2023-2024学年山东省潍坊市高二下学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2山东省潍坊市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．2．回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它〖答案〗标号．回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.记为等比数列的前n项和，若，，则公比（）A. B. C.3 D.2〖答案〗D〖解析〗若，，则，解得，符合题意.故选：D.2.已知随机变量服从正态分布，且，则（）A.0.9 B.0.8 C.0.4 D.0.1〖答案〗A〖解析〗因为，所以，所以，故选：A3.函数的图象如图所示，且是的导函数，记，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设点则可以把看成两点的斜率，把看成曲线在点的切线斜率，把看成曲线在点的切线斜率，再作出图形进行数形结合分析：由图可得，即.故选：B.4.若银行的储蓄卡密码由六位数字组成，小王在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，但记得密码的最后一位是奇数，则不超过2次就按对密码的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗记“小王第一次按对”=,“第二次按对”,；小王1次就按对的概率即为，小王恰好需要2次才按对的概率.所以小王不超过2次就按对的概率为.故选：B.5.记数列的前n项和为，若，则（）A.301 B.101 C. D.〖答案〗C〖解析〗数列中，，则，所以故选：C6.函数在处取得极大值9，则（）A.3 B. C.或3 D.0〖答案〗B〖解析〗由题意，函数，可得，因为在处取得极大值9，可得，解得或，检验知，当时，可得，当时，，即在上单调递减，当时，，即在上单调递增，所以在处取得极小值9，与题意矛盾，故不符题意；当时，可得，当时，，即在上单调递增，当时，，即在上单调递减，所以在处取得极大值9，故符合题意；所以.故选：B.7.设函数是定义在上的奇函数，为其导函数．当时，，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗当时，令，则，所以在上单调递增，当时，，即，当时，，即，因为函数是定义在上的奇函数，所以，所以当时，，当时，，所以不等式的解集为.故选：D.8.某高校为研究学生每周平均体育运动时间进行了一次抽样调查，已知被抽取的男、女生人数相同．调查显示：抽取的男生中每周平均体育运动时间超过4小时的人数占比为，抽取的女生中每周平均体育运动时间超过4小时的人数占比为，若在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为该校学生每周平均体育运动时间与性别有关，则被抽取的男生人数至少为（）附：0.0500.0100.0050.001k3.8416.6357.87910.828A.60 B.65 C.70 D.75〖答案〗C〖解析〗设男生总人数为，依题意可得列联表如下：每周平均体育运动时间超过4小时人数每周平均体育运动时间不超过4小时合计男生人数女生人数合计若在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为该校学生每周平均体育运动时间与性别有关，则，解得，则被抽取的男生人数至少为70人.故选：C.二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分9.下列函数的导数运算正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗对于A,,故A对.对于B,,故B对.对于C,,故C错.对于D,,故D对.综上所得,正确的是：ABD.故选:ABD.10.有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.用表示第一次取到的小球的标号，用表示第二次取到的小球的标号，记事件：为偶数，：为偶数，C：，则（）A. B.与相互独立C.与相互独立 D.与相互独立〖答案〗ACD〖解析〗对A：，故A正确；对B：，，则，故与不相互独立，故B错误；对C：，，则，故与相互独立，故C正确；对D：，则，故与相互独立，故D正确；故选：ACD.11.黎曼函数（Riemannfunction）在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：时，，若数列，，则（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗对于A，，故A错误；对于B，当时，是相邻的偶数和奇数，所以是既约分数，所以，所以，即，故B正确；对于C，当时，，若当时，成立，则时，，故C正确；对于D，当时，，若当时，成立，则时，，要使，而，，只需，只需，显然，故只需，当时，该式子为，显然成立，若当时，有，当时，，从而对任意正整数均有，综上所述，，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．12.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中至少有1名女生的概率是_____________．〖答案〗〖解析〗任选3人的方法数为，其中至少有1名女生的方法数为．所以概率为．故〖答案〗为：．13.记公差不为0的等差数列的前n项和为，若，则______．〖答案〗12〖解析〗设首项、公差分别为，则，所以，因为，所以.故〖答案〗为：12.14.已知函数，设，若只有一个零点，则实数a的取值范围是______；若不等式的解集中有且只有三个整数，则实数a的取值范围是______．〖答案〗①②〖解析〗，，当时，单调递增；当时，单调递减；∴；当时，；当时，；．据此可作出图象如图所示：令，则或，由，可得；又∵只有一个零点，∴无解，或，∴，或，∴的取值范围是．令，则．①当时，则或，由，可得，无整数解，∴中有3个整数解，结合的图象可知此三个整数解为，∵，∴；②当时，，由，得，不满足题意；③当时，由，得或，∵的解集中无整数，的解集中有若干个整数，不满足题意；综上，的取值范围为．