2022-2023学年江西省萍乡市高一下学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江西省萍乡市2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列说法正确的是（）A. B.一堂数学考试（120分钟）时针旋转60°C.1弧度的角大于1°的角 D.三角形内角必为第一或二象限的角〖答案〗C〖解析〗对于A，，故A错误；对于B，一堂数学考试（120分钟）时针旋转，故B错误；对于C，1弧度，故C正确；对于D，三角形的内角为时，不在象限内，故D错误.故选：C.2.设，是两个不同的平面，直线，直线，则下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则〖答案〗B〖解析〗对于A，若，则与平行或相交，故A错误；对于B，若，又，则，故B正确；对于C，若，则与平行或相交或异面，故C错误；对于D，若，则与平行或相交，不一定垂直，故D错误.故选：B.3.已知平面向量与的夹角为，且，则在方向上的投影数量是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故选：A.4.的值为（）A.0 B. C. D.1〖答案〗A〖解析〗.故选：A5.如图，平面四边形中，，，，，，则四边形绕所在的直线旋转一周所成几何体的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗四边形绕所在直线旋转一周所成的几何体为一个圆台挖去一个圆锥，因为，所以圆台下底面面积，又因为，，所以，，所以圆台的侧面积，圆锥的侧面积，所以几何体的表面积为.故选：C.6.秋收起义纪念碑（图1）是萍乡市的标志性建筑，也是萍乡市民的日常打卡地．为测量秋收起义纪念碑的高度，某中学研究学习小组选取A，B两处作为测量点（如图2），测得AB的距离为6m，，，在B处测得纪念碑顶端C的仰角为75°，则秋收起义纪念碑的高度OC约为（参考数据：，）（）A.26m B.31m C.36m D.41m〖答案〗B〖解析〗在中，，在中，由正弦定理得，所以，因为在直角中，，所以，又因为，所以，即秋收起义纪念碑的高度OC约为31m.故选：B.7.已知偶函数满足，且当时，，则时，的〖解析〗式为（）A. B. C D.〖答案〗D〖解析〗设，则，所以，因为为偶函数，所以，因为，即函数周期为，设，则，所以，.故选：D.8.在中，，点P在边AC上，，，则（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以，化为，解得，因为，所以，由，可得，即有，所以.故选：C.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知复数z满足（i是虚数单位），则下列关于复数z的结论正确的是（）A. B.复数z的共轭复数为C.复平面内表示复数z的点位于第三象限 D.复数z是方程的一个根〖答案〗AD〖解析〗由可得，，对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，复平面内表示复数的点位于第四象限，故C错误；对于D，将代入方程可得，，所以复数z是方程的一个根，故D正确.故选：AD.10.已知正六边形的边长为1，下列说法正确的是（）A.向量与可以作为平面内一组基底 B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗由题意可作图如下：对于A，在正六边形中，，则与不共线，故A正确；对于B，在正六边形中，且，则，故B错误；对于C，设正六边形的内角大小为，则，在中，，则，，则，故C正确；对于D，在中，，同理可得：，由C选项易知，则，则，故D错误.故选：AC.11.关于函数，下列说法正确的是（）A.该函数的最小正周期为 B.该函数在区间上单调递增C.该函数的图象关于点对称 D.若，则〖答案〗ABC〖解析〗由，所以函数的周期为，又因为函数的最小正周期为，故的最小正周期也为，故选项A正确；当时，在单调递增且，所以，由上述可知在单调递减且，所以在单调递增，故选项B正确；因为，所以函数的图象关于点对称，故C正确；因为，故时，不一定为0，故D不正确.故选：ABC.12.已知三棱锥的各顶点都在球O上，点M，N分别是AC，CD的中点，平面BCD，，，则下列说法正确的是（）A.三棱锥的四个面均为直角三角形B.球O的表面积为C.直线BD与平面ABC所成角的正切值是D.