高中数学 2-3 1.2 第2课时组合同步测试 新人教B版选修2-3

【成才之路】-学年高中数学2-31.2第2课时组合同步测试新人教B版选修2-3一、选择题1．(·宝鸡中学高二期末)Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋…＋Ceq\o\al(2,16)等于()A．Ceq\o\al(2,15) B．Ceq\o\al(3,16)C．Ceq\o\al(3,17) D．Ceq\o\al(4,17)[答案]C[解析]原式＝Ceq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋…＋Ceq\o\al(2,16)＝Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(2,4)＋…＋Ceq\o\al(2,16)＝Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(2,5)＋…＋Ceq\o\al(2,16)＝…＝Ceq\o\al(3,16)＋Ceq\o\al(2,16)＝Ceq\o\al(3,17).2．以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有()A．70个 B．64个C．58个 D．52个[答案]C[解析]四个顶点共面的情况有6个表面和6个对角面共12个，∴共有四面体Ceq\o\al(4,8)－12＝58个．故选C.3．(·秦安县西川中学高二期中)某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同英文字母可以相同的牌照号码共有()A．(Ceq\o\al(1,26))2Aeq\o\al(4,10)个 B．Aeq\o\al(2,26)Aeq\o\al(4,10)个C．(Ceq\o\al(1,26))2104个 D．Aeq\o\al(2,26)104个[答案]A[解析]∵前两位英文字母可以重复，∴有(Ceq\o\al(1,26))2种排法，又∵后四位数字互不相同，∴有Aeq\o\al(4,10)种排法，由分步乘法计数原理知，共有不同牌照号码(Ceq\o\al(1,26))2Aeq\o\al(4,10)个．4．6人站成一排，若调换其中的三个人的位置，有多少种不同的换法()A．40 B．60C．120 D．240[答案]A[解析]先从6人中选取3人确定调换他们的位置，而这三人的位置全换只有2种不同方法，故共有2Ceq\o\al(3,6)＝40种．故选A.5．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A．60种 B．63种C．65种 D．66种[答案]D[解析]本题考查了排列与组合的相关知识.4个数和为偶数，可分为三类．四个奇数Ceq\o\al(4,5)，四个偶数Ceq\o\al(4,4)，二奇二偶，Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,4).共有Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,4)＝66种不同取法．分类讨论思想在排列组合题目中应用广泛．6．(·景德镇市高二质检、河南安阳中学期中)12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是()A．Ceq\o\al(2,8)Aeq\o\al(2,3) B．Ceq\o\al(2,8)Aeq\o\al(6,6)C．Ceq\o\al(2,8)Aeq\o\al(2,6) D．Ceq\o\al(2,8)Aeq\o\al(2,5)[答案]C[解析]第一步从后排8人中抽2人有Ceq\o\al(2,8)种抽取方法，第二步前排共有6个位置，先从中选取2个位置排上抽取的2人，有Aeq\o\al(2,6)种排法，最后把前排原4人按原顺序排在其他4个位置上，只有1种安排方法，∴共有Ceq\o\al(2,8)Aeq\o\al(2,6)种排法．7．在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是()A．Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,94) B．Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,99)C．Ceq\o\al(3,100)－Ceq\o\al(3,94) D．Aeq\o\al(3,100)－Aeq\o\al(3,94)[答案]C[解析]从100件产品中抽取3件的取法数为Ceq\o\al(3,100)，其中全为正品的取法数为Ceq\o\al(3,94)，∴共有不同取法为Ceq\o\al(3,100)－Ceq\o\al(3,94).故选C.二、填空题8．从一组学生中选出4名学生当代表的选法种数为A，从这组学生中选出2人担任正、副组长的选法种数为B，若eq\f(B,A)＝eq\f(2,13)，则这组学生共有________人．[答案]15[解析]设有学生n人，则eq\f(A\o\al(2,n),C\o\al(4,n))＝eq\f(2,13)，解之得n＝15.9．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有________种．[答案]42[解析]若甲在第一位有Aeq\o\al(4,4)种方法；若甲在第二位有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝18种方法，故共有18＋24＝42种方法．三、解答题10．有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内：(1)共有几种放法；(2)恰有1个空盒，有几种放法；(3)恰有2个盒子不放球，有几种放法．