2023-2024学年内蒙古自治区呼和浩特市回民区高二下学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2内蒙古自治区呼和浩特市回民区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列的通项公式为，则数列是（）A.以1为首项，为公比的等比数列 B.以3为首项，为公比的等比数列C.以1为首项，3为公比的等比数列 D.以3为首项，3为公比的等比数列〖答案〗A〖解析〗因为，，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列.故选：A2.已知，，则等于（）．A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故选：A.3.已知是递增的等比数列，且，则其公比满足（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗是等比数列，故，当时，各项正负项间隔,为摆动数列,故,显然，由得，又是递增的等比数列，故为递减数列,由指数函数的单调性知.故选:D4.在等差数列中，，其前项和为，若，则（）A.2023 B.-2023 C.-2024 D.2024〖答案〗C〖解析〗由是等差数列，设公差为，则所以，（常数），则也为等差数列.由，则数列的公差为1.所以所以，所以故选：C5.疫苗是为预防、控制传染病的发生、流行，用于人体预防接种的预防性生物制品，其前期研发过程中，一般都会进行动物保护测试，为了考察某种疫苗预防效果，在进行动物试验时，得到如下统计数据：未发病发病总计未注射疫苗30注射疫苗40总计7030100附表及公式：0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828，．现从试验动物中任取一只，取得“注射疫苗”的概率为0.5，则下列判断正确的是（）A.注射疫苗发病的动物数为10B.某个发病的小动物为未注射疫苗动物的概率为C.能在犯错概率不超过0.005的前提下，认为疫苗有效D.该疫苗的有效率约为80%〖答案〗ABD〖解析〗完善列联表如下：未发病发病总计未注射疫苗302050注射疫苗401050总计7030100由列联表知，A正确，，B正确，，不能在犯错概率不超过0.005的前提下，认为疫苗有效，C错误；疫苗的有效率约为，D正确．故选：ABD．6.8支步枪中有5支已经校准过，3支未校准，一名射手用校准过枪射击时，中靶的概率为0.8，用未校准的步枪射击时，中靶的概率为0.3，现从8支中任取一支射击，结果中靶，则所选用的枪是校准过的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设事件A表示“射击时中靶”，事件表示“使用的枪校准过”，事件表示“使用的枪未校准”，则，是的一个划分．，，，，根据全概率公式得，所以．故选:B．7.某地生产红茶已有多年，选用本地两个不同品种的茶青生产红茶.根据其种植经验，在正常环境下，甲､乙两个品种的茶青每500克的红茶产量（单位：克）分别为，且，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（）A.的数据较更集中B.C.甲种茶青每500克的红茶产量超过的概率大于D.〖答案〗D〖解析〗对于A，Y的密度曲线更尖锐，即数据更集中，正确；对于B，因为c与之间的与密度曲线围成的面积与密度曲线围成的面积，，正确；对于C，，甲种茶青每500克超过的概率，正确；对于D，由B知：，错误；故选：D.8.复印纸按照幅面的基本面积，把幅面规格分为A系列、B系列C系列，其中B系列的幅面规格为：，，，…，，所有规格的纸张的长度（以表示）和幅宽（以y表示）的比例关系都为；将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；…，如此对开至规格．现有，，…，纸各一张，已知纸的幅宽为1m，则，，…，这8张纸的面积之和是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意，可得的长、宽分别为，1，的长、宽分别为1，，的长、宽分别为，，…，所以，，…，的面积是首项为，公比为的等比数列，所以，，…，这8张纸的面积之和为.故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.甲、乙各投掷一枚骰子，下列说法正确的是（）A.事件“甲投得1点”与事件“甲投得2点”是互斥事件B.事件“甲、乙都投得1点”与事件“甲、乙不全投得2点”是对立事件C.事件“甲投得1点”与事件“乙投得2点”是相互独立事件D.事件“至少有1人投得1点”与事件“甲投得1点且乙没投得2点”是相互独立事件〖答案〗AC〖解析〗对于选项A，因为甲掷一枚骰子，事件“甲投得1点”与事件“甲投得2点”不可能同时发生，由互斥事件的概念知，所以选项A正确；对于选项B，甲、乙各投掷一枚骰子，事件“甲、乙都投得1点”与事件“甲、乙不全投得2点”可以同时发生，所以选项B错误；对于选项C，因为事件“甲投得1点”与事件“乙投得2点”相互间没有影响，所以选项C正确．对于选项D，至少一人投6点的事件为M，则，甲投1点且乙没投得2点事件为N，则为，，，故选项D错误．