2023-2024学年河北省邢台市五岳联盟高二下学期期中考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2河北省邢台市五岳联盟2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册至选择性必修第三册第七章7.2.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1.某羽毛球队共有11名男队员，9名女队员，现组成一男一女的队伍参加男女混双比赛，则不同的组合方案共有（）A.9种 B.11种 C.20种 D.99种〖答案〗D〖解析〗依题意，求不同的组合方案需要两步，先取男队员有11种方法，再取女队员有9种方法，所以不同的组合方案共有.故选：D2.已知服从两点分布，若，则（）A.0.48 B.0.52 C.0.24 D.0.26〖答案〗B〖解析〗由服从两点分布，，得.故选：B3.的展开式中，系数最大的项的系数为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为展开式的通项为：，项的系数即为二项式系数，由为偶数，展开后一共501项，所以展开式中系数最大的项的系数为.故选：C.4.曲线在处切线的斜率为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意得，则所求切线的斜率为.故选：A.5.已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，，点P在C的右支上，且的周长为，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由双曲线定义可知：，则三角形的周长为，故.故选：D.6.河北省沧州市渤海新区中捷产业园区是典型的盐碱地区，面对盐碱地改造成本高､维护难的现实，农技人员从“以种适地”角度入手，近年来相继培育出“捷麦19”和“捷麦20”等自主研发的旱碱麦品种，亩产量大幅提高，有力促进农民收入增长，带动农村经济发展.现有A，B，C，D四块盐碱地，计划种植“捷麦19”和“捷麦20”这两种旱碱麦，若要求这两种旱碱麦都要种植，则不同的种植方案共有（）A.18种 B.16种 C.14种 D.12种〖答案〗C〖解析〗第一类，先选一块地种植一种旱碱麦，剩下的三块地种植另外一种旱碱麦，则不同的种植方案有种,第二类，先选两块地种植一种旱碱麦，剩下的两块地种植另外一种旱碱麦，则不同的种植方案有种,故不同的种植方案共有种.故选：C.7.如图，在三棱锥中AB，AC，AP两两垂直，E，F分别为BC，PC的中点，且，则二面角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗在三棱锥中AB，AC，AP两两垂直，，则平面，取中点，连接，由为的中点，得，则平面，平面，则有，过作于，连接，显然平面，则平面，平面，于是，是二面角的平面角，，由，解得，又，在中，，则，，所以二面角的余弦值为.故选：B8.已知，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗对两边求导，可得.令，得，①令，得，②由①+②，得，所以.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，则（）A.A与相互独立 B.与相互对立C. D.〖答案〗AC〖解析〗对于A，由，得，即，A与相互独立，A正确；对于B，由选项A知，，则，即与不互斥，不对立，B错误；对于CD，，C正确，D错误.故选：AC10.在平面直角坐标系中，第一､二､三､四象限内各有2个点，且任意3个点都不共线，则下列结论正确的是（）A.以这8个点中的2个点为端点的线段有28条B.以这8个点中的2个点为端点的线段中，与轴相交的有8条C.以这8个点中的3个点为顶点的三角形有56个D.以这8个点中的3个点为顶点，且3个顶点在3个象限的三角形有32个〖答案〗ACD〖解析〗以这8个点中的2个点为端点的线段有条，正确.轴上方有4个点，下方有4个点，所以这样的线段有条，错误.以这8个点中的3个点为顶点的三角形有个，正确.先选3个象限，从这3个象限中每个象限任选1个点作为三角形的顶点，则这样的三角形有个，正确.故选：ACD.11.下列命题为真命题的是（）A.的最小值是2B.的最小值是C.的最小值是D.的最小值是〖答案〗BC〖解析〗设，易知点轨迹是抛物线的上半部分，抛物线的准线为直线到准线的距离，为抛物线的焦点，对于AB，，所以的最小值为，故A错误，B正确；对于CD，，所以的最小值是，故C正确，D错误.故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在等差数列中，，则______．〖答案〗3〖解析〗令等差数列的公差为，由，得，因此，所以.故〖答案〗为：313.某校运动会短跑比赛有两个项目：100米短跑和400短跑．甲参加100米短跑比赛的概率为0.7，参加400米短跑比赛的概率为0.3，且甲参加100米短跑比赛夺冠的概率为0.7，参加400米短跑比赛夺冠的概率为0.8，则甲参加短跑比赛夺冠的概率为______．〖答案〗0.73〖解析〗事件：甲参加100米短跑比赛，事件：甲参加400米短跑比赛，事件：甲参加短跑比赛夺冠，则，，，且互斥，所以.所以甲参加短跑比赛夺冠的概率为0.73.故〖答案〗为：0.7314.已知椭圆的离心率为，过的右焦点的直线与交于两点，与直线交于点，且，则的斜率为______.〖答案〗〖解析〗因为椭圆的离心率为，所以，解得，所以的方程为，所以椭圆右焦点为，当直线为时，，，，故不符合题意，当直线斜率不为0时，设，，由题意显然有，联立，得，则，所以.易得，则.由，得，即，所以，即，故的斜率为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.入春以来，成群的红嘴鸥在河北省阜平县平阳镇王快水库栖息飞翔，碧水鸥影的生态美景，吸引众多游客前来打卡，为了更好地保护红嘴鸥，渔民自发地驾船在王快水库巡护红嘴鸥．已知甲、乙等六名渔民计划巡护红嘴鸥六天，每人巡护一天，（1）若甲不在第一天巡护，问有多少种不同的巡护方案？（2）若甲、乙不在相邻的两天巡护，问有多少种不同的巡护方案？解：（1）甲不在第一天巡护有5种选择，不同的巡护方案有.（2）甲、乙等六名渔民计划巡护红嘴鸥六天每人巡护一天，甲、乙不在相邻的两天巡护，先排其他四个人巡护方案，甲、乙不在相邻的两天巡护可以插空得出巡护方案.16.已知在二项式的展开式中，第项为常数项.（1）求；（2）求的展开式中所有奇数项的二项式系数之和；（3）在的展开式中，求含的项.解：（1）由题意得第项为，则，解得.（2）所有奇数项的二项式系数之和为.（3）由（1）知，其中展开式的通项为（且），则的展开式中，含的项为，含的项为，所以在的展开式中含的项为.17.一个不透明盒子里装有7个大小相同、质地均匀的小球，其中白色小球3个（分别标有数字1，2，3），黑色小球4个（分别标有数字2，3，4，5）．现从盒子中—次性随机取出3个小球．（1）求取出的3个小球上的数字之和等于10的概率；（2）在取出的3个小球中有黑色小球的情况下，黑色小球上的数字的最大值为X（当只取到1个黑色小球时，该球上的数字即为X），求随机变量X的分布列．解：（1）7个球里取3个共有种，

