第21-22章综合练习题 2024-2025学年沪科版九年级数学上册

2024-2025学年沪科版九年级数学上册第一学段《第21—22章》综合练习题（附答案）一、选择题（满分30分）1．如果＝，那么的值是（）A． B． C． D．2．已知二次函数y＝（x﹣3）2+m图象上有两个不同的点A（3，a）和B（n，b），则a和b的大小关系为（）A．a≤b B．a≥b C．a＜b D．a＞b3．当a＞0，b＜0，c＞0时，下列图象有可能是抛物线y＝ax2+bx+c的是（）A．B．C．D．4．二次函数y＝3（x﹣2）2﹣5与y轴交点坐标为（）A．（0，2） B．（0，﹣5） C．（0，7） D．（0，3）5．如图，点P是双曲线y＝上一点，作PQ⊥y轴于点Q，若△OPQ的面积为3，则k的值为（）A．﹣3 B．﹣1.5 C．6 D．﹣66．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GF＝1，DF＝5，那么等于（）A．1：2 B．1：3 C．2：5 D．3：57．如图，DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式不正确的是（）A． B． C． D．8．有3个正方形按如图所示的方式放置，阴影部分的面积分别记为S1、S2，则S1：S2等于（）A．1： B．1：3 C．2：3 D．4：99．如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m．BC＝12.4m．则建筑物CD的高是（）A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D是AB上一个动点，过点D作DE∥AC交BC于点E，连接CD、AE，则AE+CD的最小值为（）A．4 B．+ C．2 D．2+2二、填空题（满分16分）11．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为．12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AD＝1，BD＝4，则CD＝．13．如图，点A、B分别是反比例函数y＝，y＝的图象上的点，∠AOB＝90°，∠ABO＝60°，则k的值为．14．在矩形ABCD中，AB＝2，BE⊥AC，垂足为E，连DE，若∠BAC＝2∠ADE，则CE的长为，的值为．三、解答题（共74分）15．若一个二次函数图象的顶点坐标为（﹣2，3），且经过点（﹣1，5），求这个二次函数的函数表达式．16．在如图所示的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，△ABC的顶点坐标分别为A（3，2），B（﹣1，﹣1），C（5，﹣1）．（1）作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，请画出这个三角形并写出点A1的坐标；（2）以点O为位似中心放大△ABC，得到△A2B2C2，使放大前后的面积之比为1：4，请画出△A2B2C2．17．已知直线y＝2x+3和双曲线y＝交于A（1，n）和B两点．（1）求n和k的值；（2）求点B的坐标，并直接写出不等式2x+3＞的解集．18．如图，△ABC中，AB＝8厘米，AC＝16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？19．2021年8月5日，在东京奥运会女子单人10米跳台跳水比赛中，中国14岁的小将全红婵以5次试跳3次满分的优异成绩为中国体育代表团夺得本届奥运会的第33枚金牌，上演了惊艳世界的“水花消失术”．“水花消失术”的一个秘诀是跳得高，水平位移少，完成翻腾动作后还有足够的入水高度．如图1是运动员其中一次满分动作的示意图，运动员从10m的跳台上起跳，此时重心在跳台上方0.88m的A处，在翻腾和落水过程中，身体重心划出一条完美的抛物线，在距离起跳点水平距离0.5m处重心达到最大高度，在距离水面还有7.28m高度的B处就完成了翻腾动作，此时运动员和起跳点的水平距离仅仅1.5m．（1）以水面为x轴，经过起跳点的铅垂线为y轴建立如图2所示的平面直角坐标系，求该抛物线的函数表达式；（2）本次跳水时运动员的弹跳高度（指重心上升的最大垂直高度）是多少米？20．AD是△ABC的中线，点E在AB上，连接CE交AD于点F．（1）当时，＝；（2）当时，＝；（3）猜想：当时，＝，并证明你的结论．21．某书店销售复习资料，每本复习资料的进价为40元．市场调查发现：若以每本50元销售，则平均每天可销售90本；在此基础上，若售价每提高1元，则平均每天少销售3本．设涨价后每本的售价为x元，书店平均每天销售这种复习资料的利润为y元．