2023-2024学年人教版九年级数学下册28.1.3 锐角三角函数第三课时 教案

2023-2024学年人教版九年级数学下册28.1.3锐角三角函数第三课时教案主备人备课成员教学内容2023-2024学年人教版九年级数学下册第28章《锐角三角函数》28.1.3节第三课时，本节课将围绕以下内容展开：

1.锐角三角函数的定义与性质复习；

2.解直角三角形的应用，特别是利用锐角三角函数求三角形中的未知边或角；

3.实际问题中的锐角三角函数应用，如测量高度、距离等；

4.锐角三角函数值的互化及其在解三角形中的应用；

5.练习相关典型题目，巩固所学知识，提高解题能力。核心素养目标1.让学生通过探索锐角三角函数的性质和应用，培养数据分析与空间想象能力，形成数学抽象与逻辑推理素养；

2.培养学生将实际问题转化为数学模型的能力，提高数学建模与问题解决的核心素养；

3.在解决实际问题的过程中，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提升数学应用意识；

4.通过小组讨论与合作学习，培养学生沟通与协作能力，增强团队合作意识。学习者分析1.学生已经掌握了锐角三角函数的定义、基本性质，以及简单的解直角三角形的应用。他们能够运用正弦、余弦、正切函数解决一些基本的数学问题。

2.学生对数学学习的兴趣较为浓厚，具备一定的逻辑推理和问题解决能力。在学习风格上，部分学生喜欢通过直观图形和实际操作来理解抽象概念，而另一部分学生则更倾向于通过公式和定理进行逻辑推导。

3.学生可能遇到的困难和挑战包括：将实际问题转化为数学模型的难度，对锐角三角函数值互化的理解，以及在解决综合应用题时对知识点的整合和运用。此外，对于一些空间想象能力较弱的学生，理解锐角三角函数在实际问题中的应用可能会存在一定难度。学具准备Xxx课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源准备1.教材：确保每位学生都有《人教版九年级数学下册》教材，提前准备至第28章相关内容。

2.辅助材料：准备锐角三角函数的图像、实际测量问题的图表、以及解直角三角形的步骤说明等多媒体资源。

3.实验器材：准备三角板、量角器等教学工具，用于学生实际操作和测量练习。

4.教室布置：将教室分为学习讨论区，便于学生进行小组合作学习；设置实验操作台，供学生进行实际测量活动。同时，确保多媒体设备正常运作，以便展示教学资源。教学过程设计1.导入环节（5分钟）