点O到平面BMN的距离是〖答案〗ABD〖解析〗AB⊥平面BCD，∴△ABC、△ABD为直角三角形，∵AB=1，BC=1，，由勾股定理得，，又∵BC=1，CD=2，则，∴△DBC、△ACD为直角三角形，故A正确；三棱锥A-BCD可看作由长、宽、高分别为2、1、1的长方体截得，O为AD的中点，球O的直径为，故球O的表面积，故B正确；直线BD与平面ABC所成角的平面角为∠DBC，∴，所以C不正确；在Rt△ABC中，，在△ACD中，，又，∴△BMN为直角三角形，，设点O到平面BMN的距离为h，由于O到平面BMN的距离与C到平面BMN的距离相等，∴，则，则，解得，故D正确.故选：ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知i是虚数单位，若复数z满足，则复数z的虚部为______．〖答案〗1〖解析〗由可得：，即，所以，即，故复数z的虚部为1.故〖答案〗为：1.14.若以函数图像上相邻的四个最值所在的点为顶点恰好构成一个菱形，则______．〖答案〗〖解析〗令，，则，，不妨取相邻四个最值所在的点分别为，，，，如图所示，因为以为顶点的四边形恰好构成一个菱形，所以，所以，所以，即.故〖答案〗为：.15.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若，，，则______．〖答案〗2〖解析〗在中，，，所以，，且，所以，设的外接圆半径为，则，，且，解得，因为，所以.故〖答案〗为：.16.如图正三棱锥底面边长为，侧棱长为，，分别为，上的动点，则截面周长的最小值______.〖答案〗〖解析〗正三棱锥侧面展开图如下图所示：若截面周长最小，则共线，即周长最小值为；由对称性可知：，，，同理可得：，，，，，，，又，，，.故〖答案〗为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知向量，．（1）若，试判断向量与是否垂直；（2）若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围．解：（1）若，则，，故，∴，所以当时，向量与不垂直.（2）由题意知，，向量与的夹角为钝角，∴，解得，当与反向时，有，解得，所以向量与的夹角为钝角时，实数的取值范围是．18.如图，在正方体中，点E，F分别是棱，的中点．（1）求证：平面；（2）求异面直线与AF所成角的余弦值．解：（1）证明：取的中点为G，连接BG，FG，∵F为的中点，∴且，而且，∴且，∴四边形ABGF为平行四边形，∴，又∵且，∴四边形为平行四边形，∴，∴，∵面，面，∴平面.（2）取中点为O，连接，，∵O，G分别为，的中点，∴，由（1）知，为异面直线AF与所成的角或其补角，设正方体的边长为，则，，，，∴异面直线AF与所成角的余弦值为．19.在中，内角的对边分别为，点D是AB的中点，，记的面积为．（1）从下面的条件①②③中选择一个作为已知条件，求角；（2）在（1）的条件下，求的最大值．①；②；③．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：（1）若选①：由正弦定理得，，则，则，由正弦定理化简得，，整理得，由余弦定理得，，∵，∴.若选②：根据题意得，，即，则，解得，∵，∴.若选③：由正弦定理得，，∴，则，则，因为为三角形的内角，，∴，∵，∴.（2）∵点D是AB中点，∴，，则，∴，当且仅当时等号成立，则，所以，在（1）的条件下，面积S的最大值为．20.在如图所示的空间几何体中，两等边三角形与互相垂直，，平面ABC，且点E在平面ABC内的射影落在∠ABC的平分线上．（1）求证：平面ACD；（2）求二面角的正切值．解：（1）如图，取AC中点O，连接BO，DO，EO，∵为等边三角形，∴BO为∠ABC的平分线，设点F是点E在平面ABC上的射影，由题知，点F在BO上，连接EF，则EF⊥平面ABC，∵平面平面ABC，平面平面，平面ACD，，则平面ABC，∴，则DEBO为平面四边形，∵平面ABC，平面DEBO，平面平面，∴，∵平面平面ABC，平面平面，平面ABC，，∴平面ACD，∴平面ACD.（2）∵，，，DO，平面BOD，∴平面BOD，∵平面BOD，∴，∴∠DOE为二面角的平面角，∵平面ABC，平面ABC，∴，∵，，∴四边形DEFO为矩形，∴，∴，，则，故二面角的正切值为．21.已知函数，的图象在半个周期内过，，，四点中的三点．（1）求函数〖解析〗式；（2）在锐角中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，若，，求b的取值范围．