（1）求y与x的函数关系式；（2）当复习资料每本售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润为多少？22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，DE⊥BD交AB于点E．（1）求证：AD2＝AE×AB；（2）若AE＝6，AD＝，求DE的长．23．已知直线y＝2x+2与y轴交于点A，点P是直线y＝2x+2上位于第一象限的一点，以点P为顶点且经过点A的抛物线m和抛物线y＝﹣x2的形状相同．（1）求抛物线m的函数表达式；（2）点B在射线PA上，且PB＝2PA，求以P为顶点且经过点B的抛物线n的函数表达式；（3）过点B作x轴平行线交抛物线m于D、E两点，交抛物线n于点C，求BC：DE的值．

参考答案一、选择题（满分30分）1．解：∵＝，则＝，即＝．故选：A．2．解：∵x＝3时，y＝0，即a＝0，而y＝（x﹣3）2≥0，∴b＜0，∴a＜b．故选：C．3．解：∵a＞0，∴抛物线开口向上；∵b＜0，∴对称轴为x＝＞0，∴抛物线的对称轴位于y轴右侧；∵c＞0，∴与y轴的交点为在y轴的正半轴上．故选：A．4．解：∵y＝3（x﹣2）2﹣5∴当x＝0时，y＝7，即二次函数y＝3（x﹣2）2﹣5与y轴交点坐标为（0，7），故选：C．5．解：∵过点P作PQ⊥y轴于点Q，△OPQ的面积为3，∴||＝3，∵k＜0，∴k＝﹣6．故选：D．6．解：∵AG＝2，GF＝1，DF＝5，∴AF＝AG+GF＝3，∵AB∥CD∥EF，∴＝＝．故选：D．7．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，＝，∴＝，故A、C选项的比例式正确，不符合题意；∵EF∥AB，EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，△ADE∽△ABC，∴＝，＝，∴＝，故B选项的比例式不正确，符合题意；∵DE∥BC，EF∥AB，∴＝，＝，∴＝，故D选项的比例式正确，不符合题意；故选：B．8．解：∵四边形ABCD、四边形BEFG、四边形PQMN都是正方形，∴AB＝CB＝AD＝CD，∠B＝∠D＝∠CGF＝∠QPN＝90°，MN∥AC，∴∠BAC＝∠BCA＝∠DAC＝∠DCA＝45°，∴∠CGF＝∠APN＝90°，∠DNM＝∠DAC＝45°，∴∠GFC＝∠GCF＝45°，∠PNA＝∠PAN＝45°，∠DMN＝∠DNM＝45°，设正方形ABCD的边长为m，∴CG＝FG＝BG＝BC＝m，PA＝PN＝MN，DM＝DN，∴AN2＝PA2+PN2＝2PN2＝2MN2＝2（DM2+DN2）＝4DN2，∴AN＝2DN，∴DM＝DN＝AD＝m，∴S1＝×（m）2＝m2，S2＝×（m）2＝m2，∴S1：S2＝（m2）：（m2）＝4：9，故选：D．9．解：∵EB∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴＝，即＝，∴CD＝10.5（米）．故选：B．10．解：如图，过点C作CF⊥BC，且CF＝BC，连接EF，AF，过点A作AG⊥FC交FC延长线于点G，∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝AC＝2，∠BCA＝45°，∴CF＝BC＝2，∵DE∥AC，∴∠BDE＝90°，∠BED＝45°，∴△BDE是等腰直角三角形，∴BD＝DE，∴BE＝BD，设AD＝x，则BD＝DE＝2﹣x，∴BE＝（2﹣x），∴CE＝BC﹣BE＝2﹣（2﹣x）＝x，∴＝＝，∵＝＝，∴＝＝，∵∠FCE＝∠CAD＝90°，∴△CFE∽△ACD，∴＝＝＝，∴FE＝CD，∵FE+AE≥AF，∴AECD的最小值为AF的长，∵∠ACG＝180°﹣90°﹣45°＝45°，∴△ACG是等腰直角三角形，∴AG＝CG＝AC＝，∴FG＝FC+CG＝2+＝3，∴AF＝＝＝2，∴AE+CD的最小值为2．故选：C．二、填空题（满分16分）11．解：∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，抛物线和x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），则根据函数的对称性，抛物线和x轴的另外一个交点坐标为（1，0），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x＝﹣3或1，故答案为：x1＝﹣3，x2＝1．12．解：Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB；∴∠ACD＝∠B＝90°﹣∠A；又∵∠ADC＝∠CDB＝90°，∴△ACD∽△CBD；∴CD2＝AD•BD＝4，即CD＝2．13．