故〖答案〗为：；．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）求的单调区间和极值；（2）求在区间上的最值．解：（1）函数的定义域为,．令得,或（舍去）,当时,,函数单调递减；当时,,函数单调递增,所以函数单调递减区间为,函数单调递增区间为．函数的极小值为,无极大值．（2）由（1）知,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,所以,,,又因为,所以函数在区间的最小值为,最大值为2．16.某高中学校组织乒乓球比赛，经过一段时间的角逐，甲、乙两名同学进入决赛．决赛采取7局4胜制，假设每局比赛中甲获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立．（1）求比赛结束时恰好打了5局的概率；（2）若前三局比赛甲赢了两局，记还需比赛的局数为X，求X的分布列及数学期望．解：（1）比赛结束时，恰好打了5局，甲获胜的概率为，恰好打了5局，乙获胜的概率为，所以比赛结束时恰好打了5局概率为；（2）由题意可知，X取值范围是．，，，所以X的分布列如下：X234P数学期望．17.已知数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）令，设数列的前n项和为，若不等式对恒成立，求实数的取值范围．解：（1）因为，所以时，，所以当时，，又满足上式，所以；（2）由（1）知，所以，所以，即不等式对恒成立，令，，令，可得，当时，，此时，即此时有，数列的最大项为，所以．18.近年来，中国新能源汽车产业，不仅技术水平持续提升，市场规模也持续扩大，取得了令人瞩目的成就．以小米SU7、问界M9等为代表的国产新能源汽车，正逐步引领全球新能源汽车的发展潮流，某新能源汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行了调研，数据如下：时间2023年12月2024年1月2024年2月2024年3月2024年4月月份代码x12345销量y/千辆1415161819（1）已知y与x线性相关，求出y关于x的线性回归方程，并估计该地区新能源汽车在2024年5月份的销量；（2）该企业为宣传推广新能源汽车，计划在宣传部门开展人工智能工具使用的培训．该次培训分为四期，每期培训的结果是否“优秀”相互独立，且每期培训中员工达到“优秀”标准的概率均为．该企业规定：员工至少两期培训达到“优秀”标准．才能使用人工智能工具，（i）记某员工经过培训后，恰好两期达到“优秀”标准的概率为．求的最大值点；（ii）该企业宣传部现有员工100人，引进人工智能工具后，需将宣传部的部分员工调整至其他部门，剩余员工进行该次培训已知开展培训前，员工每人每年平均为企业创造利润12万元，开展培训后，能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造利润16万元，本次培训费每人1万元．现要求培训后宣传部员工创造的年利润不低于调整前的年利润，以（i）中确定的作为p的值．预计最多可以调多少人到其他部门？参考公式：，．解：（1）由题意得，，，，，所以y关于x的线性回归方程为，当时，，所以估计该地区新能源汽车在2024年5月份的销量是20.3千辆；（2）（i）恰好两期达到“优秀”标准的概率为，，因此，令，得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，的最大值点．（ⅱ）设“员工经过培训，能使用人工智能工具”为事件B，所以，设宣传部调人至其他部门，则参加培训的人数为，为培训后能使用人工智能工具的人数，则，因此，调整后年利润万元，令，解得，所以最多可以调12人到其他部门．19.已知函数．（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）若在上恒成立，求实数m的取值范围；（3）证明：．解：（1）当时，，所以，所以，，所以函数在处的切线方程为即；（2）若在上恒成立，则在上恒成立，设，，所以，，①当时，，当时，，所以在上单调递减，所以，即在不恒成立．②当时，，当时，，在上单调递增，又，此时，综上所述，所求m的取值范围是；（3）由（2）知，当时，在上恒成立，取，得即，当且仅当时等号成立，令，，则，所以，所以，所以．山东省潍坊市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．2．回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它〖答案〗标号．回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.记为等比数列的前n项和，若，，则公比（）A. B. C.3 D.2〖答案〗D〖解析〗若，，则，解得，符合题意.故选：D.2.已知随机变量服从正态分布，且，则（）A.0.9 B.0.8 C.0.4 D.0.1〖答案〗A〖解析〗因为，所以，所以，故选：A3.函数的图象如图所示，且是的导函数，记，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设点则可以把看成两点的斜率，把看成曲线在点的切线斜率，把看成曲线在点的切线斜率，再作出图形进行数形结合分析：由图可得，即.故选：B.4.若银行的储蓄卡密码由六位数字组成，小王在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，但记得密码的最后一位是奇数，则不超过2次就按对密码的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗记“小王第一次按对”=,“第二次按对”,；小王1次就按对的概率即为，小王恰好需要2次才按对的概率.所以小王不超过2次就按对的概率为.故选：B.5.记数列的前n项和为，若，则（）A.301 B.101 C. D.〖答案〗C〖解析〗数列中，，则，所以故选：C6.函数在处取得极大值9，则（）A.3 B. C.或3 D.0〖答案〗B〖解析〗由题意，函数，可得，因为在处取得极大值9，可得，解得或，检验知，当时，可得，当时，，即在上单调递减，当时，，即在上单调递增，所以在处取得极小值9，与题意矛盾，故不符题意；当时，可得，当时，，即在上单调递增，当时，，即在上单调递减，所以在处取得极大值9，故符合题意；所以.