第三章 一元函数的导数及其应用

第49页第三章一元函数的导数及其应用3.1导数的概念、意义及运算课程标准有的放矢1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想.2.体会极限思想.3.通过函数图象直观理解导数的几何意义.4.能根据导数定义求函数y=c，y=x，y=x25.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数（限于形如fax6.会使用导数公式表.必备知识温故知新【教材梳理】1.导数的概念及其意义（1）函数的平均变化率:对于函数y=fx，设自变量x从x0变化到x0+Δx，相应地，函数值y就从fx0变化到fx0+Δx．这时，x的变化量为Δx，y（2）导数的概念:如果当Δx→0时，平均变化率ΔyΔx无限趋近于一个确定的值，即ΔyΔx有极限，则称y=fx在x=x0处（3）导数的几何意义:函数y=fx在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=fx在点Px0,fx0处的切线的斜率（4）导函数的概念:当x=x0时，f'x0是一个唯一确定的数，这样，当x变化时，y=f'x就是x的函数，我们称它为y=2.导数的运算（1）基本初等函数的导数公式.原函数导函数fx=cf'xfx=f'x=fxf'x=fxf'x=fx=f'x=fxf'x=fx=f'x=fxf'x=（2）导数的四则运算法则.名称法则和差[fx±积[fxgx特别地，[cf商[fxgx]'=（3）简单复合函数的导数.一般地，对于两个函数y=fu和u=gx，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=fu和u=gx的复合函数，记作y=fgx.它的导数与函数y=f【常用结论】3.导数的两条性质（1）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.（2）可导函数y=fx的导数为f'x，若f'x4.几类重要的切线方程（1）y=x−1是曲线y=lnx的切线，y=x图1（2）y=x+1与图2（3）y=x是曲线y=sin图3自主评价牛刀小试1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.（1）f'x0与[fx（2）函数在x=x0处的导数反映了函数在区间[x0（3）曲线的切线与曲线只有一个公共点. （×）（4）与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线. （×）（5）函数fx=sin−x的导数是f'2.（教材题改编）函数fx的图象如图所示，则四个数值0，f'1,f'2A.0 B.f'1 C.f'解：f'3>f3.已知函数fx=xx+1+A.83 B.2 C.53解：f'x=1x+12+a，故f故选A.4.曲线fx=ln(2x−1A.y=x−1 B.y=2x解：因为fx=ln2x−1，所以f'x=22x−故选C.核心考点精准突破考点一求导运算例1求下列函数的导数：（1）y=解：y'==3=3=ln（2）y=[答案]y'=（3）y=sin[答案]y'=cos=2（4）y=[答案]y'==1（5）y=[答案]y'=tan【点拨】一般对函数式先化简再求导，常用求导技巧有以下几种.①连乘积形式,先展开化为多项式的形式，再求导.②分式形式,观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导.③对数形式,先化为和、差的形式，再求导.④根式形式,先化为分数指数幂的形式，再求导.⑤三角形式,先利用公式化简函数，再求导.⑥复合函数,确定复合关系，由外向内，层层求导.变式1（1）若函数fx=12x2解：f'x=x−2f'0sinx+1.令x=（2）设函数fx=xx+kxA.0 B.−1 C.3 D.解：因为fx所以f'x=x+kx+2kx−（3）设函数fx在0,+∞内可导，且fex解：（方法一）令t=ex，则x=lnt，所以ft=lnt（方法二）等式两边同时求导，得exf'ex=1故填2.考点二导数的几何意义命题角度1求切线方程例2（1）[2023年全国甲卷]曲线y=exx+1在点A.y=e4x B.y=e解：因为y=exx+1，所以y'=exx+1−e（2）已知函数fx=xlnx，若直线l过点0,−1解：易知点0,−1不在曲线y=设切点为x0因为f'所以直线l的方程为y+所以由y0=x0所以直线l的方程为y=x−1故填x−【点拨】①以曲线上的点x0,fx0为切点的切线方程的求解步骤：先求出函数fx的导数f'x，再求切线的斜率f'变式2（1）曲线y=2sinxA.x−y−π−C.2x+y−解：因为y'=2cosx−sinx，所以y'|x=π=2cosπ−sin（2）直线y=kx−1是曲线y=A.e B.e2 C.1 D.解：设切点为x0由y=1+lnx，得则曲线在切点处的切线方程为y−1−lnx0=1x0(x−x0)命题角度2两曲线的公切线例3已知曲线fx=ex在点P0,fA.e3 B.e2 C.e2解：因为fx=ex，所以f'x=ex，f0设y=x+1与曲线gx相切于点x0,lnax0，则g'x0=1x0【点拨】公切线常有共点切线和不共点切线两类.处理与公切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程（组）并解出参数，建立方程（组）的依据主要是：切点处的导数是切线的斜率，切点在切线上，切点在曲线上.变式3（1）若函数y=2x3+1解：设切点的横坐标为x0，根据切点在两函数图象上，得2由函数y=2x3+1,得y'=6x2由①②，解得x0=0,b=−1（2）若直线y=kx−2与曲线C1:y解：设直线y=kx−2与曲线C1的切点坐标为x0,则k=3x02,x因为直线y=3x−2与圆所以3a−210=10，解得a=故填4．命题角度3根据切线情况求参数例4[2022年新课标Ⅰ卷]若曲线y=(x+a)e解：因为y=x+a设切点为x0,y0,则y切线方程为y−因为切线过原点，所以−x整理得x0因为切线有两条，所以Δ=a解得a<−4或另解：由切线斜率k=y0−0x0−0所以a的取值范围是−∞,−4故填−∞,−4【点拨】求曲线切线的条数一般是设出切点t,ft,由已知条件整理出关于t的方程,把切线条数问题转化为关于t的方程的实根个数问题（零点问题）.