广西百色市平果市铝城中学2025届高三上学期开学收心考试 数学试卷含答案

2024年高三上学期开学收心数学考试卷姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数的零点为（

）A． B．2 C． D．2．“”是“为第一象限角”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．在中，已知，且的周长为16，则顶点的轨迹方程是（）A． B．C． D．4．在正方体中，P为的中点，E为的中点，F为的中点，O为EF的中点，直线PE交直线于点Q，直线PF交直线于点R，则（

）A． B．C． D．5．设m，n是两条不同的直线，α、ß是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若α∥ß，mα，nß，则m∥nC．若αß=m，nα，n⊥m，则n⊥ßD．若m⊥α，m∥n，nß，则α⊥ß6．已知点在抛物线上，是抛物线的焦点，点为直线上的动点，则的最小值为（

）A．8 B． C． D．7．在《周易》中，长横“”表示阳爻，两个短横“”表示阴爻.有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有种组合方法，这便是《系辞传》所说“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”.有放回地取阳爻和阴爻一次有2种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四种情况，有放回地取阳爻和阴爻三次，八种情况.所谓的“算卦”，就是两个八卦的叠合，即共有放回地取阳爻和阴爻六次，得到六爻，然后对应不同的解析.在一次所谓“算卦”中得到六爻，这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是（

）A． B． C． D． E．均不是8．已知，不等式，对满足当且时恒成立，则的最大值为（

）A．1 B．2 C．e D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，答案有两个选项只选一个对得3分，错选不得分；答案有三个选项只选一个对得2分，只选两个都对得4分，错选不得分．9．若正实数，满足，则下列说法正确的是（

）A．有最大值 B．有最大值C．有最小值4 D．有最小值10．下列命题正确的是（

）A．已知变量，的线性回归方程，且，则B．数据4，6，7，7，8，9，11，14，15，19的分位数为11C．已知随机变量最大，则的取值为3或4D．已知随机变量，则11．已知定义在R上的函数满足，且为奇函数，，．下列说法正确的是（

