模型23 勾股定理-赵爽弦图模型-原卷版

第六讲勾股定理模型（二十三）——赵爽弦图模型◎结论1：在正方形ABCD的四边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，使得BE＝CF＝GD＝AH，则四边形EHGF是正方形【证明】在正方形中，BE=CF=GD=AH，∴AE=BF=CG=HD,又∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，∴Rt△BEF≌Rt△CFG≌Rt△DGH≌Rt△AHE，∴EF＝FG＝GH＝HE,∠AHE＝∠BEF，∵∠AEH＋∠AHE＝90°∴∠AEH十∠BEF＝90°∴∠FEH＝90°∴四边形EHGF是正方形.◎结论2：如图所示，在正方形ABCD的四边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H,使得BE=CF=GD=AH,此外EQ∥BC，HP∥CD，GO∥DA，FR∥AB，则四边形ORQP是正方形【证明】∵EQ∥BC，HP∥CD，GO∥DA，FR∥AB，且∠A=∠B=∠C=∠D=90°,∴四边形AHPE、四边形EBFQ、四边形FCGP、四边形HOGD均为长方形，∴△AEH≌△PHE≌△BFE≌△QEF≌△CGF≌△RFG≌△DHG≌△OGH,∴HP=EQ=FR=GO,EP=FQ=GR=HO,∴OP=PQ=QR=RO，且∠ROP=180°-∠HOG＝90°，∴四边形ORQP为正方形.◎结论3：如图所示，在正方形ABCD的四边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，使得BE=CF=GD=AH，此外EQ∥BC，HP∥CD，GO∥DA，FR∥AB，则（1）S正方形=4S十S正方形;（2）S正方形=4S十S正方形;（3）S正方形－S正方形＝S正方形－S正方形.（4）2S正方形=S正方形十S正方形注：常见的勾股数组合①3,4,5；②5,12,13；③6,8,10；④8,15,17；⑤9,12,15;1．（2022·福建·厦门双十中学思明分校八年级期中）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列结论：①；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49；④x+y＝7．其中正确的结论是（）A．①② B．②④ C．①②③ D．①③2．（2022·辽宁·丹东市第五中学七年级期末）如图是“赵爽弦图”，由个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是，小正方形的面积是，设直角三角形较长直角边为，较短直角边为，则的值是（

）A． B． C． D．3．（2022·河南·郑州经开区外国语女子中学八年级期末）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．如图是由四个完全相同的直角三角形和一个小正方形进行的镶嵌，其中直角三角形的一个角等于，若小正方形的边长为，则大正方形的边长为(

)A． B． C． D．1．（2022·北京十一晋元中学八年级期中）用四个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形如图所示，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若x，y表示直角三角形的两直角边长（x＞y），给出下列四个结论正确的是_____．（填序号即可）①x﹣y＝2；②；③2xy＝45；④x+y＝9．2．（2022·河南南阳·八年级期末）把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图②，③所示的正方形（图②中大正方形边长为5，图③中中间小正方形边长为1），则图①中菱形的面积为________．3．（2022·山西吕梁·八年级期末）如图是一幅赵爽弦图，利用此图可以证明勾股定理．现连接BE，发现AB＝BE，若DE＝1，则正方形ABCD的面积为________．4．（2022·河南安阳·八年级期末）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．下图是3世纪我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图案，人们称它为“赵爽弦图”．此图中四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形．如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则的值是____________．1．（2022·四川宜宾·中考真题）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为______．2．（2020·湖南娄底·中考真题）由4个直角边长