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【成才之路】-学年高中数学2-31.2第2课时组合同步测试新人教B版选修2-3一、选择题1.(·宝鸡中学高二期末)Ceq\o\al(2,2)+Ceq\o\al(2,3)+Ceq\o\al(2,4)+…+Ceq\o\al(2,16)等于()A.Ceq\o\al(2,15) B.Ceq\o\al(3,16)C.Ceq\o\al(3,17) D.Ceq\o\al(4,17)[答案]C[解析]原式=Ceq\o\al(3,3)+Ceq\o\al(2,3)+Ceq\o\al(2,4)+…+Ceq\o\al(2,16)=Ceq\o\al(3,4)+Ceq\o\al(2,4)+…+Ceq\o\al(2,16)=Ceq\o\al(3,5)+Ceq\o\al(2,5)+…+Ceq\o\al(2,16)=…=Ceq\o\al(3,16)+Ceq\o\al(2,16)=Ceq\o\al(3,17).2.以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有()A.70个 B.64个C.58个 D.52个[答案]C[解析]四个顶点共面的情况有6个表面和6个对角面共12个,∴共有四面体Ceq\o\al(4,8)-12=58个.故选C.3.(·秦安县西川中学高二期中)某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成,其中4个数字互不相同英文字母可以相同的牌照号码共有()A.(Ceq\o\al(1,26))2Aeq\o\al(4,10)个 B.Aeq\o\al(2,26)Aeq\o\al(4,10)个C.(Ceq\o\al(1,26))2104个 D.Aeq\o\al(2,26)104个[答案]A[解析]∵前两位英文字母可以重复,∴有(Ceq\o\al(1,26))2种排法,又∵后四位数字互不相同,∴有Aeq\o\al(4,10)种排法,由分步乘法计数原理知,共有不同牌照号码(Ceq\o\al(1,26))2Aeq\o\al(4,10)个.4.6人站成一排,若调换其中的三个人的位置,有多少种不同的换法()A.40 B.60C.120 D.240[答案]A[解析]先从6人中选取3人确定调换他们的位置,而这三人的位置全换只有2种不同方法,故共有2Ceq\o\al(3,6)=40种.故选A.5.若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有()A.60种 B.63种C.65种 D.66种[答案]D[解析]本题考查了排列与组合的相关知识.4个数和为偶数,可分为三类.四个奇数Ceq\o\al(4,5),四个偶数Ceq\o\al(4,4),二奇二偶,Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,4).共有Ceq\o\al(4,5)+Ceq\o\al(4,4)+Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,4)=66种不同取法.分类讨论思想在排列组合题目中应用广泛.6.(·景德镇市高二质检、河南安阳中学期中)12名同学合影,站成前排4人后排8人,现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排,若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的总数是()A.Ceq\o\al(2,8)Aeq\o\al(2,3) B.Ceq\o\al(2,8)Aeq\o\al(6,6)C.Ceq\o\al(2,8)Aeq\o\al(2,6) D.Ceq\o\al(2,8)Aeq\o\al(2,5)[答案]C[解析]第一步从后排8人中抽2人有Ceq\o\al(2,8)种抽取方法,第二步前排共有6个位置,先从中选取2个位置排上抽取的2人,有Aeq\o\al(2,6)种排法,最后把前排原4人按原顺序排在其他4个位置上,只有1种安排方法,∴共有Ceq\o\al(2,8)Aeq\o\al(2,6)种排法.7.在100件产品中有6件次品,现从中任取3件产品,至少有1件次品的不同取法的种数是()A.Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,94) B.Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,99)C.Ceq\o\al(3,100)-Ceq\o\al(3,94) D.Aeq\o\al(3,100)-Aeq\o\al(3,94)[答案]C[解析]从100件产品中抽取3件的取法数为Ceq\o\al(3,100),其中全为正品的取法数为Ceq\o\al(3,94),∴共有不同取法为Ceq\o\al(3,100)-Ceq\o\al(3,94).故选C.二、填空题8.从一组学生中选出4名学生当代表的选法种数为A,从这组学生中选出2人担任正、副组长的选法种数为B,若eq\f(B,A)=eq\f(2,13),则这组学生共有________人.[答案]15[解析]设有学生n人,则eq\f(A\o\al(2,n),C\o\al(4,n))=eq\f(2,13),解之得n=15.9.某台小型晚会由6个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前两位,节目乙不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位,该台晚会节目演出顺序的编排方案共有________种.[答案]42[解析]若甲在第一位有Aeq\o\al(4,4)种方法;若甲在第二位有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)=18种方法,故共有18+24=42种方法.三、解答题10.有4个不同的球,4个不同的盒子,把球全部放入盒内:(1)共有几种放法;(2)恰有1个空盒,有几种放法;(3)恰有2个盒子不放球,有几种放法.[解析](1)由分步乘法计数原理可知,共有44=256种放法.