模型32 平行四边形-对角互补模型-原卷版

平行四边形模型（三十二）——对角互补模型◎结论1：如图，∠ABC=∠ADC=90°，AD=DC，则①BC+AB=2BD，②S四边形ABCD=12BD2，【证明】【关键：把互补转化成相等，看到互补的条件，找其中一角的邻补角，转化成相等】旋转相等边的夹角⑴AD.CD夹角90°,旋转90°,延长BC至E，使CE＝AB,连接DE，∵∠DAB＋∠DCB＝180°∠DCE＋∠DCB＝180°∴∠DAB＝∠DCE在△DAB和△DCE中DA＝DC,∠DAB＝∠DCE,AB＝CE∴△DAB≌△DCE∴BD＝ED，∠1＝∠2∵∠1＋∠3＝90°∴∠2＋∠3＝90°∴△BED是等腰直角三角形BE＝2BD,BC＋CE＝2BD，BC＋AB＝2BD⑵S四边形ABCD=S△ABD＋S△BCD＝S△由⑴得，BD=DE，∴S四边形ABCD＝12BD·DE＝1⑶由⑴得，△BDE是等腰直角三角形，∴∠DBC=45º，∴BD是角平分线.◎结论2：如图，∠ABC=60º，∠ADC=120°，AD=DC，则①BC+AB=3BD，②S四边形ABCD=34BD【证明】⑴满足对角互补，邻边相等AD.CD夹角120°，旋转120°延长BC至点E，使CE＝AB，连接DE∵∠DAB＋∠DCB＝180°∠DCE＋∠DCB＝180°∴∠DAB＝∠DCE在△DAB和△DCE中DA＝DC,∠DAB＝∠DCE,AB＝CE∴△DAB≌△DCE∴BD＝ED，∠1＝∠2∵∠1＋∠3＝120°∴∠2＋∠3＝120°过D作DM⊥BE于M，∴∠BDM＝60°，BM＝ME∴sin60°＝BMBD∴BMBD＝∴2BMBD＝3，即BE＝3BD，∴BC＋AB＝⑵由⑴得DM=12BD，BE=3S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝＝12·3BD·12BD＝3⑶由⑴得BD＝DE，∠BDE＝120º，∴∠B＝∠E＝30º，∴BD是角平分线补充：图形如果是下图这样，结论会稍有不同【结论】∠AOB=120º，∠DCE＝60º，OC平分∠AOB，D、E在OA、OB上，则，①CD=CE②OD+OE=OC①在OB上取一点F，连结CF，使△OCF为等边三角形，∵∠FCE＋∠OCE＝∠DCO＋OCE＝∠DCE＝60°∴∠FCE＝∠DCO∵△OCF为等边三角形∴∠CFE＝∠COD，且CF＝CO，易证△CDO≌△CEF∴CD＝CE②∵△CDO≌△CEF∴DO＝EF，∴OD＋OE＝OE＋EF＝OF∴OD＋OE＝OC◎结论3：如图，∠ABC=α，∠ADC=180º－α，AD=DC，则①BC+AB=2BDcos12α，②S四边形ABCD=①【证明】满足对角互补，邻边相等AD,CD夹角180－a,旋转180－a延长BC至点E，使CE＝AB，连接DE∵∠DAB＋∠DCB＝180°∠DCE＋∠DCB＝180°∴∠DAB＝∠DCE在△DAB和△DCE中DA＝DC,∠DAB＝∠DCE,AB＝CE∴△DAB≌△DCE∴BD＝ED，∠1＝∠2∵∠1＋∠3＝180－a∴∠2＋∠3＝180－a（把图形抽离出来）过D作DM⊥BE于M，∴∠BDM＝90°－12∴∠DBM＝12a，BE＝2BM，cos12a＝∴2cos12a＝2BMBD＝BE＝2BDcos12∴BC＋AB＝2BDCOS12②【证明】由上可知△DAB≌△DCE，所以△DAB的面积＝△DCE的面积∴S四边形ABCD（把图形抽离出来）由①过程可知BE＝2BDcos12DM＝BDsin12∴S△BDE＝12BEDM＝2BDcos12aBDsin1∴S四边形ABCD＝3③∵BD＝ED∴∠E＝∠DBE∵△DAB≌△DCE∴∠ABD＝∠E∴∠ABD＝∠DBE∴BD为角平分线。1．（2021·全国·八年级专题练习）如图，为等边三角形，以为边向外作，使，再以点C为旋转中心把旋转到，则给出下列结论：①D，A，E三点共线；②平分；③；④．其中正确的有（

）．2．（2021·重庆·西南大学银翔实验中学八年级阶段练习）如图，在四边形中，于，则的长为__________1．（2019·江苏南京·八年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，A,B两点分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=OB，点C在第一象限，OC=3，连接BC，AC，若∠BCA=90°，则BC+AC的值为_________．2．（2021·全国·八年级专题练习）如图，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，若四边形ABCD的面积为4，则AC＝_____．3．（2021·陕西·交大附中分校八年级开学考试）问题探究（（1）如图①，已知∠A=45°，∠ABC=30°，∠ADC=40°，则∠BCD的大小为___________；（2）如图②，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线BD=6．求四边形ABCD的面积；小明这样来计算．延长DC，使得CE=AD，连接BE，通过证明△ABD≌△CBE，从而可以计算四边形ABCD的面积．请你将小明的方法完善．并计算四边形ABCD的面积；问题解决（3）如图③，四边形ABCD是正在建设的城市花园，其中AB=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，DC=40米，AD=30米．请计算出对角线BD的长度．1．（2012·黑龙江黑河·中考真题）Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论①(BE+CF)=BC，②，③AD·EF，④AD≥EF，⑤AD与EF可能互相平分，其中正确结论的个数是【

】A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2019·江苏常州·一模）我们定义：有一组对角为直角的四边形叫做“对直角四边形”．（1）如图①，四边形