本题利用导数的几何意义研究确定的切线,注意等价转化思想的应用：切线有两条→切点x0,变式4已知过点Aa,0作曲线y=1A.−3 B.3 C.−3或1解：设切点为x0由已知，得y'=−xex，则切线斜率k直线过点Aa,0，则−1切线有且仅有1条，即Δ=a+12−4=0，课时作业知能提升【巩固强化】1.下列求导运算错误的是（D）A.x2023C.sinx'=cos解：tanx'=sinxcos2.一质点作直线运动，由始点起经过ts后的位移为s=A.4s末 B.8s末 C.0s末与8解：s'=t2−12t+32.由导数的物理意义，可知速度为0的时刻就是s'=0的时刻.解方程t23.函数y=fx的图象如图所示，f'xA.2f'3<C.f5−f解：由题图，知f'3<f5−f4.已知曲线fx=asinx+cosxA.1 B.2 C.−1 D.解：f'曲线fx在点0,f0处的切线斜率为k=f'0=a.由题意5.曲线y=xx−3A.y=−3x+4 B.y=x解：因为y'=1×x−3−x×1x−36.【多选题】下列命题正确的是（BD）A.若f'x0=0B.曲线y=C.若曲线y=fx在x=1处的切线方程为D.若函数fx的导数f'x=x2−2解：对于A，若f'x0=0，则函数fx在x0对于B，曲线y=fx的切线与曲线可以有两个公共点，例如曲线y=x3−3x在x=1处的切线为对于C，因为曲线y=fx在x=1处的切线方程为2x−y=0，所以f对于D，因为f'x=x2−2，所以f'1=−1.又f1=2，所以切点坐标为1,故选BD．7.[2022年新课标Ⅱ卷]曲线y=lnx过坐标原点的两条切线的方程为y=1e解：当x>0时，y=lnx，设切点为x0,lnx0又切线过坐标原点，得−lnx0=−1，解得x0=e由对称性，可知当x<0时，过原点的切线方程为y=−1ex8.已知函数y=（1）求这个函数图象上垂直于直线x+解：设fx=x因为切线与x+y令f'x=又f1=0所以切线方程为y=（2）求这个函数图象过点1,−[答案]设切点为x0,y切线方程为y−因为切线过点1,−所以−4解得x0=−1或x0=因此切线方程为y+4=−3即3x+y+1【综合运用】9.若一直线与曲线y=lnx和曲线x2=ayaA.2e B.3e C.3 解：设Px1,y1.函数y=lnx的导数为则曲线y=lnx在x=x1同理,曲线y=x2a在x由题意，知2x1a=1x110.【多选题】已知直线l与曲线fx=lnx+A.3x−y−1=0 B.2x解：fx=lnx+x2，x>0，则f'x=1x+2x≥22，当且仅当1x=2x，即x=2211.已知函数fx=x+a2x，若曲线y=f解：f'x=1−a2x2.设切点坐标为(x0,x0+a2x0)，则切线方程为y−x0−a2x0=1−a2x02x12.设函数fx=ax−bx，曲线（1）求fx解：切线方程7x−4y−12当x=2时，y=于是2a−b2=故fx（2）证明：曲线y=fx上任一点处的切线与直线x证明：设Px0由y'=1+3x2即y−令x=0，得从而得切线与直线x=0的交点坐标为(0令y=x，得从而得切线与直线y=x的交点坐标为所以点Px0,y0处的切线与直线x故曲线y=fx上任一点处的切线与直线x【拓广探索】13.点A在直线y=x上，点B在曲线y=lnxA.22 B.1 C.2 解：设平行于直线y=x的直线l:y=x+b与曲线y设直线y=x+b与曲线y=lnx的切点为m,ln又y'=1x,即1m=1，则m=1，b=−1，则直线l3.2导数在研究函数中的应用第1课时函数的单调性课程标准有的放矢结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间.必备知识温故知新【教材梳理】1.函数的单调性与导数的关系在某个区间a,b上，如果f'x>0，那么函数y=fx2.利用导数判断函数fx第1步，确定函数的定义域；第2步，求出导数f'x的第3步，用f'x的零点将fx的定义域划分为若干个区间，列表给出f3.函数值变化快慢与导数的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”.【常用结论】4.根据单调性确定参数（1）若fx在区间I上单调递增（减），则f'x（2）若fx在区间I上存在单调递增（减）区间，则f'x自主评价牛刀小试1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.（1）若函数fx在a,b内单调递增，则一定有f'x（2）若函数fx在某个区间内恒有f'x=0，则f（3）在a,b内,f'x≤0且f'x=（4）函数fx=x−lnx的单调递增区间为−∞,0（5）函数fx在区间a,b上变化得越快，其导数就越大. 2.（教材题改编）设函数fx的图象如图所示，则导函数f'xA. B.C. D.解：由函数图象，可知当x∈−∞,1时，函数fx单调递减，此时f'x<0;当x∈1,4时，fx单调递增，此时f'x>0；当x∈4,+∞3.函数fx=3A.−∞,0 B.0,+∞ C.−∞,−3和1解：因为函数fx所以f'由f'x>0即3−2x−x2>0，则x2+2x−34.已知函数fx=1+x−sinx，则A.f2>f3C.f2>f解：f'x=1−cosx.当x∈(0,π]时，f'x>0核心考点精准突破考点一不含参函数的单调性例1已知函数fx=e解：f'令f'x=0，得x当x∈−∞,−1∪0,+∞当x∈−1,0综上，函数fx的单调递增区间为−∞,−1和0,+∞【点拨】确定函数单调区间的步骤如下.第一步，确定函数fx的定义域.第二步，求f'x.第三步，解不等式f变式1（1）函数fx=xln解：因为fx=xlnx，所以f'令f'x<0，解得0所以fx的单调递减区间为0,1故填0,1，（2）已知函数fx=xsin解：f'令f'x=0，得x当0<x<π2或3π2<所以fx在(0,π2)上单调递增，在(π2,考点二含参函数的单调性例2[2021年新课标Ⅱ卷节选]已知函数fx=(x解：由题意，得f'当a≤0时,若x∈−∞,0若x∈0,+∞,则f当0<a<12时,若x若x∈ln2a,0若x∈0,+∞,则f当a=12时,f'x≥当a>12时,若x∈−∞,若x∈0,ln2a,则若x∈ln2a,+∞,则综上所述，当a≤0时，fx在−∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增；当0<a<12时，fx在−∞,ln2a和0,+∞上单调递增，在ln2a,0上单调递减；当a=12时,【点拨】分类依据主要有：最高次幂系数，导函数的变号零点，变号零点与定义域或指定区间的关系，变号零点之间的大小关系.