解：（1）B，D两点关于x轴对称，A，D，C组合的图象大于半个周期，故函数图象过A，B，C三点，A点坐标代入有，又，则，B点坐标代入有，则，，即，因为图象在半个周期内过A，B，C三点，则只有当时适合，即，经检验，C点符合题意，于是.（2）由于，在锐角中，可得，由余弦定理有，即，又在锐角中，有，，同时成立，即，，同时成立，所以，，同时成立，解得，所以b的取值范围为．22.已知函数，．（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）若，关于x的方程有三个不等的实根，求a的取值范围．解：（1）当时，函数，由，可得，故函数单调递增区间为.（2）当时，可得，令，则，令，其图象恒过和两点，①当时，由（1）知有唯一根，不合题意；②当时，可得的图象开口向上，，方程存在两根，且，此时有（舍），故，则方程只有一个根，不合题意；③当时，可得的图象开口向下，，方程存在两根，且，若要满足题意，则，，此时方程有一个根，有两个不相等的根，则有，解得，综上所述，a的取值范围为．江西省萍乡市2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列说法正确的是（）A. B.一堂数学考试（120分钟）时针旋转60°C.1弧度的角大于1°的角 D.三角形内角必为第一或二象限的角〖答案〗C〖解析〗对于A，，故A错误；对于B，一堂数学考试（120分钟）时针旋转，故B错误；对于C，1弧度，故C正确；对于D，三角形的内角为时，不在象限内，故D错误.故选：C.2.设，是两个不同的平面，直线，直线，则下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则〖答案〗B〖解析〗对于A，若，则与平行或相交，故A错误；对于B，若，又，则，故B正确；对于C，若，则与平行或相交或异面，故C错误；对于D，若，则与平行或相交，不一定垂直，故D错误.故选：B.3.已知平面向量与的夹角为，且，则在方向上的投影数量是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故选：A.4.的值为（）A.0 B. C. D.1〖答案〗A〖解析〗.故选：A5.如图，平面四边形中，，，，，，则四边形绕所在的直线旋转一周所成几何体的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗四边形绕所在直线旋转一周所成的几何体为一个圆台挖去一个圆锥，因为，所以圆台下底面面积，又因为，，所以，，所以圆台的侧面积，圆锥的侧面积，所以几何体的表面积为.故选：C.6.秋收起义纪念碑（图1）是萍乡市的标志性建筑，也是萍乡市民的日常打卡地．为测量秋收起义纪念碑的高度，某中学研究学习小组选取A，B两处作为测量点（如图2），测得AB的距离为6m，，，在B处测得纪念碑顶端C的仰角为75°，则秋收起义纪念碑的高度OC约为（参考数据：，）（）A.26m B.31m C.36m D.41m〖答案〗B〖解析〗在中，，在中，由正弦定理得，所以，因为在直角中，，所以，又因为，所以，即秋收起义纪念碑的高度OC约为31m.故选：B.7.已知偶函数满足，且当时，，则时，的〖解析〗式为（）A. B. C D.〖答案〗D〖解析〗设，则，所以，因为为偶函数，所以，因为，即函数周期为，设，则，所以，.故选：D.8.在中，，点P在边AC上，，，则（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以，化为，解得，因为，所以，由，可得，即有，所以.故选：C.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知复数z满足（i是虚数单位），则下列关于复数z的结论正确的是（）A. B.复数z的共轭复数为C.复平面内表示复数z的点位于第三象限 D.复数z是方程的一个根〖答案〗AD〖解析〗由可得，，对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，复平面内表示复数的点位于第四象限，故C错误；对于D，将代入方程可得，，所以复数z是方程的一个根，故D正确.故选：AD.10.已知正六边形的边长为1，下列说法正确的是（）A.