故选：AC.10.数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（）A.是递减数列 B.C.当时， D.当或时，取得最大值〖答案〗ACD〖解析〗由数列的前项和为，当时，，又由，适合上式，所以数列的通项公式为，对于A中，由，即，所以数是递减数列，所以A正确；对于B中，由，所以B错误；对于C中，当时，，所以C正确；对于D中，因为的对称轴为，开口向下，又因为是正整数，且或时，取得最大值，所以D正确.故选：ACD.11.下列说法正确的是（）A.若随机变量服从二项分布，且，则B.随机事件相互独立，满足，则C.若，则D.设随机变量服从正态分布，则〖答案〗CD〖解析〗A选项，因为，所以，则，故A错误；B选项，因为随机事件相互独立，则与也相互独立，，求解易知错误；C选项，由条件概率定义易知，又因为，所以，故C正确；D选项，随机变量服从正态分布，可得，则，故D正确.故选：CD12.设一个正三棱柱，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行n次，仍然在上底面的概率为，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗显然，.蚂蚁爬次仍在上底面的概率为，那么它前一步只有两种情况：：如果本来就在上底面，再走一步要想不在下底面，只有两条路，其概率是；：如果是上一步在下底面，则第步不在上底面的概率是，如果爬上来，其概率应是.，事件互斥，因此，，整理得，即，所以为等比数列，公比为，首项为，所以，∴.所以.故选：AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知数列为等差数列，，，则______.〖答案〗〖解析〗设等差数列的公差为，因为，，所以，即，解得，所以，故〖答案〗为：14.已知随机事件，有概率，，条件概率，则______.〖答案〗0.82〖解析〗∵，∴，.由乘法公式得.∴.故〖答案〗为：0.82.15.已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则______.〖答案〗3〖解析〗设等比数列的公比为，则由题意得，所以，得，所以比数列前项和为，得，所以，解得，故〖答案〗为：316.在数列中，，，则通项公式____．〖答案〗〖解析〗∵，∴，，，….以上个等式相加，得．．检验：当时，也成立.所以，数列的通项公式.故〖答案〗：.四、解答题：本小题共6小题，17题10分，其他题目均为12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知随机变量的分布列如表：0120.4若，离散型随机变量满足，求：（1）的值；（2）的值.解：（1）由分布列的性质，可得，解得①，因为，所以，即②，联立①②解得，（2）因为，所以，因为，所以，.18.已知等差数列，前项和为，又．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．解：（1）设等差数列的公差为，首项为，因为，所以，所以，由，解得，又，所以；（2）设，的前项和为，得，，得当时，，即，所以当时，得，所以，则综上所述：19.某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了100名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，并将得分分成以下6组：、、、…、，统计结果如图所示：（1）试估计这100名学生得分的平均数；（2）从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记其得分在的人数为，试求的分布列和数学期望；（3）以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生的得分X近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，经计算.所有参加知识竞赛的2000名学生中，试问得分高于77分的人数最有可能是多少？参考数据：，，.解：（1）由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数.（2）参加座谈的11人中，得分在的有人，所以的可能取值为，，，所以，，.所以的分布列为012∴.（3）由（1）知，，所以.得分高于77分的人数最有可能是.20.已知在数列中，，前项和.（1）求、；（2）求数列的通项公式；（3）设数列的前项和为，求.解：（1）由及得，由及、得；（2）当时，，整理得，∴，验证，当时符合，∴当时，；（3）由（2）可知，∴，21.数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据9×9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫(3×3)内的数字均含1～9，且不重复．数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛．参考数据：17500.370.55参考公式：对于一组数据，其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.（1）赛前小明进行了一段时间的训练，每天解题的平均速度y(秒/题)与训练天数x(天)有关，经统计得到如下数据：x(天)1234567y(秒/题)910800600440300240210现用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程；(，用分数表示)（2）小明和小红玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，不存在平局，两人约定先胜3局者赢得比赛．若小明每局获胜的概率为，且各局之间相互独立，设比赛X局后结束，求随机变量X的分布列及均值．解：（1）因为，所以.因为，所以，所以，所以，所以所求回归方程为.（2）随机变量X的所有可能取值为3，4，5，，，.所以随机变量X的分布列为X345P.22.已知数列、满足，，，.（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）记数列的前项和为，求，并证明：.解：（1）因为，，则，等式两边同时乘以可得，即，所以，数列是等差数列.且，，等差数列公差为，所以，，故.（2）数列的前项和为，且，则，所以，，两式相减可得，所以.又，即为单调递增数列，所以，即内蒙古自治区呼和浩特市回民区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列的通项公式为，则数列是（）A.以1为首项，为公比的等比数列 B.以3为首项，为公比的等比数列C.以1为首项，3为公比的等比数列 D.以3为首项，3为公比的等比数列〖答案〗A〖解析〗因为，，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列.故选：A2.已知，，则等于（）．A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故选：A.3.已知是递增的等比数列，且，则其公比满足（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗是等比数列，故，当时，各项正负项间隔,为摆动数列,故,显然，由得，又是递增的等比数列，故为递减数列,由指数函数的单调性知.故选:D4.在等差数列中，，其前项和为，若，则（）A.2023 B.-2023 C.-2024 D.2024〖答案〗C〖解析〗由是等差数列，设公差为，则所以，（常数），则也为等差数列.由，则数列的公差为1.所以所以，所以故选：C5.疫苗是为预防、控制传染病的发生、流行，用于人体预防接种的预防性生物制品，其前期研发过程中，一般都会进行动物保护测试，为了考察某种疫苗预防效果，在进行动物试验时，得到如下统计数据：未发病发病总计未注射疫苗30注射疫苗40总计7030100附表及公式：0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828，．现从试验动物中任取一只，取得“注射疫苗”的概率为0.5，则下列判断正确的是（）A.注射疫苗发病的动物数为10B.某个发病的小动物为未注射疫苗动物的概率为C.能在犯错概率不超过0.005的前提下，认为疫苗有效D.该疫苗的有效率约为80%〖答案〗ABD〖解析〗完善列联表如下：未发病发病总计未注射疫苗302050注射疫苗401050总计7030100由列联表知，A正确，，B正确，，不能在犯错概率不超过0.005的前提下，认为疫苗有效，C错误；疫苗的有效率约为，D正确．故选：ABD．6.8支步枪中有5支已经校准过，3支未校准，一名射手用校准过枪射击时，中靶的概率为0.8，用未校准的步枪射击时，中靶的概率为0.3，现从8支中任取一支射击，结果中靶，则所选用的枪是校准过的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设事件A表示“射击时中靶”，事件表示“使用的枪校准过”，事件表示“使用的枪未校准”，则，是的一个划分．，，，，根据全概率公式得，所以．故选:B．7.某地生产红茶已有多年，选用本地两个不同品种的茶青生产红茶.根据其种植经验，在正常环境下，甲､乙两个品种的茶青每500克的红茶产量（单位：克）分别为，且，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（）A.的数据较更集中B.C.甲种茶青每500克的红茶产量超过的概率大于D.〖答案〗D〖解析〗对于A，Y的密度曲线更尖锐，即数据更集中，正确；对于B，因为c与之间的与密度曲线围成的面积与密度曲线围成的面积，，正确；对于C，，甲种茶青每500克超过的概率，正确；对于D，由B知：，错误；故选：D.8.复印纸按照幅面的基本面积，把幅面规格分为A系列、B系列C系列，其中B系列的幅面规格为：，，，…，，所有规格的纸张的长度（以表示）和幅宽（以y表示）的比例关系都为；将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；…，如此对开至规格．