注意讨论完对结果进行综述.变式2（1）已知函数fx=x解：f'=−①当a+1=1，即a=0时，f'②当a+1>1，即a>0时，由f'x<0所以fx在−∞,1和a+1,+∞③当a+1<1，即a<0时，由f'x<0所以fx在−∞,a+1和1,+∞综上，当a=0时，fx在当a>0时，fx在−∞,1和a+当a<0时，fx在−∞,a+1和（2）设函数fx=x3+解：f'令f'x=0，解得x若a>0，则a3>−a.当x∈−∞,−a和(a3,+∞)时，f'若a=0，则f'x≥0若a<0，则a3<−a.当x∈(−∞,a3)和−a,+∞时，f'综上所述，当a>0时，fx在−∞,−a和(a3,当a=0时，fx在当a<0时，fx在(−∞,a3)和−a考点三函数单调性的应用命题角度1求参数的范围（值）例3已知函数ℎx（1）若函数ℎx存在单调递减区间，求实数a解：ℎx=ln则ℎ'因为ℎx在0,+∞所以当x∈0,+∞时，ℎ'x<0有解，即a而Gx=1所以a>−1，即a的取值范围是（2）若函数ℎx在[1,[答案]由ℎx在[1当x∈[1,4]时，ℎ'x≤因为x∈[1,4]所以当x=4时，所以a≥−716，即a的取值范围是[−【点拨】根据函数单调性求参数的一般思路如下.①利用集合间的包含关系处理.y=fx在a,b上单调，则区间a,b是相应单调区间的子集.②fx变式3（1）函数fx=13x3−A.−∞,−1 B.(−∞,−1] C.1解：f'因为fx在−2,−所以f'x≤0在所以a≤x2在−2,−1故选B.（2）若函数fx=alnx−A.e,+∞ B.−∞,e C.e2,+∞ 解：fx的定义域为0f'当a≤0时，f'x<0恒成立，故函数fx在[e,当a>0时，令f'x>0，解得0<所以fx在0,a上单调递增，在a因为fx在[e,e2]内存在单调递增区间，所以命题角度2比较大小例4已知函数fx=2x+e−x−ex，a=f2A.c<b<a B.b<a解：由题意，得f'x=2−e−x−ex=2−e−因为20.3>20=1，0因为fx在R上单调递减，所以f20.3<f0.3【点拨】①利用导数比较大小,有时需要利用题目条件构造辅助函数,把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小的问题.②比较大小时，需关注函数的性质,如奇偶性、对称性，进而把自变量转移到同一区间，再利用单调性比较即可.变式4已知函数fx=x2−cosx，则fA.f0<fC.f−35解：易知fx是偶函数，所以f−35=f35.f'x=2x+sinx，当0<课外阅读·“二次求导”中的理性思维求导后思路受阻时，常考虑二次（多次）求导（需利用函数思想先构造函数），尤其是对于解析式含ex,lnx,xn,sinx,cosx等混合结构时.应用二次求导时，一是要注意结合端点或特殊点函数值符号，二是要注意一般令gx1.判断函数fx解：f'令gx=x令ℎx=g当x>1时,ℎ'x又ℎ1=0,故ℎx≥0（x≥1时）,则gx单调递增.又g1=2.已知函数fx=xcosx−解：由题意，知f'令gx=cos则g'x=−2sinx当a≥1时，g0=1所以fx的单调递减区间是[课时作业知能提升【巩固强化】1.函数fx=−lnA.(−12,0)和(12,+∞) B.(−∞,C.(0,12) D.解：函数fx的定义域为0f'令f'x>0所以函数fx的单调递增区间为(12故选D.2.函数y=fx的导函数y=fA. B.C. D.解：设f'x的图象与x轴的交点依次为x1,x2,x3，且x1<−x2<0<x2<3.已知函数fx=sin2x+2cosA.(0,π6) B.(π6,5π6) C.解：由题意，知f'x=令f'x<0，则2sinx−1sin所以fx的单调递减区间为(π6故选B.4.设函数fx=ex−alnxA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解：函数fx的定义域为0f'当a<0时，f'x>0，所以fx当a=0时，fx=ex在故选A.5.下列函数中，既满足图象关于原点对称，又在−∞,0上单调递增的是（CA.fx=xcosC.fx=3x解：A中，f'x=cosx−xsinx，所以f'x在−∞,0B中，f−x=ex+e−x2=fx，C中，f−x=−3x−2sin−又f'x=3−2cos所以fx在−∞,0上单调递增，CD中，f'x=3x2−1，当x<0时，fx在(−∞,−33)6.已知函数fx=x2−A. B. C. D.解：f'当−2<x<1时，f'x<0;当所以fx在−2,1上单调递减，在−∞,−2又当x<−2时，x2−x−1故选A.7.已知fx=2(x+解：f'x=2+sinx>0，故函数fx在R上单调递增.又f0=2−cos8.已知函数fx=1（1）若函数fx的单调递减区间为[−23解：f'因为函数fx的单调递减区间为[−23,1]，所以x1=−23当a=23时，由f'x<0，解得−2（2）若函数fx在2,3[答案]因为fx在2,3上单调递减，所以f'x则x+ax−1≤0，即a≤−x【综合运用】9.若函数fx=2x2−lnA.[1,+∞) B.[1，32) C.[解：函数fx的定义域为0,+∞，f'x=4x−1x.由f'x=0，10.已知fx=3x−3x2，A.fb<faC.fc<f解：因为当x>0时,f'x=−3x2−因为e2>2>312>111.已知函数fx=eaxsinx.若fA.(−∞,−1] B.[−1,+∞) C.解：f'由题意，得f'x≥0，即asinx+cosx≥0在(0,π4)上恒成立，所以a≥−1tanx在(0，π4)上恒成立12.讨论下列函数fx（1）fx=sin解：f'令f'x>0⇒4cos2x−令f'所以fx的单调递增区间为(0,π3)，单调递减区间为（2）fx[答案]fx的定义域为0,+∞，①当a≤0时，令f'x<0，得0<x<1；令f'x②当0<a<1时，令f'x<0，得a<x<1；令f'x>0，得0③当a=1时,显然f'x≥0恒成立，此时④当a>1时,令f'x<0，得1<x<a；令f'x>0，得0<x【拓广探索】13.