向量与可以作为平面内一组基底 B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗由题意可作图如下：对于A，在正六边形中，，则与不共线，故A正确；对于B，在正六边形中，且，则，故B错误；对于C，设正六边形的内角大小为，则，在中，，则，，则，故C正确；对于D，在中，，同理可得：，由C选项易知，则，则，故D错误.故选：AC.11.关于函数，下列说法正确的是（）A.该函数的最小正周期为 B.该函数在区间上单调递增C.该函数的图象关于点对称 D.若，则〖答案〗ABC〖解析〗由，所以函数的周期为，又因为函数的最小正周期为，故的最小正周期也为，故选项A正确；当时，在单调递增且，所以，由上述可知在单调递减且，所以在单调递增，故选项B正确；因为，所以函数的图象关于点对称，故C正确；因为，故时，不一定为0，故D不正确.故选：ABC.12.已知三棱锥的各顶点都在球O上，点M，N分别是AC，CD的中点，平面BCD，，，则下列说法正确的是（）A.三棱锥的四个面均为直角三角形B.球O的表面积为C.直线BD与平面ABC所成角的正切值是D.点O到平面BMN的距离是〖答案〗ABD〖解析〗AB⊥平面BCD，∴△ABC、△ABD为直角三角形，∵AB=1，BC=1，，由勾股定理得，，又∵BC=1，CD=2，则，∴△DBC、△ACD为直角三角形，故A正确；三棱锥A-BCD可看作由长、宽、高分别为2、1、1的长方体截得，O为AD的中点，球O的直径为，故球O的表面积，故B正确；直线BD与平面ABC所成角的平面角为∠DBC，∴，所以C不正确；在Rt△ABC中，，在△ACD中，，又，∴△BMN为直角三角形，，设点O到平面BMN的距离为h，由于O到平面BMN的距离与C到平面BMN的距离相等，∴，则，则，解得，故D正确.故选：ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知i是虚数单位，若复数z满足，则复数z的虚部为______．〖答案〗1〖解析〗由可得：，即，所以，即，故复数z的虚部为1.故〖答案〗为：1.14.若以函数图像上相邻的四个最值所在的点为顶点恰好构成一个菱形，则______．〖答案〗〖解析〗令，，则，，不妨取相邻四个最值所在的点分别为，，，，如图所示，因为以为顶点的四边形恰好构成一个菱形，所以，所以，所以，即.故〖答案〗为：.15.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若，，，则______．〖答案〗2〖解析〗在中，，，所以，，且，所以，设的外接圆半径为，则，，且，解得，因为，所以.故〖答案〗为：.16.如图正三棱锥底面边长为，侧棱长为，，分别为，上的动点，则截面周长的最小值______.〖答案〗〖解析〗正三棱锥侧面展开图如下图所示：若截面周长最小，则共线，即周长最小值为；由对称性可知：，，，同理可得：，，，，，，，又，，，.故〖答案〗为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知向量，．（1）若，试判断向量与是否垂直；（2）若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围．解：（1）若，则，，故，∴，所以当时，向量与不垂直.（2）由题意知，，向量与的夹角为钝角，∴，解得，当与反向时，有，解得，所以向量与的夹角为钝角时，实数的取值范围是．18.如图，在正方体中，点E，F分别是棱，的中点．（1）求证：平面；（2）求异面直线与AF所成角的余弦值．解：（1）证明：取的中点为G，连接BG，FG，∵F为的中点，∴且，而且，∴且，∴四边形ABGF为平行四边形，∴，又∵且，∴四边形为平行四边形，∴，∴，∵面，面，∴平面.（2）取中点为O，连接，，∵O，G分别为，的中点，∴，由（1）知，为异面直线AF与所成的角或其补角，设正方体的边长为，则，，，，∴异面直线AF与所成角的余弦值为．19.在中，内角的对边分别为，点D是AB的中点，，记的面积为．（1）从下面的条件①②③中选择一个作为已知条件，求角；（2）在（1）的条件下，求的最大值．①；②；③．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：（1）若选①：由正弦定理得，，则，则，由正弦定理化简得，，整理得，由余弦定理得，，∵，∴.若选②：根据题意得，，即，则，解得，∵，∴.若选③：由正弦定理得，，∴，则，则，因为为三角形的内角，，∴，∵，∴.（2）∵点D是AB中点，∴，，则，∴，当且仅当时等号成立，则，所以，在（1）的条件下，面积S的最大值为．20.在如图所示的空间几何体中，两等边三角形与互相垂直，，平面ABC