上海市控江中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试卷

2024-2025学年上海市控江中学高三年级上学期9月月考数学试卷2024.9一､填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.1.准线方程是的抛物线的标准方程为__________.2.若集合，则__________.3.函数的最小正周期为__________.4.已知事件与事件互斥，且，则__________.5.在四面体中，若底面的一个法向量，且，则定点到底面的距离为__________.6.计算：__________.7.一工厂生产了某种产品16800件，他们来自甲､乙､丙3条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样.已知甲､乙､丙3条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了__________件产品.8.已知向量，向量，则向量在向量上的投影为__________.9.已知圆锥的母线与底面所成的角为，体积为，则圆锥的底面半径为__________.10.已知函数是定义在上的奇函数，当时，（是常数），则__________.11.已知复平面上一个动点对应复数，若，其中是虚数单位，则向量扫过的面积为__________.12.设是由正整数组成且项数为的数列，满足当，都有，已知，则数列任意相邻两项的差的绝对值不超过1，若对于中任意序数不同的两项和，在剩下的项中总存在序数不同的两项和，使得，则的最小值为__________.二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.如果，则下列不等式中一定成立的是（）A.B.C.D.14.函数在定义域上是（）A.严格增的奇函数B.严格增的偶函数C.严格减的奇函数D.严格减的偶函数15.教材在推导向量的数量积的坐标表示公式“（其中，）”的过程中，运用了以下哪些结论作为推理的依据（）①向量坐标的定义；②向量数量积的定义；③向量数量积的交换律；④向量数量积对数乘的结合律；⑤向量数量积对加法的分配律.A.①③④B.②④⑤C.①②③⑤D.①②③④⑤16.已知棱长均为1的正棱柱有个顶点，从中任取两个顶点作为向量的起点与终点，设底面的一条棱为.若集合，则当中的元素个数最少时，的值为（）A.3B.4C.6D.8三､解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）记，其中为实常数.（1）求函数的最小正周期；（2）若函数的图像经过点，求该函数在区间上的最大值和最小值.18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）甲､乙两人每下一盘棋，甲获胜的概率是0.4，甲不输的概率为0.9.（1）若甲､乙两人下一盘棋，求他们下成和棋的概率；（2）若甲､乙两人连下两盘棋，假设两盘棋之间的胜负互不影响，求甲至少获胜一盘的概率.19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）如图，已知和都是直角梯形，，，二面角的平面角为.设分别为的中点.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知双曲线的左､右焦点分别为为双曲线右支上一点.（1）求双曲线的离心率；（2）设过点和的直线与双曲线的右支有另一交点为，求的取值范围；（3）过点分别作双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为两点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知函数，其中.（1）当时，判断的单调性；（2）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；（3）设函数，当时，若，任意，总有成立，求实数的取值范围.2024—2025学年上海市控江中学高三年级上学期9月月考数学试卷2024.9一､填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7—12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.1.【答案】【解析】抛物线的定义.2.【答案】【解析】解得，所以.3.【答案】2【解析】.4.【答案】0.7【解析】因为互斥，所以.5.【答案】【解析】.6.【答案】2【解析】.7.【答案】5600【解析】设甲､乙､丙三条生产线分别生产件产品，则，解得.8.【答案】【解析】由公式可得向量在向量上的投影为.9.【答案】【解析】设底面半径为，因为圆锥的母线与底面所成的角为，所以圆锥的高所以，解得.10.【答案】【解析】，所以.11.【答案】【解析】由题意可得，对应的区域是以为圆心，2为半径圆以及内部构成的圆面，而向量扫过的面除了圆面以外还包括圆外的一部分，如图所示，因此扫过的面积等于，与圆相切于两点，所以，则，且，所以，所以扫过的面积等于.12.【答案】5454【解析】因为数列任意相邻两项的差的绝对值不超过，所以，又是由正整数组成且项数为的增数列，所以或，当时，，此时，这与在剩下的项中总存在序数不同的两项和，使得矛盾，所以，类似的，必有，由得前6项任意两项之和小于等于3时，均符合，要最小，则每项尽可能小，且值要尽量小，则，同理，，当中间各项为公差为1的等差数列时，可使得值最小，且满足已知条件.由对称性得最后6项为，则的最小值.二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.【答案】D【解析】因为为严格增函数，所以，故选D.14.【答案】A【解析】令，则，所以为奇函数，又，为严格增函数，故选A.15.【答案】D【解析】向量的坐标表示用了①，运算用了②，用了③的展开运算用了④⑤，其中为轴和轴的单位向量，故选D.16.【答案】B【解析】如图，设所在的直线为轴，过点且与垂直的直线为轴，过点且与平面垂直的直线为，建立如图所示的空间直角坐标系.则，得，设，则，因为该几何体为正棱柱，所以上下底面的各对应点的横坐标相同，当时，该几何体为正三棱柱，做出底面的示意图（图一）则，所以，即，共5个元素当，该几何体为正方体，做出其底面的示意图（图二），则，所以，即，共3个元素，当，该几何体为正六棱柱，作出其底面的示意图（图三），则，所以，即，共9个元素，当时，该几何体为正八棱柱，做出其底面的示意图（图四），则，所以，即，共9个元素，故选B.三､解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.【答案】（1）；（2）最大值1，最小值【解析】（1）所以，函数的最小正周期.（2）.令，则.当或，即或时，.当，即时，.18.【答案】（1）0.5；（2）0.64【解析】（1）用表示甲获胜，用表示和棋，用表示甲不输.所以.因为和棋与获胜是互斥的，由概率的可加性，得.由题意，，因此.所以，甲､乙两人下一盘棋，他们下成和棋的概率为0.5（2）用分别表示甲在第局获胜，用分别表示甲在第局平，用分别表示甲在第局输.则.用表示甲､乙两人连下两盘棋，甲至少获胜一盘.则包含下列5种情况：，则.所以，若甲､乙两人连下两盘棋，甲至少获胜一盘的概率为0.64.19.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）过点分别做直线的垂线并分别交于点.四边形和都是直角梯形，，，由平面几何知识易知，，则四边形和四边形是矩形，在和，，且，平面是二面角的平面角，则，是正三角形，由平面，得平面平面，是的中点，，又平面平面，可得，而平面，而平面.（2）因为平面，过点做平行线，所以以点为原点，､所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，设，则，设平面的法向量为由，得，取，设直线与平面所成角为，20.【答案】（1）2；（2）；（3）不存在，见解析【解析】（1）由题，，因此双曲线的离心率为（2）法一：当直线斜率不存在时，设直线为，则得，此时当直线斜率存在时，设直线方程为：，设则联立方程得：.则由题意得，因而的取值范围为法二：由题意，直线不与轴重合，因而设方程为：，设则联立方程得：由题意，直线与双曲线恒有交点，且交点均在右支上，则，由，得，因而的取值范围为（3）由题，渐近线方程为，设点则（点到直线距离公式给2分，绝对值转化2分）因而不存在点，使得成