制作芯片的原料是晶圆，晶圆是由硅元素加以纯化得到，晶圆越薄，其体积越小且成本越低，但对工艺的要求就越高，即制作晶圆越薄其工艺就越高.某大学为鼓励更多的有志青年投入到芯片事业中，成立甲、乙两个科研小组，分别用两种不同的工艺制作晶圆.甲小组制作的晶圆厚度为2sin12mmA.甲小组制作工艺水平更高 B.乙小组制作工艺水平更高C.甲、乙小组制作工艺水平相当 D.无法判断哪个小组制作工艺水平更高解：设fx=sinxx,令gx=xcosx−sinx,x∈(0,π2),g'x=−xsinx<0,所以gx在(0,所以3sin13第2课时函数的极值与最大（小）值课程标准有的放矢借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值，体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系.必备知识温故知新【教材梳理】1.函数的极值（1）函数极值的定义：如图，函数y=fx在点x=a的函数值fa比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'a=0；而且在点x=a附近的左侧f'x<0，右侧f'x>0.类似地，函数y=fx在点x=b的函数值fb比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'b=0；而且在点（2）函数在某点取得极值的必要条件和充分条件：一般地，函数y=fx在某一点的导数值为0是函数y=fx在这点取得极值的①f'x②在x=x0附近的左侧f（3）导数求极值的方法：解方程f'x=0，当f'x0=0时,如果在x0附近的左侧f'x>0，右侧f'2.函数的最大（小）值（1）函数最大（小）值的再认识.①一般地，如果在区间[a,b②若函数y=fx在[a,b]上单调递增，则fa为函数在[a,b]上的最小值，fb为函数在[a,b]（2）导数求最值的一般步骤.设函数y=fx在[a,b]①求函数y=fx②将函数y=fx的各极值与端点处的函数值f自主评价牛刀小试1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.（1）函数的极大值不一定比极小值大. （√）（2）对于可导函数fx，f'x0=0是（3）函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值. （√）（4）函数fx在a,b内单调,则函数fx在a,（5）有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值. （×）2.函数fx的导函数为f'x=−xA.最小值f0 B.最小值f−2 C.极大值f解：令f'x=−xx+2>0，令f'x=−xx+2令f'x=−xx+2即函数fx的单调递减区间为−∞,−2，所以函数fx有极大值f0.故选3.（教材题改编）已知函数y=fx的导函数yA.函数fxB.函数fxC.函数fxD.函数fx解：由y=f'x当x<x2时，y=f'x≥0，所以y=fx单调递增；当x2<x<x3时，y所以y=fx在x=x2处取得极大值，在x4.函数fx=x3−A.4 B.0 C.2 D.−解：令f'x=3x2−f0=2,f故函数fx在[−1,1]上的最小值为核心考点精准突破考点一利用导数解决函数的极值问题命题角度1求已知函数的极值例1已知函数fx=1解：fx的定义域为0,+∞，且当x>1时，f'x>0，所以函数fx在1,+∞上单调递增；当0<x<1时，f'x<【点拨】求函数fx极值的步骤：第一步，确定函数的定义域；第二步，求导函数f'x；第三步，解方程f'x=0，求出在函数定义域内的所有根；第四步，列表检验f'x在f'x变式1设函数fx=mx解：因为fx=mx当m≤0时，f'x=m−当m>0时，由f'由f'x=所以fx在−∞,lnm上单调递增，在lnm,+∞综上所述，当m≤0时，函数f当m>0时，fx命题角度2已知极值情况求参数例2已知函数fx=x3+axA.11或18 B.11 C.18 D.17或18解：因为函数fx在x=1所以f1=10，即1+a+b+a2而当a=−3，b=3时，f'x=3x−12≥0，函数在x【点拨】解含参数的极值问题要注意f'x0变式2若函数fx=x2−ax−A.−e B.−2e2 C.5解：由题意，知f'所以f'1=2−2ae=0，解得则fx在−∞,−2和1,+∞上单调递增，在−2,1上单调递减，所以fx例3若函数fx=x2−A.(12,+∞) B.(−12,0) C.(−∞,1解：因为fx有两个不同的极值点所以f'x=2x−2+a所以2x2−2x+a=0所以Δ=4−8a>0,a【点拨】已知极值点个数求参数问题，一般化为已知零点求参数问题.若函数y=fx在区间a,b变式3【多选题】（2023年新课标Ⅱ卷）若函数fx=aA.bc>0 B.ab>0 C.解：函数fx的定义域为0,+∞，f'x=ax−bx2−2cx3=ax2−bx−2cx3于是Δ=b2+8ac显然a2bc<0，即bc<0，A错误，B故选BCD.考点二利用导数解决函数的最值问题命题角度1求函数最值例4已知函数fx（1）函数y=解：根据题意，可得f'x=x2−4=(x当x∈−∞,−2，2,+∞时,f'x>0,f故当x=−2时，fx有极大值，且fx的极大值为f−2=283.当x（2）函数y=fx[答案]由（1），可知fx在区间[0,2)上单调递减，在区间(2故fx在[0,3]（3）函数ℎx=ln[答案]ℎx=lnx−x2,ℎx的定义域为0,+∞，ℎ'x=1x−2x=1−2所以当0<a<22时，ℎx当a≥22时，ℎx在(0,22)综上所述，当0<a<22当a≥22时，ℎ【点拨】不含参函数直接按步骤求最值.含参函数在区间上的最值通常有两类：一是动极值点定区间，二是定极值点动区间.这两类问题一般根据区间与极值点的位置关系来分类讨论.变式4（1）[2022年全国乙卷]函数fx=cosx+A.−π2，π2 B.−3π2，π2 C.