(2)先从4个小球中取2个放在一起,有Ceq\o\al(2,4)种不同的取法,再把取出的两个小球与另外2个小球看作三个,并分别放入4个盒子中的3个盒子里,有Aeq\o\al(3,4)种不同的放法.根据分步乘法计数原理,共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,4)=144种不同的放法.(3)恰有2个盒子不放球,也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中,有两类放法:第一类,1个盒子放3个小球,1个盒子放1个小球,先把小球分组,有Ceq\o\al(3,4)种,再放到2个盒子中有Aeq\o\al(2,4)种放法,共有Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(2,4)种放法;第二类,2个盒子中各放2个小球有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,4)种放法,故恰有2个盒子不放球的方法共有Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(2,4)+Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,4)=84种.一、选择题1.圆周上有12个不同的点,过其中任意两点作弦,这些弦在圆内的交点的个数最多是()A.Aeq\o\al(4,12) B.Aeq\o\al(2,12)Aeq\o\al(2,12)C.Ceq\o\al(2,12)Ceq\o\al(2,12) D.Ceq\o\al(4,12)[答案]D[解析]圆周上每4个点组成一个四边形,其对角线在圆内有一个交点.∴交点最多为Ceq\o\al(4,12)个.故选D.2.(·大纲全国理,5)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有()A.60种 B.70种C.75种 D.150种[答案]C[解析]本题考查了分步计数原理和组合的运算,从6名男医生中选2人有Ceq\o\al(2,6)=15种选法,从5名女医生选1人有Ceq\o\al(1,5)=5种选法,所以由分步乘法计数原理可知共有15×5=75种不同的选法.3.为促进城乡教育均衡发展,某学校将2名女教师,4名男教师分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加城乡交流活动,若每个小组由1名女教师和2名男教师组成,不同的安排方案共有()A.12种 B.24种C.9种 D.8种[答案]A[解析]不同的安排方案共有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,1)·Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,2)=12种.二、填空题4.n个不同的球放入n个不同的盒子中,如果恰好有1个盒子是空的,则共有________种不同的方法.[答案]Ceq\o\al(2,n)Aeq\o\al(n-1,n)[解析]有一个盒子中放2个球,先选出2球有Ceq\o\al(2,n)种选法,然后将2个球视作一个整体,连同其余的n-2个球共有n-1个,从n个不同盒子中选出n-1个,放入这n-1个不同的球有Aeq\o\al(n-1,n)种放法,∴共有Ceq\o\al(2,n)Aeq\o\al(n-1,n)种.5.有6名学生,其中有3名会唱歌,2名会跳舞,1名既会唱歌也会跳舞.现在从中选出2名会唱歌的,1名会跳舞的去参加文艺演出,则共有选法________种.[答案]15[解析]Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(1,2)+Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,2)+Ceq\o\al(2,3)=15种.三、解答题6.一个口袋里装有7个白球和2个红球,从口袋中任取5个球.(1)共有多少种不同的取法;(2)恰有1个为红球,共有多少种取法?[解析](1)从口袋里的9个球中任取5个球,不同的取法为Ceq\o\al(5,9)=Ceq\o\al(4,9)=126(种);(2)可分两步完成,首先从7个白球中任取4个白球,有Ceq\o\al(4,7)种取法,然后从2个红球中任取1个红球共有Ceq\o\al(1,2)种取法,∴共有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(4,7)=70种取法.7.解方程:Aeq\o\al(4,2x+1)=140Aeq\o\al(3,x).[解析]根据原方程,x(x∈N+)应满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x+1≥4,,x≥3,))解得x≥3.根据排列数公式,原方程化为(2x+1)·2x·(2x-1)(2x-2)=140x·(x-1)·(x-2),∵x≥3,两边同除以4x(x-1),得(2x+1)(2x-1)=35(x-2),即4x2-35x+69=0,解得x=3或x=eq\f(23,4)(因x为整数,应舍去).∴原方程的解为x=3.8.如图所示,在以AB为直径的半圆周上,有异于A、B的六个点C1、C2、C3、C4、C5、C6,直径AB上有异于A、B的四个点D1、D2、D3、D4.问:(1)以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作多少个?其中含C1点的有多少个?(2)以图中的12个点(包括A、B)中的4个为顶点,可作出多少个四边形?[解析](1)可分三种情况处理:①C1、C2、…、C6这六个点中任取三点可构成一个三角形.②C1、C2、…、C6中任取一点,D1、D2、D3、D4中任取两点可构成一个三角形.③C1、C2、…、C6中任取两点,D1、D2、D3、D4中任取一点可构成一个三角形.Ceq\

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