模型38 圆-垂径定理模型-解析版

圆模型（三十八）——垂径定理模型垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧◎结论：如图，CD是直径，CD⊥AB，则①MA＝MB，②＝垂径定理中的五元素：①过圆心;②垂直弦;③平分弦（不是直径）;④平分优弧;⑤平分劣弧.知二推三：这五个元素中，知道任意两个，可得其它三个.【注意】平分弦（不是直径）的原因：任意两条直径互相平分，但无法推出垂直,如图：找残缺圆的圆心方法：知二推三组合作法：在圆弧上找两条不平行的线段，圆心在弦的垂直平分线上，交点为O1．（2022·江苏·灌南县扬州路实验学校九年级阶段练习）如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P为半径OB的中点，若CD＝6，则直径AB的长为（）A．2 B．6 C．4 D．6【答案】C【分析】根据垂径定理可知AB垂直平分CD，连接OC，根据勾股定理即可求出半径OC，最后求出直径即可．【详解】解：如图，连接OC，∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴，设⊙O的半径为r，∵点P为OB中点，∴，在种，由勾股定理可得：，即：，解得：r=或：r=（舍），∴直径为．故选∶C．【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握“垂直于弦的直径平分弦”并构建直角三角形求解是解题的关键．2．（2022·广东·绿翠现代实验学校二模）如图，的半径OD垂直弦AB于点C，若，，则的半径为（

）A． B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根据垂径定理可得,再利用勾股定理直接求得的长，即可得出答案．【详解】解：设半径为，，，根据垂径定理得：，，在中，，，，解得，即的半径为5．故答案为：D．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解决本题的关键是熟练运用垂径定理得出结论，列式计算．3．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级阶段练习）如图，是⊙的直径，弦于点，，⊙的半径为，则弦的长为（

）A．3 B． C． D．9【答案】C【分析】先根据圆周角定理得到∠COB=60°，再根据垂径定理得到CE=DE，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出CE，从而得到CD的长．【详解】解：∵，∴∠BOC=60°，∵，∴CD=2CE，∠CEO=90°，∴∠OCE=30°，∴OC=2OE，∵⊙的半径为，即OC=2，∴OE=1，∴，∴．故选：C【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了圆周角定理，勾股定理．1．（2022·江苏·灌南县扬州路实验学校九年级阶段练习）在中，，，已知是的外接圆，且的半径为5，则AB的长为（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根据题意，画出图形，连接OB，根据垂径定理，构建直角三角形进行求解．【详解】解：如图1：当∠BAC为锐角时，过点A作AD⊥BC于点D，连接OB，∵AD⊥BC，BC=6，∴BD==3，∵半径为5，∴OB=OA=5，∴，∴AD=OA+OD=4+5=9，∴，如图2：当∠BAC为钝角时，过点A作AD⊥BC于点D，连接OB，∵AD⊥BC，BC=6，∴BD==3，∵半径为5，∴OB=OA=5，∴，∴AD=OA-OD=5-4=1，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆，垂径定理以及勾股定理，熟练掌握相关内容，根据题意构建直角三角形是解题的关键．2．（2022·北京市三帆中学九年级阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，若∠ABC＝30°，OE＝1，则OD长为（）A．3 B． C． D．2【答案】D【分析】先利用垂径定理得到，再根据圆周角定理得到∠AOD＝60°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系得到OD的长．【详解】解：∵CD⊥AB，AB是直径，∴，∴∠AOD＝2∠ABC＝2×30°＝60°，在Rt△ODE中，OD＝2OE＝2×1＝2．故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．3．（2022·全国·九年级单元测试）如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，，∠CDB＝30°，AC＝2，则OE＝（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】连接BC，根据垂径定理的推论可得AB⊥CD，再由同弧所对的圆周角相等可得∠A＝∠CDB＝30°，根据锐角三角函数可得AE＝3，AB＝4，即可求解．【详解】解：如图，连接BC，∵AB为⊙O的直径，，∴，∵，，∴，∵AB为⊙O的直径，∴，∴，∴OA＝2，∴OE＝AE﹣OA＝1．故选：C．【点晴】本题主要考查了垂径定理，同弧所对的圆周角相等，解直角三角形，熟练掌握垂径定理，同弧所对的圆周角相等，特殊角三角函数是解题的关键．1．（2016·陕西·中考真题）如图，AB是⊙O的弦，过B作BC⊥AB交⊙O于点C，过C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，取AD的中点E，过E作EF∥BC交DC的延长线与点F，连接AF并延长交BC的延长线于点G．．求证：（1）FC=FG（2）AB2=BC•CG．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）由平行线的性质得出EF⊥AD，由线段垂直平分线的性质得出FA=FD，由等腰三角形的性质得出∠FAD=∠D，证出∠DCB=∠G，由对顶角相等得出∠GCF=∠G，即可得出结论；（2）连接AC，由圆周角定理证出AC是⊙O的直径，由弦切角定理得出∠DCB=∠CAB，证出∠CAB=∠G，再由∠CBA=∠GBA=90°，证明△ABC∽△GBA，得出对应边成比例，即可得出结论．【详解】解：（1）∵EF∥BC，AB⊥BG，∴EF⊥AD，∵E是AD的中点，∴FA=FD，∴∠FAD=∠D，∵GB⊥AB，∴∠GAB+∠G=∠D+∠DCB=90°，∴∠DCB=∠G，∵∠DCB=∠GCF，∴∠GCF=∠G，∴FC=FG；（2）连接AC，如图所示：∵AB⊥BG，∴AC是⊙O的直径，∵FD是⊙O的切线，切点为C，∴∠DCB=∠CAB，∵∠DCB=∠G，∴∠CAB=∠G，∵∠CBA=∠GBA=90°，∴△ABC∽△GBA，∴，∴=BC•BG．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质；垂径定理；切线的性质，解题的关键是添加辅助线构造相似三角形.2．（2019·安徽·中考真题）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB=41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离.（参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）【答案】6.64米【分析】通过垂径定理求出AD，再通过三角函数解直角三角形，求出AO和OD的值，从而得到点C到弦AB所在直线的距离.【详解】解：如图：连接CO并延长，交AB于点D，∵OD⊥AB，AB=6，∴AD=AB=3，在