故选：B.7.设函数是定义在上的奇函数，为其导函数．当时，，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗当时，令，则，所以在上单调递增，当时，，即，当时，，即，因为函数是定义在上的奇函数，所以，所以当时，，当时，，所以不等式的解集为.故选：D.8.某高校为研究学生每周平均体育运动时间进行了一次抽样调查，已知被抽取的男、女生人数相同．调查显示：抽取的男生中每周平均体育运动时间超过4小时的人数占比为，抽取的女生中每周平均体育运动时间超过4小时的人数占比为，若在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为该校学生每周平均体育运动时间与性别有关，则被抽取的男生人数至少为（）附：0.0500.0100.0050.001k3.8416.6357.87910.828A.60 B.65 C.70 D.75〖答案〗C〖解析〗设男生总人数为，依题意可得列联表如下：每周平均体育运动时间超过4小时人数每周平均体育运动时间不超过4小时合计男生人数女生人数合计若在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为该校学生每周平均体育运动时间与性别有关，则，解得，则被抽取的男生人数至少为70人.故选：C.二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分9.下列函数的导数运算正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗对于A,,故A对.对于B,,故B对.对于C,,故C错.对于D,,故D对.综上所得,正确的是：ABD.故选:ABD.10.有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.用表示第一次取到的小球的标号，用表示第二次取到的小球的标号，记事件：为偶数，：为偶数，C：，则（）A. B.与相互独立C.与相互独立 D.与相互独立〖答案〗ACD〖解析〗对A：，故A正确；对B：，，则，故与不相互独立，故B错误；对C：，，则，故与相互独立，故C正确；对D：，则，故与相互独立，故D正确；故选：ACD.11.黎曼函数（Riemannfunction）在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：时，，若数列，，则（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗对于A，，故A错误；对于B，当时，是相邻的偶数和奇数，所以是既约分数，所以，所以，即，故B正确；对于C，当时，，若当时，成立，则时，，故C正确；对于D，当时，，若当时，成立，则时，，要使，而，，只需，只需，显然，故只需，当时，该式子为，显然成立，若当时，有，当时，，从而对任意正整数均有，综上所述，，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．12.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中至少有1名女生的概率是_____________．〖答案〗〖解析〗任选3人的方法数为，其中至少有1名女生的方法数为．所以概率为．故〖答案〗为：．13.记公差不为0的等差数列的前n项和为，若，则______．〖答案〗12〖解析〗设首项、公差分别为，则，所以，因为，所以.故〖答案〗为：12.14.已知函数，设，若只有一个零点，则实数a的取值范围是______；若不等式的解集中有且只有三个整数，则实数a的取值范围是______．〖答案〗①②〖解析〗，，当时，单调递增；当时，单调递减；∴；当时，；当时，；．据此可作出图象如图所示：令，则或，由，可得；又∵只有一个零点，∴无解，或，∴，或，∴的取值范围是．令，则．①当时，则或，由，可得，无整数解，∴中有3个整数解，结合的图象可知此三个整数解为，∵，∴；②当时，，由，得，不满足题意；③当时，由，得或，∵的解集中无整数，的解集中有若干个整数，不满足题意；综上，的取值范围为．故〖答案〗为：；．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）求的单调区间和极值；（2）求在区间上的最值．解：（1）函数的定义域为,．令得,或（舍去）,当时,,函数单调递减；当时,,函数单调递增,所以函数单调递减区间为,函数单调递增区间为．函数的极小值为,无极大值．（2）由（1）知,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,所以,,,又因为,所以函数在区间的最小值为,最大值为2．16.某高中学校组织乒乓球比赛，经过一段时间的角逐，甲、乙两名同学进入决赛．决赛采取7局4胜制，假设每局比赛中甲获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立．（1）求比赛结束时恰好打了5局的概率；（2）若前三局比赛甲赢了两局，记还需比赛的局数为X，求X的分布列及数学期望．解：（1）比赛结束时，恰好打了5局，甲获胜的概率为，恰好打了5局，乙获胜的概率为，所以比赛结束时恰好打了5局概率为；（2）由题意可知，X取值范围是．，，，所以X的分布列如下：X234P数学期望．17.已知数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）令，设数列的前n项和为，若不等式对恒成立，求实数的取值范围．解：（1）因为，所以时，，所以当时，，又满足上式，所以；（2）由（1）知，所以，所以，即不等式对恒成立，令，，令，可得，当时，，此时，即此时有，数列的最大项为，所以．18.近年来，中国新能源汽车产业，不仅技术水平持续提升，市场规模也持续扩大，取得了令人瞩目的成就．以小米SU7、问界M9等为代表的国产新能源汽车，正逐步引领全球新能源汽车的发展潮流，某新能源汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行了调研，数据如下：时间2023年12月2024年1月2024年2月2024年3月2024年4月月份代码x12345销量y/千辆1415161819（1）