−解：f'x=−sinx+sinx+x+1cosx=x+1cosx,在区间(0,π2)和(3π2,2π)上，cosx>0,f'x>0,即fx单调递增（2）已知函数fx=mln解：gx=f①当m≤0时,g'x<0在−1,+∞②当m>0时,若x∈−1,m−1,则g'x>0,g所以gx在x=m−命题角度2已知最值情况求参数范围例5若函数fx=13x3+x解：由题意，得f'x=x2+2x=xx+2，故fx令13x3+x2−23=−23，得x=0【点拨】由于所给区间是开区间，故最值点不可能在区间端点处取得，进而分析极值点与区间端点的关系即可.变式5已知函数fx=ex+x2A.−e,1 B.1−e,1 C.−e,+∞解：由fx=ex+x2+a−2x+1，得f'x=ex+2x+a−2.故选A.考点三利用导数解决实际问题例6周长为3cm的矩形，绕一条边恰好旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为π2解：设矩形的长为xcm.因为矩形的周长为3cm，所以宽为32−xcm，其中0则圆柱的体积V=π则V'=−当V'>0，则0<x<1；即V=πx232−x在0,1上单调递增，在(1,32)上单调递减.故当x【点拨】函数的优化问题即实际问题中的最值问题，其一般解题步骤为：一设，设出自变量、因变量；二列，列出函数关系式，并写出定义域；三解，解出函数的最值，一般常用导数求解；四答，回答实际问题.变式6某厂生产某种产品x件的总成本Cx=1200解：设产品单价为m.因为产品单价的平方与产品件数x成反比，所以m2=kx（其中又生产100件这样的产品单价为50万元，所以502=k100记生产x件产品时，总利润为fx则fx=mx−Cx由f'x>0得0<x<故函数fx在0,225上单调递增，在225因此,当x=225时，fx取最大值.即产量定为225件时，课时作业知能提升【巩固强化】1.若函数fx,gx的导函数的图象分别如图1,图2所示，则fx与g图1图2A.4，1 B.2，2 C.4，2 D.2，1解：由题图1，可得函数fx有4个极值点，其中两个极大值点和两个极小值点.由题图2，可得函数gx只有一个极值点，且为极大值点.故选2.设函数fx=2A.x=12为fx的极大值点 B.C.x=2为fx的极大值点 D.x解：f'x=−2x2+1x=x−2x2.令f'x=0，得x=2.当x>2时，故选D.3.函数fx=1A.最大值为1 B.最小值为1 C.最大值为e D.最小值为e解：f'x=−ex+1−xex=−xex.当x<0时，f'x>0，当x>0时，f'x<04.函数fx=2x3A.25,−2 B.50,14 C.50,−2 解：f'x=6x2+18x.当x∈[−4,−3)或x∈(0,2]时，f'x>0，函数为增函数；当x∈−3,0时5.函数fx=x2sinA.π24，−2π B.π24，−π24 解：f'当x∈(−π2,π2)时，f'x>0，fx单调递增；当因为fπ2=π24，f−π2=−π24，6.[2022年全国甲卷]当x=1时，函数fx=alnA.−1 B.−12 C.解：由题意，知f1=b=−2，则fx=alnx−2x.因为f'x=ax+2x2=ax+2x2，f'1=a+2=0，7.已知函数fx=x3+3mx+A.{m|m≥0} B.{解：因为fx=x3+3mx+1，所以f'x=3x2+m.因为fx在0,18.已知函数fx（1）当a=0时，直线y=kx为函数解：因为fx=ln设切点为Px0,由②③,得y0=1，代入①，得x（2）求函数fx在区间[1,[答案]f'x=因为x∈[1,2]，所以当a≤1时，f'当1<a<2时，令所以fx在[1,a]当a≥2时，f'x≤0所以ga综上，g【综合运用】9.若函数fx=aA.a>0,b>0 B.a>0,b<0 C.解：f'对于A，当a>0,b>0时，f'x>0，则fx在0,+∞上单调递增，所以f对于B，当a>0,b<0时，由f'x=0，得x=−ab.当0<x<−ab时，f'x>0；当所以当x=−ab时，fx取得极大值.同理，选项C有极小值10.[2023年新课标Ⅱ卷]已知函数fx=aex−lnA.e2 B.e C.e−1解：依题意，可知f'x=aex−1x≥0在1,2上恒成立，显然a>0，所以xex≥1a.设gx=xex,x∈1,211.直线x=aa>0分别与曲线y=2x+1，yA.1 B.2 C.2 D.3解：令fx=2x+1−x当0<x<1时，f'x<0，函数fx单调递减；当x>故fx易知点Aa,2a+1，因此，AB的最小值为2.故选C.12.已知函数fx（1）若0是函数fx的极小值点，求实数a解：由题意，得f'因为0是函数fx的极小值点，所以f'0当a=1时，f'x=令ℎ'x>0，得x>−2，则f'x在−2,+∞上单调递增.因为f'所以fx在−2,0上单调递减，在0,+∞上单调递增，故x所以实数a的值为1.（2）若fx在R上单调递增，求实数a[答案]若fx在R上单调递增，则f'x≥0恒成立，即a设gx=1令g'x>0,得x>−所以gx在−∞,−2上单调递减，在−2,+∞上单调递增，则所以实数a的取值范围为(−∞，−1【拓广探索】13.【多选题】已知函数fx=xA.fxB.fxC.fxD.不等式fx+2x解：f'x=2x−2+x2−2xex=x2−2ex.由f'x=0,得x=±2.当对于A，fx在x=−2处取得极大值，在x=2处取得极小值，则fx有两个极值点对于B，f0=f2=0，当x∈−∞,0时，fx=x(x−2对于C，由选项A，知fx在x=2取得极小值，且极小值为f2=21−2e2<0.又当x∈−∞,0对于D，当x<0时，fx+2x=x2−2xex+2x<0，等价于不等式e−x+x2−1>0恒成立.令gx=e−x+阶段集训3范围：3.1导数的概念、意义及运算～3.2导数在研究函数中的应用一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若函数fx=sinxA.1 B.0 C.12 D.解：f'x=x+2.已知函数fx=x3−A.−1 B.1 C.−2解：f'x=3x2−2f'3.已知函数fx=12xA.−3,1 B.0,1 解：由题设，知f'x=x−3x+2=x2+2x−3x，定义域为0,+∞.令f4.已知函数fx，其导函数f'xA.fx有2个极值点 B.fx在C.fx有极大值，没有极小值 D.fx在解：由题图，得fx在−∞,3上单调递增，在3,+∞上单调递减，所以fx有一个极大值，没有极小值，A，B，D错误，C5.