3个小球上的数字之和等于10的含有4，5，1；3，5，2；3，4，3，

其中4，5，1只有一种，而3，5，2有种，即从两个3，两个2里各取一个，3，4，3也只有一种，

所以总共有种，所以取出的3个小球上的数字之和等于10的概率为.（2）由题意可知，X可能的值有5，4，3，2，，，，.所以X的分布列为：

2

3

4

5

18.在个数码构成的一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为，例如，，（1）计算；（2）设数列满足，求的通项公式；（3）设排列满足，求，解：（1）在排列中，与5构成逆序的有4个，与1构成逆序的有0个，与2构成逆序的有0个，与4构成逆序的有1个，与3构成逆序的有0个，所以.（2）由（1）中的方法，同理可得，又，所以，设，得，所以，解得，则，因为，所以数列是首项为1，公比为5的等比数列，所以，则.（3）因为，所以，所以，所以19.已知函数和．（1）若在上的最小值为，求的值；（2）若不等式恒成立，求的取值集合．解：（1），，若，则，所以在上单调递增，则无最小值，不符合题意，所以，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，由，得，即或因为，所以.（2）的定义域为，由，得，令函数，，则，所以单调递增，得，令函数，，则，若，则在上单调递增，因，所以当时，，不符合题意，所以，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，即恒成立，令函数，则，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，即，故，即，所以的取值集合为.河北省邢台市五岳联盟2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册至选择性必修第三册第七章7.2.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1.某羽毛球队共有11名男队员，9名女队员，现组成一男一女的队伍参加男女混双比赛，则不同的组合方案共有（）A.9种 B.11种 C.20种 D.99种〖答案〗D〖解析〗依题意，求不同的组合方案需要两步，先取男队员有11种方法，再取女队员有9种方法，所以不同的组合方案共有.故选：D2.已知服从两点分布，若，则（）A.0.48 B.0.52 C.0.24 D.0.26〖答案〗B〖解析〗由服从两点分布，，得.故选：B3.的展开式中，系数最大的项的系数为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为展开式的通项为：，项的系数即为二项式系数，由为偶数，展开后一共501项，所以展开式中系数最大的项的系数为.故选：C.4.曲线在处切线的斜率为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意得，则所求切线的斜率为.故选：A.5.已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，，点P在C的右支上，且的周长为，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由双曲线定义可知：，则三角形的周长为，故.故选：D.6.河北省沧州市渤海新区中捷产业园区是典型的盐碱地区，面对盐碱地改造成本高､维护难的现实，农技人员从“以种适地”角度入手，近年来相继培育出“捷麦19”和“捷麦20”等自主研发的旱碱麦品种，亩产量大幅提高，有力促进农民收入增长，带动农村经济发展.现有A，B，C，D四块盐碱地，计划种植“捷麦19”和“捷麦20”这两种旱碱麦，若要求这两种旱碱麦都要种植，则不同的种植方案共有（）A.18种 B.16种 C.14种 D.12种〖答案〗C〖解析〗第一类，先选一块地种植一种旱碱麦，剩下的三块地种植另外一种旱碱麦，则不同的种植方案有种,第二类，先选两块地种植一种旱碱麦，剩下的两块地种植另外一种旱碱麦，则不同的种植方案有种,故不同的种植方案共有种.故选：C.7.