1.4.2第2课时　用空间向量研究夹角问题 导学案正文

第2课时用空间向量研究夹角问题【学习目标】1.知道两个相交平面夹角的含义,借助直线的方向向量和平面的法向量,能求直线与直线、直线与平面所成的角,平面与平面的夹角.2.能分析和解决一些立体几何中的角度问题,体会向量方法与综合几何方法的共性和差异,体会直线的方向向量和平面的法向量的作用,感悟向量是研究几何问题的有效工具.◆知识点空间角设直线l1,l2的方向向量分别为u,v,平面α,β的法向量分别为n1,n2,则空间图形范围向量法几何法异面直线所成的角0°<θ≤90°cosθ=|cos<u,v>|=

平移交于一点,解三角形直线与平面所成的角

sinθ=|cos<u,n1>|=

过直线上一点作平面的垂线,解三角形平面与平面的夹角

cosθ=|cos<n1,n2>|=

作两平面的垂线,解三角形【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)异面直线所成的角与其方向向量的夹角相等. ()(2)若平面α的法向量为u,直线l的方向向量为v,直线l与平面α所成的角为θ,则cosθ=|u·v|(3)二面角的大小等于平面与平面的夹角. ()◆探究点一异面直线所成角的求法例1如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC是正三角形,点A1在平面ABC上的射影为AC的中点D,侧面AA1C1C是边长为2的菱形,求异面直线DB1与BC所成角的余弦值.变式[2024·重庆巴渝学校高二期中]如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC=4,Q为PC上一点,且PQ=3QC,则异面直线AC与BQ所成的角的大小为 ()A.π6 B.C.5π6 D.[素养小结]用向量法求异面直线所成的角时,常在两异面直线a与b上分别取点A,B和C,D,则AB与CD分别为直线a,b的方向向量,若异面直线a,b所成的角为θ,则cosθ=|AB运用向量法常有两种途径:①基底法:在一些不适合建立空间直角坐标系的题型中,经常采用取基底的方法.在由公式cos<a,b>=a·b|a||b|求向量a,b的夹角时,关键是求出a·b,|a|与|b|,一般是把a②坐标法:根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系,写出相关各点的坐标,利用坐标法求异面直线所成的角,避免了传统找角或作角的步骤,使过程变得简单.◆探究点二求直线和平面所成的角例2[2024·浙江浙南名校联盟高二期中]已知三棱柱ABC-A1B1C1满足AC=BC=1,∠ACB=90°,∠A1AC=60°,顶点A1在平面ABC上的射影为点B.(1)证明:AC⊥平面A1BC;(2)若点M为A1C1的中点,点N为BC的中点,求直线CM与平面ANB1所成角的正弦值.变式如图,在四棱锥P-ABCD中,PA=PD=2,∠APD=90°,PB=22,底面ABCD是菱形,O是AD的中点,∠DAB=60°.(1)证明:平面PAD⊥平面POB;(2)求直线PB与平面PDC所成角的正弦值.[素养小结]向量法求直线与平面所成的角的步骤:①分析图形中的位置关系,建立空间直角坐标系;②求出直线的方向向量s和平面的法向量n;③求出夹角<s,n>;④判断直线和平面所成的角θ和<s,n>的关系,求出角θ.拓展如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=2,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,PF=12(1)求证:PB∥平面ACF.(2)在棱PB上是否存在一点H,使得CH与平面ACF所成角的正弦值为66?若存在,求出线段PH的长度;若不存在,请说明理由◆探究点三求平面与平面的夹角例3如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC是边长为2的正三角形,O为AB的中点.(1)证明:CO⊥平面ABB1A1;(2)若BB1=2,求平面A1BC1与平面ABC1夹角的余弦值.变式如图所示,在三棱锥P-ABC中,△PAC为等腰直角三角形,∠APC=90°,△ABC为正三角形,AC=2.(1)证明:PB⊥AC;(2)若平面PAC⊥平面ABC,求平面APC与平面PCB的夹角的余弦值.[素养小结]设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两