函数fx=xA.1 B.e−12 C.e−解：f'x=x−1x当0<x<1时，f'x<0，fx单调递减；当故fx的极小值为f1=6.若函数fx=xlnx−A.−∞,2 B.(−∞,2] C.2解：f'x=1+lnx−a.因为fx在[e,+∞)上单调递增，所以f'x≥0在[e,+∞)上恒成立.而x7.过原点的直线与函数fx=cosx在[0,π]上的图象切于点A.−2 B.−1 C.3 解：切点为x0,cosx0，f'x=−sinx,则fx0tan8.设fx为奇函数，且当x≥0时，fx=A.−∞,1 B.(−∞,13) C.(13解：当x>0时，f'x=ex+sin因为函数fx为奇函数，所以fx在R由f2x−1+因为fx在R上单调递增，所以2x−1>2−二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的有（BC）A.sinB.已知函数fx在R上可导，且f'C.一质点的运动方程为s=t2D.若y=f解：sinπ4'=0limΔ=2=2f'1=s'=2t，所以该质点在t=2时的瞬时速度是2y'=f'x故选BC.10.已知函数fx=x3+A.a2+bC.ab的最大值为2 D.a+解：f'因为函数fx在x=1处取得极值，所以f'1=3f2=8+ab≤a2+a+b2=a2+b2+2ab≤4,所以a+所以a+b的最大值为2,D正确.故选11.若直线y=3x+m是曲线y=A.m=−2 B.m=−1 C.解：设直线y=3x+m与曲线y=x3x>0对于函数y=x3x>0，y'=3x2，则3对于函数y=−x2则−2b+n=所以−b又b>0，所以b=2，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知fx=sin2x解：f'x=2cos13.曲线y=2lnx+解：y'=2x+2x,x>0，y'14.已知函数fx=2x3−ax2+b，若存在a，b使得fx在区间[解：f'x=6x2−2ax=2x3x−a.不妨令a3>1，则f'x<0在区间[0,1]上恒成立，f专题突破5三次函数的图象与性质三次函数问题，既是高考常考问题，也是研究导数相关零点、切线及不等式等问题的基础.设三次函数fx=ax3+bx2+cx+da≠0，则（1）a>性质Δ>0Δ≤0图象单调性在−∞,x1，在x1在R上单调递增极值点个数20对称中心(−b3a,（2）a<性质Δ>0Δ≤0图象单调性在x1,x2上单调递增；在在R上单调递减极值点个数20对称中心(−b3a,核心考点精准突破考点一三次函数的图象问题例1已知函数fx=ax3A. B. C. D.解：由选项，知当a>0时，y=fx的图象是“N字型”曲线.观察B，D，由于此时f0当a<0时，y=fx的图象是“反N字型”曲线.观察A，C，由于此时f0设gx=ax3+bx，因为fx=gx+c，所以fx的图象是gx的图象向上或向下平移得到的【点拨】当三次函数有两个极值点Δ>0时，若a>0，则三次函数曲线形状为“N字型”；若a变式1[2021年全国乙卷]设a≠0，若x=a为函数A.a<b B.a>b C.解：若a=b，则fx=ax−a3所以fx有x=a和x=b两个不同零点，且在x=a附近是不变号，在x=b附近是变号的.依题意，x=当a<0时，由x>b时，fx≤0，画出fx的图象如图1所示,图1当a>0时，由x>b时，fx>0，画出fx的图象如图2所示,图2综上所述，ab>a2成立考点二三次函数的对称性问题例2对于三次函数fx定义：设f″x是函数y=fx的导数y=f'x已知fx（1）求函数fx的“拐点”A解：依题意，得f'x=令f″x=0，即又f1=2，所以fx（2）检验函数fx的图象是否关于“拐点”A[答案]由（1），知“拐点”A1而f1则fx的图象关于“拐点”A一般地，三次函数fx=ax3+bx2【点拨】三次函数fx的图象一定是中心对称图形，对称中心横坐标即其导函数f'x变式2已知函数y=x3+3x2+x的图象C上存在一定点P满足：若过点P的直线l与曲线C交于不同于P解：当点P是图象C的对称中心时，y1+y'=设gx=3x令g'x=6x当x=−1时，y=1.所以图象C的对称中心是−考点三三次函数的零点问题例3已知函数fx=x3−3x2−A.−24,8 B.(−24,1解：f'x=3x2−6x−9当x变化时，f'x与fxx[−2−1−13(3f'+0-0+fx↗极大值↘极小值↗故当x=3时，函数fx又f−2=−23−当x=−1时，函数fx又f5=53−作函数fx在[−由图象，可知当y∈[1,8)因此当m∈[1,8)故m的取值范围为[1,8)【点拨】三次函数零点问题同样需要先借助导数画出大致图象再判断，通常可以转化为一元二次方程根的分布问题，再借助二次函数或韦达定理来解决.变式3已知函数fx=x3−A.2−13 B.213 解：f'当x<−a或x>a时，f'x>0；当−a<x<a时，f'x<0当x=−a时，fx取得极大值f−a=2a3+因为fx恰有两个零点，所以−2a3故选A.考点四三次函数的切线问题例4已知函数fx（1）求曲线y=fx解：f'切线方程为y−ft（2）设常数a>0，如果过点Pa,m[答案]由题意，知关于t的方程m=3t2令gt=−2易知gt在−∞,0上单调递减，在0,a则gt的极小值为g0=−a，极大值为即m的取值范围是−a【点拨】利用导数的几何意义列出切线方程.三次函数切线条数问题本质上是零点个数判断问题.变式4已知函数fx（1）求曲线y=fx解：f'x=3x2−6x+整理得y=（2）设m>1，若过点Qm,n证明：构造函数gt=3t2−6t+1mg't=−6t−1t−m，易得函数gt在−∞,1上单调递减，在1所以g1<0,g课时作业知能提升1.已知曲线C：y=x3−3x2+3xA.0 B.1 C.2 D.3解：y'=3x2−6x+3.令x=1，则y'|x=1=0，所以切线l的方程为y=0，也即x轴.由y'=3x2−2.已知三次函数图象的对称中心的横坐标为其二阶导函数的零点．若fx=x3−A.0 B.4 C.2 D.−解：f'x=3x2−6x+3,f″x=6x−6.令f″x=3.【多选题】在同一直角坐标系中，函数fx=x2−A. B. C. D.