高度h是9米．【变式2】如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为米．【解析】如图建立平面直角坐标系，求出绳子所在抛物线的函数关系式为；当时，绳子的高度距地面最低为米.

【变式3】有一抛物线形拱桥，水位在最初的位置时，水面宽米，水位上升3米就到达警戒线，这时水面宽米，若洪水到来时，水位以每小时0.25米速度上升，求水过警戒线后几个小时淹到拱桥顶？【解析】以初水面线AB所在直线为x轴，AB中点为原点O，建立直角坐标系如图，则抛物线的顶点M在y轴上，且A、B两点的坐标分别为，，警戒线C、D两点的坐标分别为，．设抛物线的解析式为①把B，D分别代入式①，得解得∴抛物线的解析式为，顶点M到AB的距离为6米．设：CD与y轴的交点为N∵ON＝3（已知）∴MN＝＝6－3＝3（米）．（小时）．答案水过警戒线后12小时淹到拱桥顶．【总结】本题中没有直角坐标系，为利用二次函数抛物线的有关知识，必须首先建立直角坐标系．如何建立直角坐标系呢？建立直角坐标系时应遵循怎样的原则？此题中，以AB所在直线为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系，主要是因为抛物线具有对称性．另外，若以抛物线顶点M为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴，建立直角坐标系，可设，解析式更简单，但是题中的已知条件不易利用．A，B，C，D四点的坐标不能直接得出，很难求出解析式．所以，在建立直角坐标系时，一般遵循以下两个原则：所建坐标系使求出的二次函数解析式比较简单．已知点所在位置选取适当方法求解析式．

思维拓展训练(选讲)思维拓展训练(选讲)某机械租赁公司有同一型号的机械设备套．经过一段时间的经营发现：当每套机械设备的月租金为元时，恰好全部租出．在此基础上，当每套设备的月租金每提高元时，这种设备就少租出一套，且未租出的一套设备每月需要支出费用（维护费、管理费等）元．设每套设备的月租金为（元），租赁公司出租该型号设备的月收益为元．⑴用含的代数式表示未租出的设备数（套）以及所有未租出设备（套）的支出费用；⑵求与之间的函数关系式；⑶当为何值时，租赁公司出租该型号设备的月收益最大？最大月收益是多少？⑴（套）；（元）⑵=3\*GB2⑶由⑵得∴当时，有最大值．但是，当月租金为元时，租出设备套数为，而不是整数，故租出设备应为（套）或（套）．即当月租金为元（租出套）或月租金为元（租出套）时，租赁公司的月收益最大，最大月收益均为元．点评：此题要考虑为整数，取离对称轴最近的点取到最值.某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价（元）与销售月份（月）满足关系式，而其每千克成本（元）与销售月份（月）满足的函数关系如图所示．⑴试确定、的值；⑵求出这种水产品每千克的利润（元）与销售月份（月）之间的函数关系式；⑶“五·一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？⑴由题意：2524y22524y2（元）x（月）123456789101112O⑵；⑶∵，∴抛物线开口向下．在对称轴左侧随的增大而增大．由题意，所以在4月份出售这种水产品每千克的利润最大．最大利润（元）．如图，现有一横截面是一抛物线的水渠．一次，水渠管理员将一根长的标杆一端放在水渠底部的点，另一端露出水面并靠在水渠边缘的点，发现标杆有浸没在水中（），露出水面部分的标杆（）与水面成的夹角（标杆与抛物线的横截面在同一平面内），以水面所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系．⑴求该水渠横截面抛物线的解析式；⑵求当水面再上升时的水面宽约为多少？（，结果精确到）．⑴由题可得，且为抛物线顶点，则设二次函数为过点，∴．∴．⑵由题意，，解得，∴距离米．

实战演练实战演练知识模块一实际应用问题课后演练某批发市场批发甲、乙两种水果，根据以往经验和市场行情，预计夏季某一段时间内，甲种水果的销售利润（万元）与进货量（吨）近似满足函数关系；乙种水果的销售利润（万元）与进货量（吨）近似满足函数关系（其中，为常数），且进货量为吨时，销售利润为万元；进货量为吨时，销售利润为万元．⑴求（万元）与（吨）之间的函数关系式．⑵如果市场准备进甲、乙两种水果共吨，设乙种水果的进货量为吨，请你写出这两种水果所获得的销售利润之和（万元）与（吨）之间的函数关系式．并求出这两种水果各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？⑴由题意，得：，解得，∴．⑵∴，∴时，有最大值为．∴（吨）．答：甲、乙两种水果的进货量分别为吨和吨时，获得的销售利润之和最大，最大利润是万元．某宾馆有客房间，当每间客房的定价为每天元时，客房会全部住满．当每间客房每天的定价每涨元时，就会有间客房空闲．如果旅客居住客房，宾馆需对每间客房每天支出元的各种费用．⑴请写出该宾馆每天的利润（元）与每间客房涨价（元）之间的函数关系式；⑵设某天的利润为元，元的利润是否为该天的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，并指出此时客房定价应为多少元？⑴由题意得：⑵元不是最大利润．由当且仅当时，取得最大值8450，又∴元不是最大利润，最大利润是元，此时的客房定价应为元．/成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w内（元）．/受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为常数，），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳x2

元的附加费，设月利润为w外（元）（利润

=

销售额－成本－附加费）．⑴当x

=

1000时，y

=元/件，w内

=元；⑵分别求出w内，w外与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）；⑶当x为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值.⑴140，57500；⑵w内

==x2＋130x，w外=x2＋（）x．⑶当x

=

=

6500时，w内最大；由题意得，解得a1

=

30，a2

=

270（不合题意，舍去）．所以a

=

30．知识模块二建系解决实际问题课后演练如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高都是米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为米．．如图，有一座抛物线形的拱桥，桥下面处在目前的水位时，水面宽，如果水位上升，就将达到警戒线，这时水面的宽为．若洪水到来时，水位以每小时的速度上升，经过多少小时会达到拱顶?（延庆期末）以所在的直线为轴，中点为原点，建立直角坐标系，则抛物线的顶点在轴上，且、两点的坐标分别为、，设抛物线的解析式为．由、两点在抛物线上，有解这个方程组，得所以，顶点的坐标为则，所以，若洪水到来，水位以每小时的速度上升，经过小时会达到拱顶．

课后测课后测如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（m）与水平距离（m）之间的关系是．则他将铅球推出的距离是m．某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手点离地面高，与篮圈中心点的水平距离为，当球出手后水平距离为时到达最高点，已知离地面的高度为，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距离地面．⑴建立如图的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？⑵此时，若对方队员乙在甲前面处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为，那么乙能否获得成功？⑴由题可得为顶点，，设抛物线为，把代入解析式得，即．∵点横坐标为7，∴，，∴抛物线过，即能够投中．⑵时，，所以可以成功．朝着目标努力，成功会到手一个叫泰莉的空中小姐，很喜欢环游世界。另一个空中小姐宝玲也一样，但她还希望有自己的事业，最好与旅游有关。宝玲每到一个地方，就不停地记下她经历到的一切，尤其是当地的旅馆及餐厅状况，并不时把自己的经验提供给乘客。终于，她被调到旅游行程安排的部门，因为她就像一本活页百科全书，