如图，在三棱锥中AB，AC，AP两两垂直，E，F分别为BC，PC的中点，且，则二面角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗在三棱锥中AB，AC，AP两两垂直，，则平面，取中点，连接，由为的中点，得，则平面，平面，则有，过作于，连接，显然平面，则平面，平面，于是，是二面角的平面角，，由，解得，又，在中，，则，，所以二面角的余弦值为.故选：B8.已知，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗对两边求导，可得.令，得，①令，得，②由①+②，得，所以.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，则（）A.A与相互独立 B.与相互对立C. D.〖答案〗AC〖解析〗对于A，由，得，即，A与相互独立，A正确；对于B，由选项A知，，则，即与不互斥，不对立，B错误；对于CD，，C正确，D错误.故选：AC10.在平面直角坐标系中，第一､二､三､四象限内各有2个点，且任意3个点都不共线，则下列结论正确的是（）A.以这8个点中的2个点为端点的线段有28条B.以这8个点中的2个点为端点的线段中，与轴相交的有8条C.以这8个点中的3个点为顶点的三角形有56个D.以这8个点中的3个点为顶点，且3个顶点在3个象限的三角形有32个〖答案〗ACD〖解析〗以这8个点中的2个点为端点的线段有条，正确.轴上方有4个点，下方有4个点，所以这样的线段有条，错误.以这8个点中的3个点为顶点的三角形有个，正确.先选3个象限，从这3个象限中每个象限任选1个点作为三角形的顶点，则这样的三角形有个，正确.故选：ACD.11.下列命题为真命题的是（）A.的最小值是2B.的最小值是C.的最小值是D.的最小值是〖答案〗BC〖解析〗设，易知点轨迹是抛物线的上半部分，抛物线的准线为直线到准线的距离，为抛物线的焦点，对于AB，，所以的最小值为，故A错误，B正确；对于CD，，所以的最小值是，故C正确，D错误.故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在等差数列中，，则______．〖答案〗3〖解析〗令等差数列的公差为，由，得，因此，所以.故〖答案〗为：313.某校运动会短跑比赛有两个项目：100米短跑和400短跑．甲参加100米短跑比赛的概率为0.7，参加400米短跑比赛的概率为0.3，且甲参加100米短跑比赛夺冠的概率为0.7，参加400米短跑比赛夺冠的概率为0.8，则甲参加短跑比赛夺冠的概率为______．〖答案〗0.73〖解析〗事件：甲参加100米短跑比赛，事件：甲参加400米短跑比赛，事件：甲参加短跑比赛夺冠，则，，，且互斥，所以.所以甲参加短跑比赛夺冠的概率为0.73.故〖答案〗为：0.7314.已知椭圆的离心率为，过的右焦点的直线与交于两点，与直线交于点，且，则的斜率为______.〖答案〗〖解析〗因为椭圆的离心率为，所以，解得，所以的方程为，所以椭圆右焦点为，当直线为时，，，，故不符合题意，当直线斜率不为0时，设，，由题意显然有，联立，得，则，所以.易得，则.由，得，即，所以，即，故的斜率为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.入春以来，成群的红嘴鸥在河北省阜平县平阳镇王快水库栖息飞翔，碧水鸥影的生态美景，吸引众多游客前来打卡，为了更好地保护红嘴鸥，渔民自发地驾船在王快水库巡护红嘴鸥．已知甲、乙等六名渔民计划巡护红嘴鸥六天，每人巡护一天，（1）若甲不在第一天巡护，问有多少种不同的巡护方案？（2）若甲、乙不在相邻的两天巡护，问有多少种不同的巡护方案？解：（1）甲不在第一天巡护有5种选择，不同的巡护方案有.（2）甲、乙等六名渔民计划巡护红嘴鸥六天每人巡护一天，甲、乙不在相邻的两天巡护，先排其他四个人巡护方案，甲、乙不在相邻的两天巡护可以插空得出巡护方案.16.已知在二项式的展开式中，第项为常数项.（1）求；（2）求的展开式中所有奇数项的二项式系数之和；（3）在的展开式中，求含的项.解：（1）由题意得第项为，则，解得.（2）所有奇数项的二项式系数之和为.（3）由（1）知，其中展开式的通项为（且），则的展开式中，含的项为，含的项为，所以在的展开式中含的项为.17.一个不透明盒子里装有7个大小相同、质地均匀的小球，其中白色小球3个（分别标有数字1，2，3），黑色小球4个（分别标有数字2，3，4，5）．现从盒子中—次性随机取出3个小球．（1）求取出