）A．3是函数的一个周期B．函数的图象关于直线对称C．函数是偶函数D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知随机变量服从，若，则.13．设的内角的对边分别为，若，，，则．14．如图，在三棱锥中，为等边三角形，三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积为．四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在中，分别为角所对的边.在①；②；③这三个条件中任选一个，作出解答.（1）求角的值；（2）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围.16．某校举行“学习二十大，奋进新征程”知识竞赛，知识竞赛包含预赛和决赛.(1)下表为某10位同学预赛成绩：得分939495969798人数223111求该10位同学预赛成绩的上四分位数（第75百分位数）和平均数；(2)决赛共有编号为的5道题，学生甲按照的顺序依次作答，答对的概率依次为，各题作答互不影响，若累计答错两道题或五道题全部答完则比赛结束，记为比赛结束时学生甲已作答的题数，求的分布列和数学期望.17．已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求证：．18．如图，沿等腰直角三角形的中位线将平面折起，使得平面平面得到四棱锥.（1）求证:平面平面;（2）若，过的中点的平面与平面平行，试求平面与四棱锥各个面的交线所围成的多边形的面积与的面积之比．19．如图，一块正中间镂空的横杆放置在平面直角坐标系的轴上（横杆上镂空的凹槽与轴重合，凹槽很窄），横杆的中点与坐标原点重合.短杆的一端用铰链固定在原点处，另一短杆与短杆在处用铰链连接.当短杆沿处的栓子在横杆上镂空的凹槽内沿轴左右移动时，处装有的笔芯在平面直角坐标系上画出点运动的轨迹（连接杆可以绕固定点旋转一周，被横杆遮挡的部分忽略不计）.已知，.（1）求曲线的方程.（2）过点作直线与曲线交于，两点，试问在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.1．A【分析】由函数单调性及，求出答案.【详解】在上单调递增，又，故函数的零点为.故选：A2．B【分析】根据充分必要的定义，结合正切函数，即可判断选项.【详解】若，则，，为第一象限或第三象限角，反过来，若为第一象限角，则，所以“”是“为第一象限角”的必要不充分条件.故选：B3．C【解析】由周长得到，利用椭圆定义写出点的轨迹方程.【详解】由条件可知，，，点是以为焦点的椭圆，除去左右顶点，并且，，顶点的轨迹方程是.故选：C4．B【分析】先以，，为基底，表示出，然后解向量方程组，用表示出，，，再由，，与的关系可得.【详解】记，，，则，解得又所以整理得．故选：B5．D【分析】根据空间直线、平面间的位置关系判断．【详解】若m∥α，n∥α，可以相交、平行或异面，A错；若α∥ß，mα，nß，则可能平行也可能异面，B错；若αß=m，nα，n⊥m，如果有，则有，如果没有，则与不一定垂直，C错；若m⊥α，m∥n，则，又nß，则α⊥ß，D正确．故选：D．6．D【分析】根据题意，求得抛物线的焦点为，设点关于的对称点为，得出，得到当且仅当点为直线与的交点时，取得最小值，结合两点间距离公式，即可求解.【详解】由抛物线，可得焦点为，准线方程为，如图所示，设点关于的对称点为，则，可得，当且仅当点为直线与的交点时，取得最小值，则，即的最小值为.故选：D.7．B【分析】由题意，基本事件的总数为，这六爻恰好有三个阳爻包含基本事件数为，由此能求出这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率.【详解】在一次所谓“算卦”中得到六爻，基本事件的总数为，这六爻恰好有三个阳爻包含的基本事件数为，所以这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是.故选：B.8．C【分析】由，结合函数的单调性化简后求解，【详解】，则当时，，时，，故在单调递减，在单调递增，当且时，，得，即在且时恒成立，令，则，当时，，时，，在单调递减，在单调递增，，故的最大值为，故选：C9．ABC【分析】利用基本不等式可判断A的正误，利用A的结果可判断BC的正误，利用反例可判断D是错误的，故可得正确的选项.【详解】因为正实数a，b满足，所以，所以，故当且仅当时等号成立，故有最大值，A正确；由A可得，当且仅当时等号成立，故有最大值，B正确；，当且仅当时等号成立，故有最小值4，C正确；取，此时，所以的最小值不是，故D错误，ABC..ABC..10．ACD【分析】根据回归直线方程必过样本中心点求出，即可判断A，根据百分位数计算规则判断B，根据二项分布的概率公式及组合数的性质判断C，根据正态曲线的性质判断D.【详解】对于A：因为回归直线方程必过样本中心点，所以，解得，故A正确；对于B：因为，所以分位数为从小到大排列的第八个数，即为，故B错误；对于C：因为，所以，（且），由组合数的性质可知当或时取得最大值，则当或时最大，故C正确；对于D：因为且，所以，则，故D正确.故选：ACD11．ACD【分析】根据可得即可确定周期求解选项A；根据为奇函数，可得即可求解选项B；根据题设条件可得即可求解选项C；利用函数的周期性和函数值可求解选项D.【详解】对A，因为，所以，即，所以3是函数的一个周期，A正确；对B，因为为奇函数，所以，所以函数的图象关于点中心对称，B错误；对C，因为，所以，即，即，所以函数是偶函数，C正确；对D，，所以，所以，D正确；故选:ACD.12．##【分析】利用正态曲线的对称性可求得的值.【详解】因为，则.故答案为：.13．【分析】先根据同角三角函数关系求正弦值，再应用正弦定理即可.【详解】因为，所以，因为，所以，因为，所以．故答案为：14．【分析】以A为坐标原点建立空间坐标系，根据条件求出C坐标，因为为直角三角形，故球心O在过BD中点且与面ABD垂直的方向上，设球心O坐标，根据求得O坐标，可求得外接球的表面积.【详解】过作面于，则三棱锥的体积为，所以，取中点，连接，，因为为等边三角形，所以，又面，面，所以，又，所以面，面，所以，在中，所以以，为轴，垂直于，方向为轴，建立如图所示空间坐标系，设球心，在面的投影为，由得，所以为的外接圆圆心，所以为斜边的中点，故设由得，解得，所以，故外接球的表面积为，故答案为：【点睛】关键点点睛：此题直接求球心或半径有一定的难度，先是确定球心在过面的外心且与面垂直的线上，设球心的坐标，利用球心到各顶点的距离相等求出坐标，从而求得球的半径.15．条件选择见解析；（1）；（2）.【解析】（1）选择条件①，利用正弦定理化简已知条件，再利用两角和的正弦公式化简得，根据三角形内角性质得出且，即可求出角的值；选择条件②，根据向量的数量积公式以及三角形的面积公式，化简得出，即可求出角的值；选择条件③，根据两角和的正弦公式和辅助角公式，化简的出，从而可求出角的值；（2）根据题意，利用正弦定理边角互化得出，，再根据三角形面积公式化简得出，由为锐角三角形，求出角的范围，从而得出的面积的取值范围.【详解】解：（1）选①，由正弦定理得：，∴，∵，∴，∴，∵，∴；选②，∴，∴，∵，∴，则，∴；选③，得，∴，∴，∵，∴，∴，∴.（2）已知为锐角三角形，且，由正弦定理得：，∴，，∴，∵为锐角三角形，∴，∴，∴.【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理的边角互化、两角和的正弦公式、辅助角公式、向量的数量积的应用，考查三角形的面积公式以及三角形内角的性质，根据三角函数的性质求区间内的最值从而求出三角形的面积的取值范围是解题的关键，考查转化思想和化简运算能力.16．(1)上四分位数：96，平均数：(2)分布列答案见解析，数学期望：【分析】（1）直接利用百分位数的求解步骤即可求出上四分位数，再利用平均数的计算公式即可计算平均数；（2）找出的所有可能取值，然后分别求出其概率，即可列出分布列，进而求出数学期望.【详解】（1）因为，所以上四分位数为第八个成绩，为96；平均数为.（2）由题意可知的取值为，所以，，，，所以的分布列为：2345.17．（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）对函数求导后由几何意义求出函数在点处的切线方程（2）由化简得，由导数可知存在极小值点，即最小值，即可证明原不等式．【详解】（1）依题意，，故．有，故所求切线方程为，即．（2）由得整理得，化简得，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，即恒成立，所以恒成立．【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：（1）

恒成立；（2）恒成立．18．（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）由面面垂直性质定理及面面垂直判定定理可证；（2）由题可得平面与四棱锥各个面的交线所围成的多边形为直角梯形，求面积即得.【详解】由题设知，平面平面根据面面垂直的性质定理得平面由根据线面垂直的判定定理得平面又平面平面平面.如图，设平面与平面、平面、平面、平面的交线分别为平面平面.是的中点，故是的中点，同理为的中点，为的中点，平面与四棱锥各个面的交线所围成的多边形是四边形.由于点分别为的中点，，又，故，由知又四边形是直角梯形.，则，故四边形的面积是，的面积是平面与四棱锥各个面的交线所围成的多边形的面积与的面积之比为.19．（1）；（2）存在，定点.【分析】（1）设，点用表示，消参得到轨迹方程；（2）设直线与椭圆联立，得到根与系数关系，若存在轴上的定点满足，即得进而得，代入韦达定理整理得定点坐标【详解】（1）设，点.过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，则.由题意可得，