解：由已知，得fx=x函数fx的图象为开口向上的抛物线，与x轴在x=0和xgx的图象是“N字型”曲线，当a≠1时，有x=1当a=1时，gx单调递增，且gx的图象与y对于A，由二次函数图象，知a>0，但三次函数的图象与y轴的交点在x轴上方，故AB项图中两条曲线符合当a=1C项图中两条曲线符合当a<0D项图中两条曲线符合当a=0故选BCD.4.[2023年全国乙卷]函数fx=x3+A.−∞,−2 B.−∞,−3 C.−4解：由题意，知f'x=3x2+a.若fx存在3个零点令f'x=0，解得x当x∈(−∞,−−a3)∪(−a3,+∞)时，f'故fx的极大值为f−−a若fx存在3个零点，则f−−a3>0,f5.[2022年新课标Ⅰ卷]【多选题】已知函数fx=xA.fx有两个极值点 B.fC.点0,1是曲线y=fx的对称中心 解：f'x=3x2−1.令f'x>0,得x>33或x<−33；令f'x<0，得−33<x<33.因为f−33=1+239>0，f33=1−239>0，f−2=−5<0，所以函数fx在(−2,−33)上有一个零点，在[−令ℎx=x3−x，该函数的定义域为R，ℎ−x=−x3−−x=−x3+x=−ℎx，则ℎx是奇函数，0,0令f'x=3x2−1=2，可得x=±1.又f1=f−1=1，所以当切点为1,16.已知函数fx=13x3−12ax（1）求切线l的倾斜角α的取值范围；解：由fx+f解得a=0，所以f'x=显然α≠π2,所以α∈[0即切线l的倾斜角α的取值范围是[0，π2)∪[（2）若过点P1,mm≠[答案]设曲线y=fx与过点P1,m则切线的斜率为k=x0因为点P1,所以m−13由题意，知该方程有三个不同的解.设gx=−23x3+x2+当x<0或x>1时，g'x所以gx在−∞,0和1,+∞上单调递减，在故gx的极小值为g0=1，极大值为所以实数m的取值范围是(1,4专题突破6函数中的构造问题函数中的构造问题是高考热点问题，需要考生根据已知等式（或不等式）结构特征，消除差异抓住共性，构造新函数，解决相关比较大小、解不等式、最值及恒成立等问题.核心考点精准突破考点一构造函数比较大小例1设a=37，b=lnA.b>c>a B.a>c解：令fx=x−sinx，0<x<π2，则f'x=1−cosx>显然b=ln所以b>故选D.【点拨】利用导数比较大小,有时需要利用题目条件构造辅助函数,把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小的问题.变式1已知a=ln1.03，b=lnA.a>b>c B.b>a解：ln1.03>ln构造函数gx当x>1时，所以gx在1,+∞上单调递增，所以g1.02>综上，a>b>考点二构造抽象函数解不等式例2（1）已知定义在R上的函数fx满足f1=1，且f'A.−∞,1 B.C.−∞,−1∪1解：设gx=fx因为f'x>所以对任意x∈R，都有g'x>0又g1=f1−12−12=0，故选A.（2）定义在−∞,0∪0,+∞上的函数y=fx的导函数记为f'x，若y=fA.−∞,−1∪1C.−∞,−1∪0解：设gx=xfx,x当x>0时，fx+xf'x<0成立，又因为y=fx为奇函数，所以f−x=−fx.则g−x=−xf−因为f−1=0，所以f1当x>0时，由fx<0，可得当x<0时，由fx<0，可得gx=综上所述，不等式fx<0的解集是−【点拨】构造函数解抽象不等式有以下几种常见类型.①对于不等式f'x>kk≠0,构造函数gx=fx−kx+b.②对于不等式xf'x+fx>0,构造函数变式2（1）已知定义在实数集R上的函数fx满足f1=3，且fx的导数f'x在R上恒有解：令gx=fx−2x−1，所以g'x=f'x−2<0，所以g（2）设函数f'x是奇函数fxx∈R的导函数，f−1=0，当A.−∞,−1∪0C.−∞,−1∪−解：令Fx=fxx.因为fx为奇函数，所以Fx为偶函数.由于F'x=xf'x−fxx2，当x>0时，xf'x−fx<0，所以Fx=fxx考点三同构法构造函数例3已知a，b为正数，lna−lnA.a>2b B.a<2b C.解：由题意，得lna+3a<ln2b+32b．令fx=lnx+3xx>0【点拨】同构式一般指结构相同、变量不同的式子.要善于观察式子结构，通过移项、变形等变成结构一致，然后构造函数求解.变式3【多选题】若0<x1A.x2exC.ex2−解：构造函数fx=exx0<因为0<x1<x2<1，所以ex2x2构造函数ℎx=ex−lnx0<x<1而ℎ'1=e−1>0，当x>0，且x→0所以ℎx在0,x0上单调递减，在x0,1构造函数gx=ex+lnx0<x<1，易知gx在0,1上单调递增.因为课时作业知能提升1.已知a=ln510，bA.b>c>a B.c>b解：令fx=lnx2x，则f'x=1−lnx2x2.当0<x<e时，f'x>0；当x>e时，f'x<02.[2020年全国Ⅱ卷]若2x−2A.lny−x+1C.lnx−y>解：由2x−2y<3−x−3−y，得2x−3−x<2y−3−y.令ft=2t−3−t.因为y=2x为R上的增函数，y=3−x为R上的减函数，所以ft为3.fx为定义在R上的可导函数，且f'x>fA.fa<eaf0 B.f解：令gx则g'所以gx在R上为增函数.又因为a所以ga>g0，即fae4.设a>0，b>0，A.若ea+2a=eb+C.若ea−2a=eb−解：因为a>0，b>0，所以eb+3b=eb+2b+b>eb+ea−2a=eb−3b=eb−2b−b<eb5.已知a=2−ln2,bA.c>a>b B.c>b解：令fx=ex−x，则f'x=ex−1，当x>0时，f又12=lne12<ln26.fx,gx分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f'xgA.−3,0C.−∞,−3∪3解：令ℎx=fxgx.因为fx,gx分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以ℎ−因为当x<0时，ℎ'x=f'xgx+fxg因为g3=g−3=0，所以ℎ3=f3g3=0，故选D.