利用多媒体展示一座山和观测点的图片，并提出问题：“如何测量这座山的高度？”引导学生回顾之前学习的锐角三角函数知识，为新课的学习做好铺垫。

提问：同学们，你们还记得锐角三角函数的定义和性质吗？它们在实际问题中有什么应用？

2.讲授新课（20分钟）

（1）复习锐角三角函数的定义和性质（5分钟）

快速回顾正弦、余弦、正切函数的定义和性质，强调锐角三角函数的取值范围。

（2）解直角三角形的应用（10分钟）

结合教材28.1.3节的例题，讲解如何利用锐角三角函数求解直角三角形中的未知边或角。同时，强调锐角三角函数值互化的方法。

（3）实际问题中的应用（5分钟）

以测量山高为例，引导学生将实际问题转化为数学模型，并运用锐角三角函数求解。

3.巩固练习（15分钟）

（1）课堂练习（10分钟）

布置与新课内容相关的练习题，让学生独立完成。期间，教师巡回指导，解答学生的疑问。

（2）小组讨论（5分钟）

将学生分为小组，讨论以下问题：

1.锐角三角函数在实际问题中有哪些应用？

2.解直角三角形时，如何灵活运用锐角三角函数？

3.在解决实际问题时，如何将问题转化为数学模型？

4.课堂提问（5分钟）

针对本节课的重点知识，提出以下问题：

1.锐角三角函数的定义和性质是什么？

2.如何利用锐角三角函数解直角三角形？

3.实际问题中如何运用锐角三角函数？

邀请学生回答问题，并对学生的回答给予评价和指导。

5.课堂总结与拓展（5分钟）

（1）课堂总结（3分钟）

强调本节课的知识点：锐角三角函数的定义和性质，解直角三角形的应用，以及实际问题中的运用。

（2）拓展提升（2分钟）

布置一道拓展题，要求学生课后思考如何利用锐角三角函数解决更复杂的问题。知识点梳理1.锐角三角函数的定义与性质

-正弦函数：在直角三角形中，锐角的正弦值等于该角的对边长度与斜边长度的比值。

-余弦函数：在直角三角形中，锐角的余弦值等于该角的邻边长度与斜边长度的比值。

-正切函数：在直角三角形中，锐角的正切值等于该角的对边长度与邻边长度的比值。

-锐角三角函数的取值范围：正弦和余弦函数的取值范围在0到1之间，正切函数的取值范围是全体实数。

2.解直角三角形的应用

-利用锐角三角函数求解直角三角形中的未知边或角。

-通过锐角三角函数值的互化，解决实际问题中的计算需求。

3.实际问题中的锐角三角函数应用

-将实际问题转化为数学模型，运用锐角三角函数求解。

-测量高度、距离等问题，通过构建直角三角形，利用锐角三角函数计算。

4.锐角三角函数值的互化

-掌握正弦、余弦、正切函数之间的互化关系。

-在解三角形时，根据已知条件选择合适的函数进行计算。

5.典型题目的解题方法

-分析题目，确定需要使用的锐角三角函数。

-根据题目条件，列出方程或方程组。

-解方程或方程组，得出未知量的值。

-检验结果，确保符合题目要求。

6.数据分析与数学建模

-在解决实际问题时，收集并分析相关数据。

-构建数学模型，运用锐角三角函数进行求解。

-对结果进行分析，判断其合理性和可行性。重点题型整理1.计算题型：求直角三角形中的未知边或角

例题1：在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6cm，求AB和AC的长度。

答案：AB=12cm，AC=3√3cm

2.应用题型：实际问题中的锐角三角函数应用

例题2：小明站在距离树50米的地方，测得树梢的仰角为30°，求树的高度。

答案：树的高度为25米

3.互化题型：锐角三角函数值的互化

例题3：已知直角三角形中，∠A=60°，sinA=√3/2，求cosA和tanA的值。

答案：cosA=1/2，tanA=√3

4.综合题型：结合勾股定理求解

例题4：在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=13cm，AC=5cm，求∠A的正弦、余弦和正切值。

答案：sinA=5/13，cosA=12/13，tanA=5/12

5.数学建模题型：实际问题转化为数学模型

例题5：如图，从A点观测到B点的仰角为30°，从C点观测到B点的仰角为45°，已知AC=10米，求AB和BC的长度。

答案：AB=5√3米，BC=10米

补充说明：

1.在计算题型中，要熟练掌握正弦、余弦、正切函数的定义和性质，以及它们之间的关系。

2.应用题型要求将实际问题转化为数学模型，注意单位换算和角度的准确测量。

3.互化题型中，要掌握正弦、余弦、正切函数之间的互化公式，以便快速求解。

4.综合题型结合勾股定理，利用锐角三角函数求解未知边或角。

5.数学建模题型需要将实际问题抽象为数学模型，运用锐角三角函数进行求解。注意分析题目条件，列出方程或方程组，并检验结果。课堂小结，当堂检测1.课堂小结

-本节课我们学习了锐角三角函数的定义、性质以及在实际问题中的应用。

-通过例题，我们了解了如何利用锐角三角函数解直角三角形，以及如何将实际问题转化为数学模型。

-强调了正弦、余弦、正切函数之间的互化关系，并学会在解题过程中灵活运用。

-掌握了在解决实际问题时，如何收集数据、构建数学模型、求解并分析结果。

2.当堂检测

（1）基础题

1.已知直角三角形中，∠A=45°，BC=6cm，求AB和AC的长度。

2.在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=13cm，AC=5cm，求∠A的正弦、余弦和正切值。

（2）提高题

3.小华站在距离树40米的地方，测得树梢的仰角为25°，求树的高度。

4.从A点观测到B点的仰角为30°，从C点观测到B点的仰角为45°，已知AC=8米，求AB和BC的长度。

（3）拓展题

5.如图，从A点观测到B点的仰角为α，从C点观测到B点的仰角为β，已知AC=a，求AB和BC的长度。

（注：此题要求学生自行设定角度和长度，求解并分析结果）

3.答案与解析

（1）基础题

1.AB=6cm，AC=6√2cm

2.sinA=5/13，cosA=12/13，tanA=5/12

（2）提高题

3.树的高度约为20.4米

4.AB约为4.62米，BC=8米

（3）拓展题

5.学生自行求解，教师进行个别指导。反思改进措施（一）教学特色创新

1.在教学中，我采用了多媒体与实物相结合的方式，通过展示实际情境和操作实验，增强了学生对锐角三角函数概念的理解和实际应用的认识。

2.引导学生通过小组合作解决实际问题，培养了学生的团队合作意识和数学建模能力。

（二）存在主要问题

1.在教学过程中，我发现部分学生对锐角三角函数值的互化掌握不够熟练，导致解题速度较慢。

2.部分学生在将实际问题转化为数学模型时，对问题的分析不够深入，难以准确构建数学模型。

（三）改进措施

1.针对锐角三角函数值的互化问题，我计划在今后的教学中增加相关的练习题，强化学生对互化公式的记忆和应用。

2.对于实际问题转化的困难，我将在课堂上增加案例分析环节，引导学生从不同角度分析问题，提高他们构建数学模型的能力。

3.在教学评价方面，我将更加关注学生的过程性评价，及时发现并解决学生在学习中的困难，提高教学效果。

4.加强校企合作，邀请相关行业的专家来校进行讲座，让学生了解数学知识在实际工作中的应用，提高他们的学习兴趣和动力。内容逻辑关系①重点知识点

-锐角三角函数的定义与性质

-解直角三角形的应用

-实际问题中的锐角三角函数应用

-锐角三角函数值的互化

-数据分析与数学建模

②关键词

-正弦、余弦、正切

-直角三角形

-测量

-互化

-数学模型

③重点句

-锐角的正弦值等于该角的对边长度与斜边长度的比值。

-在直角三角形中，利用锐角三角函数求解未知边或角。

-将实际问题转化为数学模型，运用锐角三角函数求解。

-正弦、余弦、正切函数之间可以通过互化公式相互转换。

-通过数据分析，构建数学模型，解决实际问题。

板书设计：

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