[解析](1)由分步乘法计数原理可知，共有44＝256种放法．(2)先从4个小球中取2个放在一起，有Ceq\o\al(2,4)种不同的取法，再把取出的两个小球与另外2个小球看作三个，并分别放入4个盒子中的3个盒子里，有Aeq\o\al(3,4)种不同的放法．根据分步乘法计数原理，共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,4)＝144种不同的放法．(3)恰有2个盒子不放球，也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中，有两类放法：第一类，1个盒子放3个小球，1个盒子放1个小球，先把小球分组，有Ceq\o\al(3,4)种，再放到2个盒子中有Aeq\o\al(2,4)种放法，共有Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(2,4)种放法；第二类，2个盒子中各放2个小球有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,4)种放法，故恰有2个盒子不放球的方法共有Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,4)＝84种.一、选择题1．圆周上有12个不同的点，过其中任意两点作弦，这些弦在圆内的交点的个数最多是()A．Aeq\o\al(4,12) B．Aeq\o\al(2,12)Aeq\o\al(2,12)C．Ceq\o\al(2,12)Ceq\o\al(2,12) D．Ceq\o\al(4,12)[答案]D[解析]圆周上每4个点组成一个四边形，其对角线在圆内有一个交点．∴交点最多为Ceq\o\al(4,12)个．故选D.2．(·大纲全国理，5)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有()A．60种 B．70种C．75种 D．150种[答案]C[解析]本题考查了分步计数原理和组合的运算，从6名男医生中选2人有Ceq\o\al(2,6)＝15种选法，从5名女医生选1人有Ceq\o\al(1,5)＝5种选法，所以由分步乘法计数原理可知共有15×5＝75种不同的选法．3．为促进城乡教育均衡发展，某学校将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加城乡交流活动，若每个小组由1名女教师和2名男教师组成，不同的安排方案共有()A．12种 B．24种C．9种 D．8种[答案]A[解析]不同的安排方案共有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,1)·Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,2)＝12种．二、填空题4．n个不同的球放入n个不同的盒子中，如果恰好有1个盒子是空的，则共有________种不同的方法．[答案]Ceq\o\al(2,n)Aeq\o\al(n－1,n)[解析]有一个盒子中放2个球，先选出2球有Ceq\o\al(2,n)种选法，然后将2个球视作一个整体，连同其余的n－2个球共有n－1个，从n个不同盒子中选出n－1个，放入这n－1个不同的球有Aeq\o\al(n－1,n)种放法，∴共有Ceq\o\al(2,n)Aeq\o\al(n－1,n)种．5．有6名学生，其中有3名会唱歌，2名会跳舞，1名既会唱歌也会跳舞．现在从中选出2名会唱歌的，1名会跳舞的去参加文艺演出，则共有选法________种．[答案]15[解析]Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(2,3)＝15种．三、解答题6．一个口袋里装有7个白球和2个红球，从口袋中任取5个球．(1)共有多少种不同的取法；(2)恰有1个为红球，共有多少种取法？[解析](1)从口袋里的9个球中任取5个球，不同的取法为Ceq\o\al(5,9)＝Ceq\o\al(4,9)＝126(种)；(2)可分两步完成，首先从7个白球中任取4个白球，有Ceq\o\al(4,7)种取法，然后从2个红球中任取1个红球共有Ceq\o\al(1,2)种取法，∴共有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(4,7)＝70种取法．7．解方程：Aeq\o\al(4,2x＋1)＝140Aeq\o\al(3,x).[解析]根据原方程，x(x∈N＋)应满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1≥4，,x≥3，))解得x≥3.根据排列数公式，原方程化为(2x＋1)·2x·(2x－1)(2x－2)＝140x·(x－1)·(x－2)，∵x≥3，两边同除以4x(x－1)，得(2x＋1)(2x－1)＝35(x－2)，即4x2－35x＋69＝0，解得x＝3或x＝eq\f(23,4)(因x为整数，应舍去)．∴原方程的解为x＝3.8．如图所示，在以AB为直径的半圆周上，有异于A、B的六个点C1、C2、C3、C4、C5、C6，直径AB上有异于A、B的四个点D1、D2、D3、D4.问：(1)以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作多少个？其中含C1点的有多少个？(2)以图中的12个点(包括A、B)中的4个为顶点，可作出多少个四边形？[解析](1)可分三种情况处理：①C1、C2、…、C6这六个点中任取三点可构成一个三角形．②C1、C2、…、C6中任取一点，D1、D2、D3、D4中任取两点可构成一个三角形．③C1、C2、…、C6中任取两点，D1、D2、D3、D4中任取一点可构成一个三角形．Ceq\