专题突破7导数的综合应用核心考点精准突破考点一利用导数证明不等式例1[2023年新课标Ⅱ卷节选]证明：当0<x<证明：令Fx=x−sinx,则Fx在0,1即x>sinx令Gx=sin则G'x=令gx=G则g'x=2−sin则gx在0,1所以G'x>0则Gx在0,1所以sinx>综上,当0<x<1【点拨】①证明fx>gx，可以构造函数变式1[2023年新课标Ⅰ卷]已知函数fx（1）讨论fx解：fx的定义域为R，f当a≤0时，由于ex>0，则aex≤0，故当a>0时，令f'当x<−lna时，f'x<0，则fx在−∞,−lna上单调递减；当x综上,当a≤0时，fx在R上单调递减;当a>0时，fx在（2）证明：当a>0时，证明:由（1）得，fx要证fx即证1+即证a2−设ga则g'令g'a<0，得0<所以ga在(0,22)上单调递减，在(22,+∞)所以当a>0时，考点二利用导数研究恒（能）成立问题例2已知函数fx=x（1）求函数fx解：fx的定义域为0,+∞,令f'x>0，得x>所以fx在(1e,+∞)上单调递增，在(0,1e)上单调递减.所以当x（2）若对任意x∈0,+∞，不等式f[答案]对任意x∈0,+∞,fx即−a<3ln令ℎx=3令ℎ'x<0，得0<则ℎx在0,1上单调递减，在所以ℎxmin=ℎ1故a的取值范围为−5【点拨】利用导数解决不等式的恒成立或有解问题的主要策略有以下几种.①构造函数，利用导数求出最值，进而求出参数的取值范围.②分离变量,构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.有些不易分参的也可采用“同构”技巧.③分类讨论，分界点主要考虑端点值、极值点、不等式公共取等条件及常见常数（如0，1，e,e2变式2已知函数fx=lnx+a1解：若∃x0∈0,+∞，使得fx0令gx=2g'设ℎx=1x−lnx−1又ℎ1=0，则当x∈0,1所以函数gx在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，所以a≤1，即实数a的取值范围是考点三利用导数研究函数零点例3已知函数fx=x解：f'当x<0时，f'x>0所以函数fx在−∞,0上单调递增,在0,+∞上单调递减.所以当x=0当a<1时，f0=当a=1时，f0=当a>1时，f0令fa=2a所以fa在1,+∞上单调递减,所以所以fx在−∞,0和0,+∞上各有一个零点，即函数综上，当a<1时，函数fx无零点；当a=1时，函数fx有1个零点；当【点拨】由于利用零点存在定理时，一般不使用极限语言，故常常需要“取点”，可借助ex≥x变式3已知gx=2lnx−x2解：g'易知x>0，则当g'x当1e<x<1时，g'所以，函数gx在[1e,1)故gx在x=1又g1e=ge−g又gx在[1e所以g1=m−因此，实数m的取值范围是(1,2课外阅读·洛必达法则在高中，涉及到求参数的取值范围时，分离参数后，有时会出现分子与分母之比为两个无穷小之比、两个无穷大之比或两个趋近于零的数之比.这个比值的极限可能是定值也可能不存在，这时如果我们要计算出它们的比值，就需要运用到洛必达法则.洛必达法则的定义:在一定条件下，通过分子、分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法，称为洛必达法则.需要说明的是，洛必达法则在解答题中直接使用一般至少会扣步骤分，属于考场中时间紧迫时的一种抢分技巧.1.设函数fx=ex−1−解：当x=0时，当x>0时，fx令gx则g'令ℎx=x令φx=ℎ所以ℎ'x在0,+∞所以ℎx在0,+∞上单调递增，所以g'x>0，由洛必达法则，知limx→0+e综上，a的取值范围为(−∞,122.已知函数fx=xex−1解：当x>0时，fx≥0令ℎx=e令kx=exx−1所以kx>k0=0，所以由洛必达法则，知limx→0所以a≤1.故实数a的取值范围是规范答题——导数解答题【范例】[2022年新课标Ⅰ卷第22题]（12分）已知函数fx=e（1）求a；解：fx的定义域为R，f若a≤0，则f'x>0当x<lna时，f'x<0当x>lna时，f'x>0故fxmin=flngx的定义域为0,+∞，当0<x<1a时，g'x<当x>1a时，g'x>0，故故gxmin=g1a因为fx和gx所以1−ln1a=a设ℎa=a−1故ℎa在0,+∞上单调递减，而故ℎa=0的唯一解为a=1，即综上，a=1.（6分）（通过最值相等列关于a的等式，通过构造函数利用单调性求（2）证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=证明：由（1）,知a=函数fx在−∞,0上单调递减，在0函数gx在0,1上单调递减，在设ux则u'当x≥1时，所以函数ux在1,+∞因为u1=e−2>0，所以当即fx−gx>所以x≥1时，fx>gx.（7分）（构造函数u因为f0=g1=1，函数fx在0,+∞上单调递增，函数gx在0,1上单调递减，所以函数fx与函数gx由图象，知当直线y=b与两条曲线y=fx直线y=b必经过点Mm因为fm所以em−m=m−lnm，即em−令fx=b=fm,得e由0<m<令gx=b=fm,得x由0<m<所以当直线y=b与两条曲线y=fx从左到右的三个交点的横坐标依次为lnm，m，em.（11分）因为em−2m所以lnm，m，所以存在直线y=b，其与两条曲线y=fx和y【拆解】参考赋分难易审题要点考查内容第一问6分中上①总体看，题目为指数型函数与对数型函数的最值及图象交点问题，实际考查利用导数研究函数零点问题.②第一问是根据函数单调性求最值问题，根据最小值相等可求a.注意分类讨论.③第二问是构造新函数利用零点个数解决问题.根据（1）可得当b>1时，ex−x=b的解的个数、x−lnx=b的解的个数均为2，构建新函数u在基础性的层次上考查数学运算学科素养，和运用导数判断函数单调性并求最值等必备知识.第二问6分难在综合性和应用性的层次上考查了理性思维、数学应用、逻辑推理、数学抽象及数学运算等学科素养，转化与化归、函数与方程、数形结合等数学思想方法，运算求解、推理论证等关键能力，以及导数在研究函数性质中的应用及等差数列等必备知识.【总结提升】通过上述对题目的拆解及详答展示可以看出，解第一问的关键在于基础求最值问题的熟练掌握与准确计算，解第二问的关键在于仔细审题，分析fx与gx的图象特征，发现直线y=b与课时作业知能提升1.已知函数fx（1）求函数fx的图象在点1解：由题意，f1=e−1，f切线方程为y−e−1（2）求证：fx证明：设gx=fx−当x∈0,1时，g'x<0，即gx在0,1上单调递减；当所以gx≥g