现有，，…，纸各一张，已知纸的幅宽为1m，则，，…，这8张纸的面积之和是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意，可得的长、宽分别为，1，的长、宽分别为1，，的长、宽分别为，，…，所以，，…，的面积是首项为，公比为的等比数列，所以，，…，这8张纸的面积之和为.故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.甲、乙各投掷一枚骰子，下列说法正确的是（）A.事件“甲投得1点”与事件“甲投得2点”是互斥事件B.事件“甲、乙都投得1点”与事件“甲、乙不全投得2点”是对立事件C.事件“甲投得1点”与事件“乙投得2点”是相互独立事件D.事件“至少有1人投得1点”与事件“甲投得1点且乙没投得2点”是相互独立事件〖答案〗AC〖解析〗对于选项A，因为甲掷一枚骰子，事件“甲投得1点”与事件“甲投得2点”不可能同时发生，由互斥事件的概念知，所以选项A正确；对于选项B，甲、乙各投掷一枚骰子，事件“甲、乙都投得1点”与事件“甲、乙不全投得2点”可以同时发生，所以选项B错误；对于选项C，因为事件“甲投得1点”与事件“乙投得2点”相互间没有影响，所以选项C正确．对于选项D，至少一人投6点的事件为M，则，甲投1点且乙没投得2点事件为N，则为，，，故选项D错误．故选：AC.10.数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（）A.是递减数列 B.C.当时， D.当或时，取得最大值〖答案〗ACD〖解析〗由数列的前项和为，当时，，又由，适合上式，所以数列的通项公式为，对于A中，由，即，所以数是递减数列，所以A正确；对于B中，由，所以B错误；对于C中，当时，，所以C正确；对于D中，因为的对称轴为，开口向下，又因为是正整数，且或时，取得最大值，所以D正确.故选：ACD.11.下列说法正确的是（）A.若随机变量服从二项分布，且，则B.随机事件相互独立，满足，则C.若，则D.设随机变量服从正态分布，则〖答案〗CD〖解析〗A选项，因为，所以，则，故A错误；B选项，因为随机事件相互独立，则与也相互独立，，求解易知错误；C选项，由条件概率定义易知，又因为，所以，故C正确；D选项，随机变量服从正态分布，可得，则，故D正确.故选：CD12.设一个正三棱柱，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行n次，仍然在上底面的概率为，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗显然，.蚂蚁爬次仍在上底面的概率为，那么它前一步只有两种情况：：如果本来就在上底面，再走一步要想不在下底面，只有两条路，其概率是；：如果是上一步在下底面，则第步不在上底面的概率是，如果爬上来，其概率应是.，事件互斥，因此，，整理得，即，所以为等比数列，公比为，首项为，所以，∴.所以.故选：AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知数列为等差数列，，，则______.〖答案〗〖解析〗设等差数列的公差为，因为，，所以，即，解得，所以，故〖答案〗为：14.已知随机事件，有概率，，条件概率，则______.〖答案〗0.82〖解析〗∵，∴，.由乘法公式得.∴.故〖答案〗为：0.82.15.已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则______.〖答案〗3〖解析〗设等比数列的公比为，则由题意得，所以，得，所以比数列前项和为，得，所以，解得，故〖答案〗为：316.在数列中，，，则通项公式____．〖答案〗〖解析〗∵，∴，，，….以上个等式相加，得．．检验：当时，也成立.所以，数列的通项公式.故〖答案〗：.四、解答题：本小题共6小题，17题10分，其他题目均为12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知随机变量的分布列如表：0120.4若，离散型随机变量满足，求：（1）的值；（2）的值.解：（1）由分布列的性质，可得，解得①，因为，所以，即②，联立①②解得，（2）因为，所以，因为，所以，.18.已知等差数列，前项和为，又．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．解：（1）设等差数列的公差为，首项为，因为，所以，所以，由，解得，又，所以；（2）设，的前项和为，得，，得当时，，即，所以当时，得，所以，则综上所述：19.某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了100名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，并将得分分成以下6组：、、、…、，统计结果如图所示：（1）试估计这100名学生得分的平均数；（2）从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记其得分在的人数为，试求的分布列和数学期望；（3）以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生的得分X