解：过点A作AC⊥y轴于C，过点B作BD⊥y轴于D，∴∠ACO＝∠ODB＝90°，∴∠OBD+∠BOD＝90°，∵∠AOB＝90°，∴∠BOD+∠AOC＝90°，∴∠OBD＝∠AOC，∴△OBD∽△AOC，又∵∠AOB＝90°，∠ABO＝60°，∴tan∠ABO＝＝，∴＝（）2＝3，∵S△AOC＝×6＝3，∴S△BOD＝1，又∵k＜0，∴k＝﹣2．故答案为：﹣2．14．解：设∠ADE＝α，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝CD＝2，∴∠BAC＝∠ACD，∵∠BAC＝2∠ADE，∴∠BAC＝∠ACD＝2α，∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣α，∴∠DEC＝180°﹣2α﹣（90°﹣α）＝90°﹣α＝∠EDC，∴CE＝CD＝AB＝2，∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°＝∠ABC，∠EAB＝∠BAC，∴△AEB∽ABC，∴＝，∴＝，∴AE＝﹣1或AE＝﹣﹣1（舍去）．∴＝，故答案为：2；．三、（共74分）15．解：设二次函数表达式为y＝a（x﹣h）2+k，把顶点（﹣2，3）代入得：y＝a（x+2）2+3，再把（﹣1，5）代入得：5＝a+3，解得：a＝2，则二次函数表达式为y＝2（x+2）2+3，即y＝2x2+8x+11．16．解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求，点A1的坐标为：（5，5）；（2）如图所示：△A2B2C2．17．解：（1）∵直线y＝2x+3经过点A（1，n），∴n＝2×1+3＝5，∴A（1，5），∵双曲线y＝（k＜0）过点A（1，5），∴k＝5；（2）令2x+3＝，解得：x＝1或﹣，∴B（﹣．﹣2）；画出函数图象：观察函数图象知，不等式2x+3＞的解集是：﹣＜x＜0或x＞1．18．解：设运动了ts，根据题意得：AP＝2tcm，CQ＝3tcm，则AQ＝AC﹣CQ＝16﹣3t（cm），当△APQ∽△ABC时，，即，解得：t＝；当△APQ∽△ACB时，，即，解得：t＝4；故当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是：s或4s．19．解：（1）由题意设该抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣0.5）2+k，把A（0，10.88），B（1.5，7.28）代入得，解得，∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣4.8（x﹣0.5）2+12.08；（2）∵y＝﹣4.8（x﹣0.5）2+12.08，∴抛物线的顶点为（0.5，12.08），∴跳水时运动员的弹跳高度为12.08﹣10.88＝1.2（米）．20．解：（1）如图1，过点A作AG∥BC，交CE的延长线于点G，则△AGE∽△BCE，△AGF∽△DCF，∴＝＝，＝，∴BC＝2AG，∵AD是△ABC的中线，∴BC＝2DC，∴AG＝DC，∴＝＝1，故答案为：1；（2）如图2，过点A作AG∥BC，交CE的延长线于点G，则△AGE∽△BCE，△AGF∽△DCF，∴＝＝，＝，∴BC＝3AG，∵AD是△ABC的中线，∴BC＝2DC，∴3AG＝2DC，∴＝，∴＝＝，故答案为：；（3）＝，证明如下：如图3，过点A作AG∥BC，交CE的延长线于点G，则△AGE∽△BCE，△AGF∽△DCF，∴＝＝，＝，∴BC＝nAG，∵AD是△ABC的中线，∴BC＝2DC，∴nAG＝2DC，∴＝，∴＝＝，故答案为：．21．解：（1）根据题意得：y＝（﹣3x+240）（x﹣40）＝﹣3x2+360x﹣9600；（2）∵a＝﹣3＜0，y＝（﹣3x+240）（x﹣40）＝﹣3（x﹣60）2+1200；∴当x＝60时，y有最大值1200元．答：当复习资料每本售价为60元时，平均每天的利润最大，最大利润1200元．22．（1）证明：∵BD是角平分线，∴∠ABD＝∠CBD，∵DE⊥BD交AB于点E，∴∠BDE＝90°，∵∠C＝90°，∠ADB＝∠CBD+∠C，∠AED＝∠ABD+∠BDE，∴∠ADB＝∠AED，∴△ABD∽△ADE，∴＝，∴AD2＝AE•AB；（2）解：∵AD2＝AE•AB，AE＝6，AD＝6，∴AB＝12，∴BE＝AB﹣AE＝6，∵△ABD∽△ADE，∴＝＝＝，∴BD＝DE，∵DE2+BD2＝BE2＝36，∴DE＝2或DE＝﹣2（舍去）．23．解：（1）∵直线y＝2x+2与y轴交于点A，∴点A（0，2），∵点P是直线y＝2x+2上位于第一象限的一点，∴设点P（a，2a+2），∵以点P为顶点且经过点A的抛物线m和抛物线y＝x2的形状相同．∴设抛物线m的解析式为y＝﹣（x﹣a）2+2a+2，∴2＝﹣（0﹣a）2+2a